张伟概率讲义
学府考研培训学校
2013年强化班讲义【概率统计部分】
主讲：张伟
概率论与数理统计
概率论和数理统计六大类考点
(1) 随机事件和概率
(2) 一维随机变量及其分布
(3) 多维随机变量及其分布
(4) 随机变量的数字特征
(5) 大数定律和中心极限定理
(6) 数理统计的基本概念、参数估计和假设检验
第一讲随机事件和概率
随机事件和概率部分主要考点
(1) 随机事件的关系与运算
(2) 古典型概率与几何型概率
(3) 概率与条件概率的性质与基本公式
(4) 事件的独立性与独立重复试验
随机事件之间的关系与运算例1
从一批产品中每次一件抽取三次, 用A i (i =1, 2, 3) 表示事件:"第i 次抽取到的是正品". 试用文字叙述下列事件:
(1) A 1A 2∪A 2A 3∪A 1A 3; (2) A 1A 2A 3; (3) A 1∪A 2∪A 3; (4) A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3
再用表示下列事件:
(5) 都取到正品; (6) 至少有一件次品; (7) 只有一件次品; (8) 取到次品不多于一件
例2
A , B 为任意两事件, 则事件(A −B ) ∪(B −C ) 等于事件
(A ) A −C (B ) A ∪(B −C ) (C ) (A −B ) −C (D ) (A ∪B ) −BC
例3
设事件A 和B 满足条件AB =A B , 则
(A ) A ∪B =φ. (B ) A ∪B =Ω. (C ) A ∪B =A . (D ) A ∪B =B .
古典型概率与几何型概率
例4
从5双不同的鞋中任取4只, 求这4只鞋中至少有两只能配成一双的概率.
例5
已知10件产品中有3件次品, 现从中任意取出两件产品,
求下列事件的概率
(1) 第一次取到次品的概率p 1;
(2) 第二次取到次品的概率p 2;
(3) 第二次才取到次品的概率p 3;
(4) 取出两件产品中至少有一件是次品的概率p 4;
(5) 已知取出两件产品中有一件是次品, 则另一件也是次品的概率p 5;
(6) 已知取出两件产品中第一件是次品, 则第二件也是次品的概率p 6.
例6
⎧⎫随机地向半圆⎨(x , y ) |00, 是常数) 内掷一点, 则原点和⎩⎭
π该点的连线与x 轴的夹角小于的概率为. 4
例7
1在区间(0, 1) 中随机地取两个数, 则这两个数之差的绝对值小于2.
概率与条件概率
(1) 基本性质(2) 重要公式
例8
设事件A , B 同时发生时, 事件C 一定发生, 则
(A ) P (C ) ≤P (A ) +P (B ) −1.
(C ) P (C ) =P (AB ). (B ) P (C ) ≥P (A ) +P (B ) −1. (D ) P (C ) =P (A ∪B ).
例9
随机事件A , B , 满足P (A ) =P (B ) =
(A ) A ∪B =Ω(B ) AB =φ1和P (A ∪B ) =1, 则有2(C ) P (A ∪B ) =1(D ) P (A −B ) =0
例10
已知P (A ∪B ) =0. 6, P (B |A ) =0. 2, 则P (A ) =.
例11
34设X , Y 为随机变量, 且P (X ≥0, Y ≥0) =, P (X ≥0) =P (Y ≥0) =, 试求下列事件的概率:77
A ={max(X , Y ) ≥0};
B ={max(X , Y )
C ={max(X , Y ) ≥0, min(X , Y )
例12
从1, 2, 3, 4中任取一个数, 记为X , 再从1, ⋯, X 中任取一个数, 记为Y ,
则P (X =2) =
例13
设有来自三个地区的各10名, 15名和25名考生的报名表, 其中女生的报名表分别为3份, 7份和5份. 随机地取一个地区的报名表, 从中先后抽出两份.
(1) 求先抽取的一份是女生表的概率p ;
(2) 已知后抽到的一份是男生表, 求先抽到的一份是女生表的概率q .
例14
已知100件产品中有10件正品, 90件次品. 每次使用正品时肯定不会发生故障, 而在每次使用次品时, 有10%的可能性发生故障. 现从100件产品中随机地抽取一件, 若独立使用n 次, 均未发生故障, 则n 至少为多大时, 才能有70%以上的把握认为该产品为正品. .
事件的独立性与独立重复试验
(1) 事件的独立性(2) 独立重复试验
例15
设0
(A ) P (A |B ) =P (A |B )
(C ) P (AB ) =P (A ) P (B )
例16
已知A , B , C 三事件中A 与B 相互独立, P (C ) =0, 则A , B , C 三事件
(A ) 相互独立
(C ) 不一定两两独立(B ) 两两独立, 但不一定相互独立(D ) 一定不两两独立(B ) P (A |B ) ≠P (A |B ) (D ) P (AB ) ≠P (A ) P (B )
例17
对于任意二事件A 和B,
(A ) 若AB ≠φ, 则A , B 一定独立.
(C ) 若AB =φ, 则A , B 一定独立. (B ) 若AB ≠φ, 则A , B 有可能独立. (D ) 若AB =φ, 则A , B 一定不独立.
例18
对于任意二事件A 和B , 已知0
(A ) 若A ⊂B, 则A , B 一定不独立. (B ) 若B ⊂A, 则A , B 一定不独立.
(C ) 若AB =φ, 则A , B 一定不独立. (D ) 若A =B , 则A , B 一定不独立.
例19
设A , B , C 是相互独立的随机事件, 且0
(A ) A +B 与C . (B ) AC 与C .
例20
将一枚硬币独立地掷两次, 引进事件:A 1={掷第一次出现正面}, A 2={掷第二次出现正面}, (C ) A −B 与C . (D ) AB 与C . A 3={正反面各出现一次}, A 4={正面出现两次}, 则事件
(C ) A 1, A 2, A 3两两独立. (D ) A 2, A 3, A 4两两独立. (A ) A 1, A 2, A 3相互独立. (B ) A 2, A 3, A 4相互独立.
例21
设事件A , B , C 两两独立, 且ABC =φ, P (A ) =P (B ) =P (C ). A , B , C 至少有一个发生的概率为求P (A ). 9, 16
例22
已知P (A ) =a , P (B ) =b , A 与B 独立, 如果C 发生, 必然导致A 与B 同时发生, 则A , B , C 都不发生的概率为
例23
某人向同一目标独立重复射击, 每次射击命中目标的概率为p (0
(A ) 3p (1−p ) 2. (B ) 6p (1−p ) 2. (C ) 3p 2(1−p ) 2. (D ) 6p 2(1−p ) 2. .
例24
做一系列独立试验, 每次试验成功的概率都是p , 试求下列事件的概率:A =" 4次失败在第3次成功之前" ;
B =" 成功10次之前至多失败2次" ;
C =" 现进行n 次重复试验, 已知试验没有全部失败, 成功不止一次".
第二讲一维随机变量及其分布
随机变量及其概率分布主要考点
(1) 随机变量的分布函数
(2) 离散型随机变量的概率分布律
(3) 连续型随机变量的概率密度
(4) 常见随机变量的概率分布及其应用
(5) 随机变量函数的分布
随机变量的分布函数
例1
0, x
7⎪5设随机变量X 的分布函数为F (x ) =⎨x +, −1≤x
例2
⎧0, x
⎪2−x ⎪x ≥1. ⎩1−e ,
11(A ) 0(B ) (C ) −e −1(D ) 1−e −1
22. .
离散型随机变量的概率分布例3
设随机变量X 服从参数为1的泊松分布, 则P (X =EX 2) =
例4
设随机变量X 的概率分布为P (X =k ) =. c ，k =0, 1, 2,..., 则EX 2=k ! . 连续型随机变量的概率密度
例5
设X 1和X 2是任意两个相互独立的连续型随机变量, 它们的概率密度分别为f 1(x ) 和f 2(x ), 分布函数分别为F 1(x ) 和F 2(x ), 则
(A ) f 1(x ) +f 2(x ) 必为某一随机变量的概率密度.
(B ) f 1(x ) f 2(x ) 必为某一随机变量的概率密度.
(C ) F 1(x ) +F 2(x ) 必为某一随机变量的分布函数.
(D ) F 1(x ) F 2(x ) 必为某一随机变量的分布函数.
例6
设F 1(x ) 与F 2(x ) 为两个分布函数, 其相应的概率密度f 1(x ) 与f 2(x ) 是连续函数, 则必为概率密度的是
(A ) f 1(x ) f 2(x ) (B ) 2f 2(x ) F 1(x ) (C ) f 1(x ) F 2(x ) (D ) f 1(x ) F 2(x ) +f 2(x ) F 1(x )
例7
已知随机变量Ｘ的概率密度函数f (x ) =1−x e , −∞
例8
⎧⎪1−x , x
1(1) X 的分布函数F (x ); (2) 概率P (−2
例9
⎧⎪Ae −x , x >λ, 设随机变量X 的概率密度为f (x ) =⎨A 为常数, λ>0, ⎪x ≤λ. ⎩0,
则：P (λ0) _________
(A ) 与a 无关, 随λ增大而增大;
(C ) 与λ无关, 随a 增大而增大;
例10
⎧, 若x ∈[0, 1], ⎪设随机变量X 的概率密度为f (x ) =⎨29, 若x ∈[3, 6],
⎪0, 其他. ⎩
若使得P {X ≥k }=2, 则k 的取值范围是______. 3(B ) 与a 无关, 随λ增大而减小; (D ) 与λ无关, 随a 增大而减小.
例11
设随机变量X 的密度函数为ϕ(x ), 且ϕ(−x ) =ϕ(x ). F (x ) 是X 的分布函数, 则对任意实数a , 有
(A ) F (−a ) =1−ϕ(x ) dx .
0∫a
(C ) F (−a ) =F (a ). a 1(B ) F (−a ) =−ϕ(x ) dx . 20(D ) F (−a ) =2F (a ) −1. ∫
常见随机变量的概率分布及其应用
例12
已知X ~U (a , b ), (a >0), P (0
(1) X 的概率密度; (2) P (1
例13
设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则P (X >DX ) =.
例14
设随机变量X 的密度为f (x ) =Ae
例15
若随机变量X 服从均值为2，方差为σ2的正态分布，且P {2
则P {X
例16
设X ~N (µ, σ2), F (x ) 为其分布函数, µ
(A ) F (−a ) +F (a ) >1.
(C ) F (−a ) +F (a )
例17
设随机变量X 服从正态分布N (0, 1), 对给定的α(0u α) =α, 若P (X
(A ) u α
2−x 2+x , −∞
例18
设f 1(x ) 为标准正态分布的概率密度, f 2(x ) 为[−1, 3]上的均匀分布的概率密度,
⎧af (x ) x ≤0若f (x ) =⎨1(a >0, b >0) 为概率密度, 则应a , b 满足
⎩bf 2(x ) x >0
(A ) 2a +3b =4(B ) 3a +2b =4
(C ) a +b =1. (D ) a +b =2
随机变量的函数分布
例19
已经随机变量X 的分布律为:P (X =k ) =1
2(k =1, 2,...), 求随机变量Y =sin(πX ) 的分布律. 2
例20
X
⎪3, 3≤X , ⎩
例21
⎧1⎪, −1≤x
⎪4
⎪⎪0, 其他. ⎩
试求Y 的概率密度f Y (y ).
例22
已知随机变量X 的概率密度为f (x ), 求:随机变量Y =min(X , X 2) 的概率密度f Y (y ). 例23
设随机变量X ~E (2), 证明:随机变量Y =1−e −2X 服从U (0, 1).
例24
设X ~E (λ), 则Y =min(X , 2) 的分布函数
(A ) 是连续函数. (B ) 至少有两个间断点. (C ) 是阶梯函数. (D ) 恰好有1个间断点.
第三讲二维随机变量及其分布
二维随机变量及其概率分布主要考点
(1) 随机变量的联合分布边缘分布与条件分布
(2) 二维随机变量的独立性
(3) 二维随机变量的函数分布
二维随机变量的联合分布边缘分布与条件分布
联合分布函数的性质
例1
⎧⎪(1−e −2x )(1−e −3y ) x ≥0, y ≥0, 已经二维随机变量(X , Y ) 的联合分布函数为:F (x , y ) =⎨⎪0, 其他, ⎩
则F X (x ) =_____,F Y (y ) =_____.
二维离散型随机变量:
(1) 联合分布律(2) 边缘分布律(3) 条件分布律
例2
从1, 2, 3, 4中任取一个数, 记为X , 再从1, ⋯, X 中任取一个数, 记为Y .
求(X , Y ) 的联合概率分布律.
例3
设二维随机变量(X , Y ) 的概率分布为其中a , b , c 为常数, 且X 的数学期望EX =−
0. 2, P {Y ≤0|X ≤0}=0. 5, 记Z =X +Y . 求a , b , c .
二维连续型随机变量:
(1) 联合概率密度(2) 边缘概率密度(3) 条件概率密度
例4
设二维随机变量(X , Y ) 的概率密度为f (x , y ) =Ae
求常数A 及条件概率密度f Y X (y x ).
−2x 2+
2xy −y 2, −∞
例5
⎧6x , 0≤x ≤y ≤1,
设二维随机变量(X , Y ) 的概率密度为:f (x , y ) =⎨则P {X +Y ≤1}=_____.
其他, ⎩0,
例6
⎧⎪e −x , 0
设二维随机变量(X , Y ) 的联合概率密度为:f (x , y ) =⎨试求条件概率密度f Y X (y x ).
⎪其他. ⎩0, 例7
设随机变量X 在区间(0, 1) 上服从均匀分布, 在X =x (0
两种常见的二维连续型随机变量
例8
设平面区域D 由曲线y =
1
及直线y =0, x =1, x =e 2所围成, 二维随机变量(X , Y ) x
在区域D 上服从均匀分布, 则(X , Y ) 关于X 的边缘概率密度在x =2处的值为____.
例9
122−1+sin x sin y 2(x +y )
二维随机变量(X , Y ) 的联合概率密度为f (x , y ) =e ,
2π
−∞
例10
11
设(X , Y ) ~N (1, 2; 1, 4; −且P (aX +bY ≤1) =则(a , b ) 可以为:
22
11111111(A ) (, −(B )(, −) (C )(−, (D )(, )
24424224
例11
设随机变量X 和Y 都服从正态分布, 且它们不相关, 则
(A ) X 与Y 一定独立.(B ) (X , Y ) 服从二维正态分布.(C ) X 与Y 未必独立.(D ) X +Y 服从一维正态分布.
随机变量的独立性
例12
设随机变量X 和Y
相互独立, 下表列出二维随机变量(X , Y ) 联合分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中的部分数值, 试将其余数值填入表中空白处.
例13设随机变量
X 和Y 相互独立, 若(X , Y ) 的联合概率分布见下表, 则(a , b ) =_______.
例14
设两个随机变量X 与Y 独立且同分布:
11
P {X =−1}=P {Y =−1}=, P {X =1}=P {Y =1}=, 则下列各式中成立的是
22
111
(A ) P {X =Y }=. (B ) P {X =Y }=1. (C ) P {X +Y =0}=. (D ) P {XY =1}=.
244
例15设二维随机变量
(X , Y ) 的概率分布为:若随机事件{X =0}与{X +Y =1}相互独立, 则a =_____,b =_____.
例16
⎡−10
已知随机变量X 1和X 2的概率分布X 1~⎢11
⎢42⎣
(1) 求X 1和X 2的联合分布; (2) 问X 1和X 2是否独立? 为什么? 例17
⎧⎪e −y , 0
设f (x , y ) =⎨试求:
⎪其他. ⎩0,
(1) f X (x ) 和f Y (y ); (2) 判断X , Y 是否独立.
1⎤1⎥, 4⎦⎡0
X 2~⎢1
⎢2⎣1⎤
1⎥而且P {X 1X 2=0}=1. 2⎦
例
18
设随机变量(X , Y ) 服从二维正态分布, 且X 与Y 不相关, f X (x ), f Y (y ) 分别表示
X , Y 的概率密度, 则在Y =y 的条件下, X 的条件概率密度f X |Y (x |y ) 为(A ) f X (x ).
(B ) f Y (y ).
(C ) f X (x ) f Y (y ).
f (x ) (D ) .
f Y (y )
二维随机变量的函数分布
例19设随机变量X 与Y 独立同分布, 且X 的概率分布为设U =max(X , Y ), V =
min(X , Y ). 求(U , V ) 的概率分布
例20
2⎞⎛1
设随机变量X 与Y 独立, 其中X 的概率分布为X ~⎜⎜0. 30. 7⎟⎟,
⎝⎠
而Y 的概率密度为f (y ), 求随机变量U =X +Y 的概率密度g (u ).
例21
设随机变量X 与Y 相互独立, X 的概率分布为P (X =i ) =记Z =X +Y .
⎧⎫1
(I ) 求P ⎨Z ≤X =0⎬; (II ) 求Z 的概率密度f Z (z ).
2⎩⎭
⎧1, 0≤y
(i =−1, 0, 1), Y 的概率密度为f Y (y ) =⎨
其他. 3⎩0,
例22
设随机变量X 与Y 相互独立, 且X 服从标准正态分布N (0, 1), Y 的概率分布为P {Y =0}=P {Y =1}=记F Z (z ) 为随机变量Z =XY 的分布函数, 则函数F Z (z ) 的间断点个数为(A ) 0. (B ) 1. (C ) 2. (D ) 3.
1
, 2
例23
⎧0, X
记:U =⎨1, 0≤X
⎪2, X ≥Y , ⎩例24
假设二维随机变量(X , Y ) 在区域G =(x , y ) |x 2+y 2≤1, y ≥0上服从均匀分布,
⎧⎪0, 若X ≥Y , V =⎨求(U , V ) 的概率分布及P (UV ≠0)
⎪⎩1, 若X
{}
⎧1, 0
设二维随机变量(X , Y ) 的概率密度为f (x , y ) =⎨
其他. ⎩0, 求:Z =2X −Y 的概率密度f Z (z ).
例25
⎧2−x −y , 0
设二维随机变量(X , Y ) 的概率密度为:f (x , y ) =⎨
其他. ⎩0,
求Z =X +Y 的概率密度f z (z ).
例26
⎧⎪2e −(x +2y ) ,
设二维随机变量(X , Y ) 的概率密度为f (x , y ) =⎨
⎪0, ⎩
求随机变量Z =X +2Y 的分布函数.
例27
设相互独立随机变量X 与Y 分别服从N (0, 1) 和N (1, 1), 则
111
(A ) P (X +Y ≤0) =; (B ) P (X +Y ≤1) =; (C ) P (X −Y ≤0) =;
222
1
. 2
x >0, y >0, 其他,
(D ) P (X −Y ≤1) =
例28
设X , Y , Z 相互独立, X ~N (1, 2), Y ~N (2, 2) Z ~N (3, 7), 记a =P (X
第四讲随机变量的数字特征
随机变量的数字特征主要考点(1) 数学期望(2) 方差
(3) 常见随机变量的数学期望与方差(4) 协方差与相关系数(5) 矩
数学期望:(1) 定义
(2) 性质和公式
判断随机变量X 的数学期望EX 是否存在:
c
(1) X 的概率分布律为:P (X =k ) =(k =1, 2,...), c 为大于零的常数.
3k
1
(2) X ~f (x ) =, −∞
2
π(1+x )
例1
⎧1+x , 若−1≤x ≤0, ⎪
设随机变量X 概率密度为:f (x ) =⎨1−x , 若0
⎪0, 其他. ⎩则EX =___,EX 2=___,DX =___.
例2
⎧⎪4xe −2x ,
设随机变量X 的概率密度为f (x ) =⎨
⎪⎩0,
例3
设随机变量X 的概率密度为:f (x ) =例4
11
设随机变量X 与Y 相互独立, X ~E (Y ~E (), 记随机变量U =max(X , Y ), V =min(X , Y ),
36
则:EU =_______,EV =_______.
1
x >0,
则EX =__,EX 2=__,D (2X −1) =__. x ≤0.
π(1+x )
2
, −∞
例5
设随机变量X 与Y 相互独立, 均服从N (µ, σ2), 记随机变量U =max(X , Y ), V =min(X , Y ), 则:EU =_______,EV =_______.
例6
设随机变量X 的分布函数为F (x ) =0. 3Φ(x ) +0. 7Φ(分布函数, 则EX =_____.
(A ) 0. (B ) 0. 3. (C ) 0. 7. (D ) 1. 例7
游客乘电梯从电视塔底层到顶层观光; 电梯于每个整点的第5分钟, 25分钟和55分钟从底层起行. 假设一游客在早8点的第X 分钟到底层候梯处, 且X 在[0, 60]上服从均匀分布, 求该游客等候时间的数学期望. 例8
一商店经销某种商品, 每周进货的数量X 与顾客对该种商品的需求量Y 是相互独立的随机变量, 且都服从区间[10, 20]上的均匀分布. 商店每售出一单位商品可得利润1000元, 若需求量超过了进货量, 商店可从其他商店调剂供应, 这时每单位商品获利润为500元. 试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值.
x −1
), 其中Φ(x ) 为标准正态分布的2
方差:(1) 定义
(2) 性质和公式
例9
设随机变量X 与Y 相互独立, 证明:D (XY ) =D (X ) D (Y ) +(EX ) 2D (Y ) +(EY ) 2D (X ).
例10
设二维随机变量(X , Y ) 服从正态分布N (µ, µ; σ2, σ2; 0), 则E (XY 2) =
例11
设随机变量X 和Y 的联合分布在以点(0, 1), (1, 0), (1, 1) 为顶点的三角形区域上服从均匀分布. 求随机变量Z =X +Y 的方差.
例12
1
设两个随机变量X , Y 相互独立, 且都服从均值为0, 方差为,
2
求随机变量X −Y 的方差.
例13
设X 与Y 相互独立, 且均服从N (0, 1), 求Z =
常见随机变量的数学期望与方差
例14
设随机变量X 1, X 2, X 3相互独立, 其中X 1在[0, 6]上服从均匀分布,
X 2+Y 2的数学期望与方差.
X 2服从正态分布N (0, 22), X 3服从参数为λ=3的泊松分布. 记Y =X 1−2X 2+3X 3, 则DY =___.
协方差:(1) 定义
(2) 性质和公式
例15设随机变量
X 和Y 的联合概率分布为则X 2和Y 2的协方差cov(X 2, Y 2) =_____.
例
16
设随机变量X 1, X 2, ⋯X n (n >1) 相互独立同分布, 且其方差为σ2>0, 令Y =
1n
∑X , 则
i i =1
n
σ2
(A ) cov(X 1, Y ) =. (B ) cov(X 1, Y ) =σ2.
n
n +22n +12
(C ) D (X 1+Y ) =σ. (D ) D (X 1−Y ) =σ.
n n
例17
设X 1, X 2, ⋯X n (n >2) 为相互独立同分布的随机变量, 且均服从N (0, 1), 记X =
1n
n
∑X , Y =X −X , i =1, 2, ⋯, ⋯n . 求:
i i
i
i =1
(1) Y i 的方差DY i , i =1, 2, ⋯, ⋯n . (2) Y 1与Y n 的协方差cov(Y 1, Y n ). (3) P {Y 1+Y n ≤0}.
相关系数:(1) 定义
(2) 性质和公式
例18
将一枚硬币重复掷n 次, 以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X 和Y 的相关系数等于(A ) −1. (B ) 0.
例19
设随机变量X ~N (0, 1), Y ~N (1, 4), 且相关系数ρXY =1, 则
(A ) P {Y =−2X −1}=1.(B ) P {Y =2X −1}=1.(C ) P {Y =−2X +1}=1.(D ) P {Y =2X +1}=1.
(C ) 0. 5. (D ) 1.
例20
设随机变量X 和Y 的相关系数为0. 9, 若Z =X −0. 4, 则Y 与Z 的相关系数为
例21
设随机变量X 和Y 的相关系数为0. 5, EX =EY =0, EX 2=EY 2=2, 则E (X +Y ) 2=
.
.
独立与不相关
例22
设二维随机变量(X , Y ) 服从二维正态分布, 则随机变量ξ=X +Y 与η=X −Y 不相关的充分必要条件为(A ) E (X ) =E (Y ). (C ) E (X 2) =E (Y 2).
(B ) E (X 2) −[E (X ) ]2=E (Y 2) −[E (Y ) ]2. (D ) E (X 2) +[E (X ) ]2=E (Y 2) +[E (Y ) ]2.
例23
设随机变量X 的概率分布密度为f (x ) =(1) 求X 的数学期望EX 和方差DX .
(2) 求X 与X , 并问X 与X 是否不相关? (3) 问X 与X 是否相互独立? 为什么?
矩
1−x
e , −∞
第五讲大数定律和中心极限定理
大数定律和中心极限定理主要考点(1) 切比雪夫不等式与依概率收敛(2) 大数定律(3) 中心极限定理
切比雪夫不等式与依概率收敛
例1
设随机变量X 和Y 的数学期望分别为−2和2,
方差分别为1和4, 而相关系数为−0. 5, 则根据切比雪夫不等式P X +Y ≥6≤
大数定律例2
设随机变量X 1, X 2,..., X n ,... 相互独立, 且满足大数定律, 则X i 的分布可以是1
(A ) P (X i =k ) =, k =1, 2,....(c >0) (B ) X i ~E ()
3i k (C ) X i ~P (i ) 例3
设总体X 服从参数为2的指数分布, X 1, X 2, ⋯X n 为来自总体X 的简单随机样本, 则当n →∞时, Y n =
1n
n
{}
.
c
(D ) X i ~f (x ) =
1
π(1+x )
2
, x ∈R
∑i
=1
X 2依概率收敛于
i
.
中心极限定理
例5
设X 1, X 2, ⋯X n , ⋯为独立同分布的随机变量列, 且均服从参数为λ(λ>0) 的指数分布, 记φ(x ) 为标准正态分布函数, 则⎧n ⎫⎪⎪X i −n λ⎪⎪⎪=1⎪
(A ) lim P ⎨≤x ⎬=φ(x ).
n →∞⎪λn ⎪
⎪⎪⎪⎪⎩⎭
∑
⎧n ⎫⎪⎪X i −n λ⎪⎪⎪⎪
(B ) lim P ≤x ⎬=φ(x ).
n →∞⎪n λ⎪
⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎧n ⎫⎪λ⎪X i −n ⎪⎪⎪⎪
(C ) lim P ⎨≤x ⎬=φ(x ).
n →∞⎪n ⎪
⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎧n ⎫⎪⎪X i −λ⎪⎪⎪⎪
(D ) lim P ⎨≤x ⎬=φ(x ).
n →∞⎪n λ⎪
⎪⎪⎪⎪⎩⎭
∑
∑
∑
例6
2
假设X 1, X 2, ⋯X n 是来自总体X 的简单随机样本, 已知EX k =a k (k =1, 2, 3, 4). 并且a 4−a 2>0. 证明
1当n 充分大时, 随机变量Z n =
n ∑
i =1
n
X 2近似服从正态分布, 并指出其分布参数.
i
第六讲
数理统计主要考点
(1) 基本概念(2) 参数估计(3) 假设检验基本概念
数理统计
(1) 总体和样本(2) 统计量(3) 数理统计三大分布(4) 正态总体抽样分布
总体和样本
例1
设总体X ~E (λ), 则来自总体X 的简单随机样本X 1, X 2, ⋯X n 的联合概率密度f (x 1, x 2, ⋯x n ) =
统计量
(1) 定义(2) 常见统计量
.
例2
设随机变量X , Y 独立同分布, 且X 的分布函数为F (x ), 则Z =max {X , Y }的分布函数为(A ) F 2(x ) (C ) 1−[1−F (x ) ]2
例3
⎧2x , 0
设总体X 的概率密度为f (x ) =⎨X 1, X 2, X 3, X 4是取自总体X 的简单随机样本.
其他, ⎩0,
则X (4)=max (X 1, X 2, X 3, X 4)的概率密度f X (4)(x ) =. 例4
1−x 设总体X 的概率密度为f (x ) =e (−∞
2其样本方差为S 2, 则ES 2=
.
(B ) F (x ) F (y ) (D ) [1−F (x ) ][1−F (y ) ]
数理统计三大分布
例5
(X −2X ) 2(3X 3−4X 4) 2
设X 1, X 2,..., X n 为来自总体N (0, 2) 的简单随机样本, 已知随机变量+~χ2(n ),
a b
则a =______,b =______,n =_______.
2
例6
设随机变量X 和Y 相互独立且都服从正态分布N (0, 32), 而X 1, X 2, ⋯X 9和Y 1, Y 2, ⋯Y 9分别来自
X +⋯+X 总体X 和Y 的简单随机样本, 则统计量U =服从分布, 参数为.
Y 2+⋯+Y 2
1
9
例7
设总体X 服从正态分布N (0, 22), 而X 1, X 2, ⋯X 15是来自总体X 的简单随机样本, 则随机变量
Y =
X 2+⋯+X 2
1
10
222⎛⎜X +⋯+X ⎞⎟
15⎠⎝11
服从分布, 参数为.
例8
设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布, 则(A ) X +Y 服从正态分布.
(B ) X 2+Y 2服从χ2分布.
(C ) X 2和Y 2都服从χ2分布. (D ) X 2/Y 2服从F 分布.
例9
设随机变量X ~t (n ) (n >1), Y =(A ) Y ~χ2(n ). 正态总体抽样分布
例10
设X 1, X 2, ⋯X n (n ≥2) 为来自总体N (0, 1) 的简单随机样本, X 为样本均值, S 2为样本方差, 则(A ) n X ~N (0, 1).
(B ) nS 2~χ2(n ).
2
(n −1) X (n −1) X (C ) ~t (n −1). (D ) ~F (1, n −1).
n S
X i 2
1
X
2
, 则
(C ) Y ~F (n , 1).
(D ) Y ~F (1, n ).
(B ) Y ~χ2(n −1).
∑
i =2
例11
设总体X ~N (µ, σ2). 设X 1, X 2, ⋯, X n 是来自总体X 的一个样本, 且X =
n
2
1n
X i , ∑i
=1
n
S 2=
例12
1
n −1
∑i
=1
(X i −X ) , 求E (X 1S 2), D (S 2).
1
设X 1, X 2, ⋯, X n 是总体N (µ, σ2) 的简单随机样本. 记X =
n (I ) ET =µ2;
(II ) 当µ=0, σ=1时, 求DT .
∑
i =1
n
1
X i , S 2=
n −1∑
i =1
n
(X i −X ) 2, T =X −
2
12S . n
参数估计
(1) 点估计(2) 区间估计点估计
(1) 矩估计(2) 最大似然估计(3) 评选标准
矩估计最大似然估计
1
例13设总体X 的概率分布为其中θ(0
) 是未知参数. 利用总体X 的如下样本值
2
3, 1, 3, 0, 3, 1, 2, 3求θ的矩估计值和最大似然估计值.
例14
⎧⎪λ2xe −λx , x >0
设总体X 的概率密度为f (x ) =⎨其中参数λ(λ>0) 未知, X 1, X 2, ⋯X n 为来自
⎪其他⎩0,
总体X 的简单随机样本, (I ) 求参数λ的矩估计; (II ) 求参数λ的最大似然估计.
例15
设总体X ~U [a , b ], a 和b 是未知参数, 从总体X 中抽取简单随机样本X 1, X 2, ⋯X n , 求a 和b 的最大似然估计量.
例16
⎧−1(x −µ) ⎪1e θ, x >µ, 其中θ>0, µ和θ是未知参数, 从总体X 中抽取简单设总体X 的概率密度为f (x ) =⎨⎪θ0, x ≤µ, ⎩
随机样本X 1, X 2, ⋯X n , 求µ和θ的矩估计量和最大似然估计量.
例17
设X 1, X 2,..., X n 为来自正态总体N (µ0, σ2) 的简单随机样本, 其中µ0已知, σ2未知,
X 和S 2分别表示样本均值和样本方差. (I)求参数σ2的最大似然估计σ;
∧2
(II)计算E σ和D σ.
∧2∧2
例18
0
⎪
设总体X 的概率密度为f (x ; θ) =⎨1−θ, 1≤x
⎪0, 其他⎩总体X 的简单随机样本, 记N 为样本值x 1, x 2,..., x n 中小于1的个数, 求参数θ的最大似然估计.
点估计评选标准例19
设总体X ~U (0, θ), X 1, X 2,..., X n 为取自总体X 的简单随机样本.
ΛΛ
(1) 求θ的矩估计θ1, 判断θ1的无偏性和一致性;
ΛΛ
(2) 求EX 的极大似然估计µ, 判断µ的无偏性.
例20
⎧⎪2e −2(x −θ) , x >θ,
设总体X 的概率密度为f (x ) =⎨其中θ>0是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机
⎪0, x ≤θ, ⎩样本X 1, X 2, ⋯X n , 记θ=min(X 1, X 2, ⋯X n ). 用θ作为θ的估计量, 讨论它是否具有无偏性. 例21
⎧⎪e −(x −θ) , x >θ,
设总体X 的概率密度为f (x , θ) =⎨
⎪x ≤θ, ⎩0,
其中θ∈(−∞, +∞), 是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本X 1, X 2, ⋯X n . 1
证明θ1=
n
∧
∧
∧
∑
i =1
n
1
X i −1, θ2=min(X 1, X 2, ⋯X n ) −是θ的两个无偏估计量, 并确定哪一个更有效.
n
∧
例22
假设总体X 的方差DX =σ2存在, X 1, X 2,..., X n 是取自总体X 的简单随机样本, 其方差为S 2, 则(A ) S 是σ的矩估计量
(B ) S 是σ的极大似然估计量
(C ) S 是σ的无偏估计量(D ) S 是σ的相合(一致) 估计量
区间估计
(1) 定义(2) 正态总体区间估计
例23设有正态总体X ~N (µ, 8), µ为未知参数(1) 现有总体X 的10个观测值x 1, x 2, ⋯, x n , 已知x =置信度为0. 95的置信区间.
(2) 要使得0. 95的置信区间长度不超过1, 则n 最少应该是多少.
(3) 若n =100, 那么区间x −1, x +1作为µ的置信区间，则置信度是多少.
例24设一批零件的长度服从正态分布N (µ, σ2), 其中µ, σ均未知. 现从中随机抽取16个零件, 测得样本均值x =20(cm ), 样本标准差S =1(cm ), 则µ的置信度为0. 90的置信区间是11
t 0. 05(16), 20+t 0. 05(16)); 4411
(B ) (20−t 0. 1(16), 20+t 0. 1(16));
4411
(C ) (20−t 0. 05(15), 20+t 0. 05(15));
4411
(D ) (20−t 0. 1(15), 20+t 0. 1(15)).
44(A ) (20−
1
10∑x =1500, 求未知参数µ的
i i =1
10
)
例25
假设0. 5, 1. 25, 0. 8, 2是取自总体X 的一组简单随机样本值, 已知Y =ln X ~N (µ, 1). (1) 求X 的数学期望EX , (记EX 为b ); (2) 求µ的置信度为0. 95的置信区间;
(3) 利用上述结果求b 的置信度为0. 95的置信区间.
假设检验