十字相乘法解一元二次方程
因式分解法解一元二次方程（2）
教学目标：1、理解什么是十字相乘法，会用十字相乘法分解因式。
2、在分解因式的基础上进行解一元二次方程。
重、难点：用十字相乘法解一元二次方程
教学过程
一、回顾
①(x +2)(x +1)=_____________=_________;
②(x +2)(x -1)=_____________=_________;
③(x -2)(x +1)=_____________=_________;
④(x -2)(x -1)=_____________=_________;
⑤(x +a )(x +b )=_____________=_________;
二、新知形成
（一）二次项次数为1的二次三项式的因式分解
一般地，由多项式乘法，(x +a )(x +b )=x 2+(a +b )x +ab ，反过来，就得到
x 2+3x +2=_________. x 2+x -2=_________. x 2-x -2=_________. x 2-3x +2=_________. x 2+(a +b ) x +ab =_________.
也就是说，对于二次三项式x +px +q ，如果能够把常数项．．．q 分解成两个因数a 、b 的积，并且a +b 等于一次项的系数p ，那么它就可以分解因式，即 2
x 2+px +q =x 2+(a +b )x +ab =(x +a )(x +b )。运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式。 ．．．．．．．．．
二、典例分析
例1、分解因式
（1）x +4x +3 （2）x -3x +2 （3）x +6x -7 （4）x -2x -3
那么, 对于形如x 2+(a +b ) x +ab =0形式的一元二次方程, 我们如何去解呢?
因为：二次项系数为1⨯1=1；常数项为a ⨯b =ab ；一次项系数为1⨯a +1⨯b =a +b . 由上面的可知, 可以将一元二次方程x +(a +b ) x +ab =0化为(x +a )(x +b ) =0，然后解得此方程的解是x 1=-a , 22222x 2=-b
像用这种解一元二次方程的方法, 就叫做十字相乘法. 此方法在解一些一元二次方程会带来许多方便. 要用此方法接一元二次方程, 一次项系数和常数项进行巧妙的分解成两个因数的乘积. 现将分解方法总结如下:拆末项，凑中央。
例1 解下列一元二次方程:
（1）x -5x +6=0; （2）x +10x -11=0.
1
22
例2 若一元二次方程(m -1) x 2+3m 2x +(m 2+3m -4) =0有一个根是0，则m 的值是？
练习：①x +4x +3=0；②x -2x -3=0 ③x -6x +5=0 ④x -x -12=0 ⑤x -7x +10=0 ⑥x +2x -99=0 ⑦x -5x -6=0 ⑧(x +1)(x +3) =15
（二）二次项次数不为1的二次三项式的因式分解
由上面例子启发我们，应该如何把二次三项式ax +bx +c 进行因式分解。
我们知道， 22222222
(a 1x +c 1)(a 2x +c 2)
=a 1a 2x 2+a 1c 2x +a 2c 1x +c 1c 2
=a 1a 2x 2+(a 1c 2+a 2c 1)x +c 1c 2
反过来，就得到 a 1a 2x 2+(a 1c 2+a 2c 1)x +c 1c 2
=(a 1x +c 1)(a 2x +c 2)
我们发现，二次项的系数a 分解成a 1a 2，常数项c 分解成c 1c 2，并且把a 1，a 2，c 1，c 2排列如下：
这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a 1c 2+a 2c 1，如果它们正好等于ax +bx +c 的一次项系数b ，那么ax +bx +c 就可以分解成(a 1x +c 1)(a 2x +c 2)，其中a 1，c 1位于上图22
的上一行，a 2，c 2位于下一行。
例2、解方程
(1) 2x -7x +3=0 (2) 6x -7x -5=0 (3)2x -5x -3=0
(4)2x +15x +7=0 (5) 3a -8a +4=0 (6) 5x +7x -6=0
22 (7) 6y -11y -10=
0 (8) 2x -+5=0 (9) 2x -5x =-2 2222222
22例3 已知3x -7xy -20y =0, 求证: x =4y 或3x =-5y .
2