中职数学教案(数列)
江苏省洪泽中等专业学校
教 案
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1. 数列的定义
我们把按一定次序排成的一列数叫做数列.数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 数列的一般形式可以写成a 1, a 2, a 3, …, a n , …. 简记作{a n }.其中a 1叫做数列的第1项(或首项) ,a 2叫做数列的第2项, …,a n 叫做数列的第n 项(n 是正整数) .
项数有限的数列叫做有穷数列,项数无限的数列叫做无穷数列. 课内练习1
2. 数列的表示形式
数列除了表示成上述形式以外,根据实际情况需要,只要不改变有序这个特,也能以其他形式表示.例如体温记录数列(1),表示成下面的表可能更合适:
当一个有穷数列,随着项号变化,其对应的项的变化没有规律,且数据又要求比较准确时,通常会以列表方式表示.列表表示的一般形式是
在医疗单位,表示病员体温记录的数列(1),更常用的是如下图象表示形式,:
图1-3
图象表示形式以直观、变化趋势明显为特色.当数列项数不太多而又需要明显地表明其变
化趋势时(例如产值变化、利润变化、人口增长率变化等等) ,把数列用图象形式表示出来,无疑是上策.
3. 数列的通项
对于习惯于以式作为研究对象的你来讲,最乐意见到的,是数列{a n }的第n 项a n 与n (n 是正整数) 之间的关系可以用一个公式 a n =f (n ), n =1,2,3, … 来表示. 公式就叫做这个数列的通项公式.
数列的通项公式表示了数列中的任何一项,为了求得第n 项,只要把n 代入到公式中就行了,而且从通项公式还可以进一步探讨数列的性质。 例1 根据数列{a n }, {b n }的通项公式,写出它的前5项:
n
(1)a n =;
n +1(-1) n
(2)b n =.
2
例2 写出一个数列的通项公式,使它的前4项分别是下列各数: 111
(1)1, , , , …; (2)2, -4, 6, -8, ….
1234
课内练习2
1. 怎样表示下面的数列比较合适? (1)全年按月顺序排列的月降水量;
(2)打靶10次,按打靶顺序排列的中靶环数; (3)按由小到大顺序排列的自然数负倒数数列; (4)一年中12个月的营业额. 2. 已知数列的通项,求其前4项:
1(-1) n +1
(1)a n =10n ;(2)b n =;(3)c n =3;(4)d n =n (n +2).
n n
3. 已知数列的前4项,试求出其通项公式: (1)2, -4, 6, -8, 10, …; (2)1, -1, 1, -1, …; (3)
111115913
, , , , …; (4), , , , …. 222224816
n 24. 已知数列{a n }的通项公式a n =,8.1是这个数列中的项吗?如果是,
n +1
是第几项?
小结 作业
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1. 等差数列的概念
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差.公差通常用字母d 来表示.用符号语言来叙述,则是:如果数列{a n }满足a n +1-a n =d , (n 1,且n ∈N , d 是常数) ,那么数列{a n }叫做等差数列,常数d 叫做等差数列的公差.
例1 下面的数列中,哪些是等差数列?为什么?如果是等差数列,求出公差d :
(1)-0.70,-0.71,-0.72,-0.74,-0.76,…;(2)-9,-9,-9,-9,-9,…; (3)-1,0,1,0,-1,0, 1,…; (4)1,4,7,10,13,…. 例2 下列数列都是等差数列,试求出其中的未知项: (1)3,a ,5; (2)3,b ,c ,-9. 课内练习1
1. 下面的数列中,哪些是等差数列?为什么?如果是等差数列,求出公差d : (1)-1,-1,-1,-1,…; (2)1.1,1.11,1.111,1.1111,…; (3)-3
+
111
,-1,1,4,6, …; (4)1, 0, 1, 0,1,…; 222111
, , , …. 234
(5)1,
2. 已知下列数列是等差数列,试在括号内填上适当的数: (1)( ), 5, 10; (2)31, ( ), ( ), 1. 3. 已知一个无穷等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d .
(1)将数列中的前m 项去掉,余下的项按原来顺序组成一个新的数列,这个新数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是多少?
(2)取出数列中的所有奇数项,按原来顺序组成一个新的数列,这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项和公差分别是多少?
(3)取出数列中所有项数为7的倍数的各项,按原来顺序组成一个新的数列,这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差各是多少? 2. 等差数列的通项公式
设{a n }是等差数列,首项是a 1,公差是d .根据等差数列的定义,从第2项起,,每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数,于是有
a 2-a 1=d ,a 2=a 1+d ;a 3=a 2+d =(a 1+d )+d =a 1+2d ;a 4=a 3+d =(a 1+2d )+d =a 1+3d ;… 依次类推,得到
a n =a 1+(n -1) d , n =1,2,3, …. 例3(1)求等差数列8, 5, 2,…的第20项;
(2)在等差数列{a n }中,已知a 5=10, a 12=31,求首项a 1与公差d .
例4 第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行,此后每4年举行一次. 奥运会如因故不能
举行,届数照算.
(1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式; (2)2008年北京奥运会是第几届?
(3)2050年举行奥运会吗?
例5 某滑轮组由直径成等差数列的6个滑轮组成.已知最小和最大的滑轮的直径分别为15cm
和25cm ,求中间四个滑轮的直径. 3. 等差中项
如果a , A , b 这三个数成等差数列,即A -a =b -A ,则A 必定是a , b 的算术平均值 A =
a +b
. 2
从数列的角度来看,A 是成等差三个数的中间一项,故把A 叫做a 与b 的等差中项.反之,
若A 由A =
b -a a +b
确定,则 A -a =b -A =,即a , A , b 成等差数列. 22
在一个等差数列{a n }中,相邻三项总是等差的,因此从第2项起,每一项(有穷等差数列的末项除外) 都是它的前一项与后一项的等差中项,即a n =
a n -1+a n +1
,(n ≥2) . 2
例6 已知两个数a =205, b =315,求它们的的等差中项. 课内练习2
1. 求等差数列3, 7, 11,…的第4项与第10项.
2. 等差数列的通项公式为 a n =-2n +7,试求其首项和公差. 3. 在等差数列{a n }中,已知a 3=10, a 9=28,求a 12.
4. 梯子的最高一级宽33cm ,最低一级宽110cm ,中间还有10级,各级的宽度成等差数列.计
算中间各级的宽度.
5. -401是不是等差数列-5, -9, -13, … 的项?如果是,是第几项?如果不是,说明理由.
6. 在通常情况下,从地面到10km 高空,高度每增加1km ,气温就下降某一固定数值,如果高度为1km 处的气温是8.5︒,5km 处的气温是-17.5︒,求高度为2km 、4km 、8km 处的气温. 7. 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列,b n =a n +c , (c 为常数) ,试证明数列{b n }也是等差数列,并求其公差. 4. 等差数列的前n 项和
现设{a n }为一等差数列,欲求其前n 项的和S n =a 1+a 2+…+a n .以 a 2=a 1+d , a 3=a 1+2d , …, a n =a 1+(n -1) d 代入,得
S n =a 1+(a 1+d )+(a 1+2d )+ …+[a 1+(n -1) d ]=na 1+[(1+2+3+…+(n -1)]d . 应用(11-2-3), S n =na 1+因为 na 1+故 S n =
n (n -1)
d ; 2
n (n -1) a +[a 1+(n -1) d ](a 1+a n ) n
d = n 1=, 222
(a 1+a n ) n
. 2
即等差数列的前n 项和等于首末项的和与项数乘积的一半.
即为等差数列前n 项求和公式.两个公式虽说可以互化,但在不同场合还是应该有所选择. 例7 (1)求正奇数前100项之和;
(2)求第101个正奇数到第150个正奇数之和; (3)等差数列的通项公式为a n =100-3n, 求前65项之和; (4)在等差数列{a n }中,已知a 1=3, d =
1
,求S 10. 2
例8 某长跑运动员7天里每天的训练量(单位:m)分别是:7500,8000,8500,9000,9500,
10000,10500,他在7天内共跑了多少米?
例9 在例8中那位长跑运动员的教练,规定第一期训练计划为跑完150000m .问第一期需要
多少天?
例10 某人以分期付款方式购买了一套住房,售价50万元.首期付20万元,余款按月归还一
次,在20年内还清,欠款以利率0.5%按月计算利息,并平均加到每月还款额上.问此人每月要付多少购房款?最终实际为住房付了多少款? 例12 设等差数列{a n }的公差d =课内练习3
1在等差数列{a n }中:
(1)已知a n =2-0.2n , 求S 50; (2)已知a n =
1513
, a n =, 前n 项之和S n =-.求首项a 1及n .
222
n
, 求第10项至第50项的和S ; 3
(3)已知a 1=100, d =-2, 求S 50; (4)a 1=14.5, d =0.7, 求S 32. 2. 设{a n }是等差数列,a 1=
52
, n =34, S n =-158,求a n 和公差d . 63
3. 在一个成等腰梯形屋面上铺瓦,最上面一层铺了21块,往下每一层多铺2块,共铺了19层,问共铺了多少块瓦片?
4. 一个剧场设置了20排座位,第一排38个座位,往后每一排都比前一排多3个座位. 这个剧场一共设置了多少个座位?
5. 已知一个等差数列{b n }的首项b 1=-35,公差d =7,这个数列的前多少项和恰好为0? 6. 某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房,共需1150万元,购买时先付150万元,以后每月都交付50万元,并加付欠款利息,月利率为1%.若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月,问:分期付款的第10个月应该付多少钱?全部贷款付清后,买这40套住房实际花了多少钱?
小结: 作业:
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1. 等比数列的概念
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q , (q ≠0) 表示.
用数学符号语言来说,如果数列{a n }满足
a n +1
=q , (n ≥1, 且n ∈N +, q ≠0, q 是常数) ,那么数列n
{a n }叫做等比数列,常数q 叫做等比数列的公比.
例1 下面是数列{a n }的前4项,据此判断哪些是等比数列?为什么?如果是等比数列,求出
公比q :
(1)-1, -4, -16, -64, …; (2)2, 2, 2, 2, …; (3)1,
1111
, , , , …; (4)0, 1, 2, 22, 23, 24, … . 2468
例2 求出下列等比数列中的未知项: (1)2, a , 8,(a >0); (2)4, b , c , 课内练习1
1. 下面是数列{a n }的前4项,由此判断哪些是等比数列?为什么?如果是等比数列,求出公比q :
(1) 0, 0, 0, 0,…; (2)1.21, 1.331, 1.4641, 1.51051, …; (3)
1. 2
1
,0.1,10,100, …. 100
2. 已知下列数列是等比数列,试在括号内填上适当的数: (1)( ), 3, 27;(2)16, ( ), ( ), 2. 3. 已知{a n }是无穷等比数列,公比为q :
(1)将数列{a n }中的前k 项去掉,剩余各项按原来顺序组成一个新数列,这个新数列是等比数列吗?如果是,它的首项与公比各是多少?
(2)取出数列{a n }中的所有奇数项,组成一个新的数列,这个数列是等比数列吗?
(3)数列{a n }中,每隔10项取出一项,组成一个新的数列,这个数列是等比数列吗?如果是,它的公比是多少?
2. 等比数列的通项公式
等差数列有通项公式,等比数列有没有通项公式?
设{a n }是一个公比为q 的等比数列.根据等比数列的定义,从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于公比q ,所以每一项都等于它的前一项乘以公比q ,于是有 a 2=a 1q ; a 3=a 2q =(a 1q ) q =a 1q 2; a 4=a 3q =(a 1q 2) q =a 1q 3;….
依次类推可得 a n =a 1q n -1, n =1,2,3, ….(a 1≠0, q ≠0) 即为所求的通项公式, 其中首项为a 1, 公比为q .
例3 已知等比数列{a n }2, 6, 18, 54, …,求其公比q , a 5和a n . 例4 在等比数列{b n }中,
(1)已知b 1=3, q =2,求b 6;;(2)已知b 3=20, b 6=160,求b n .
例4 培育水稻新品种,如果第一代得到120粒种子,并且从第一代起,由以后各代的每一粒
种子都可以得到下一代的120种子,到第5代大约可以得到这个新品种的种子多少粒?(保留两个有效数字) ? 3. 等比中项
与等差中项类似,在等比问题中也有等比中项.若a , G , b 三个数成等比,则把中间那个项G 叫做a , b 的等比中项.
任何两个数均存在他们的等差中项,且等差中项是唯一的.是否任何两个数都存在等比中项?两个数的等比中项也唯一吗?从等比中项定义可知,两个数a , b 的等比中项G 应满足
G b 2
=,G =ab .这表明当且仅当两个同号的数a , b 才有等比中项;当a , b 同号时,其等比中a G
项为G =±ab .
一个等比数列,从第2项起每一项(有穷等比数列的末首项除外) ,是它的前一项与后一项
2
的等比中项,即a n =a n -1⋅a n +1, a n =n -1n +1 或 a n =-n -1n +1.
例5 求5与125的正等比中项. 课内练习2
1. 设0.3, 0.09, 0.027, ...为一等比数列{b n }的前3项,求其公比q 及第5项和第n 项. 2. 已知等比数列的通项公式a n =
1
⋅10n ,求其首项与公比. 4
3. 在等比数列{a n }中,a 3=2, a 6=18,求q 与a 10. 4. 求3与27的等比中项.
5. 细胞以分裂方式繁殖,一个细胞成熟后分裂成2个.设某种细胞最初有10个,繁殖周期是1小时,且不考虑细胞的死亡,那么在一昼夜之后将有多少个细胞(保留2位有效数字) ? 6. .某林场计划第一年造林15公顷,以后每年比前一年多造林20%,第5年应造林多少公顷(结果保留到个位) ?
7. 在9与243中间插入两个数,使它们与这两个数成等比数列. 5. 等比数列的前n 项和
对一般的等比数列{a n },若要求其前n 项的和S n , S n =a 1(1+q +q 2+...+q n -1) ,qS n = a 1(q +q 2+q 3+...+q n -1+q n ) ,
a 1(1-q n )
两式相加后即可解出 S n =.
1-轻而易举地得到了求等比数列前n 项和的公式.因为a 1q n =a n q ,公式也能变形为S n =例8 在等比数列{a n }中, (1)已知a 1=-4, q =
a 1-a n q
.
1-q
1
,求前10项的和S 10;(2)已知a 1=1, a k =243, q =3,求前k 项的和S k . 2
例9 某商场第1年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量比上一年增加10%,那么从第
一年起,约几年内可使总销售量达到30000台(保留到个位) ? 例10 已知等比数列{a n }中的a 2=5, a 5=40,求其前7项之和S 7. 课内练习3
1. 在等比数列{a n }中,a 1=3, q =2,求前5项的和S 5. 2. 求等比数列1,3,9, …,2187的和. 3. 求等比数列
111
, , , …的前8项的和. 248
4. 某养鸡专业户今年向农贸市场出售肉鸡1000只,计划近几年内的出售量平均比上一年增长8%,那么从今年起,大约几年内可以使总出售量达到4500只? 5. 在等比数列{a n }中: (1) 已知q =
17
, S 5=3,求a 1与a 5; (2)a 1=2, S 3=26,求q 与a 3; 28
(3)已知a 3=1
11
, S 3=4,求a 1与q . 22
6. 水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题.全国约有9100万亩的坡耕地需要退耕还林,其中西部地区占70℅.国家确定2000年西部地区退耕土地面积为515万亩,以后每年退耕土地面积递增12℅,那么从2000年起到2005年底,西部地区退耕还林的面积共有多少万亩(精确到万亩) ? 课内练习
1. 在等比数列{c n }中:
(1)c 4=27, q =-3,求c 7; (2)若c 3=-1, c 6=-8,求公比q 及c 10; (3)若c 7=-
1
, c 2=25,求公比q 及c 1. 125
2. 已知{x n }为等比数列,x 7=2, x 17=2048,求x 12. 3. 求3与27的等比中项.
4. 求等比数列1, -小结: 作业:
111
, , -, ...的前8项之和. 248
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例6某企业要在今年起的今后10年内,把产值翻一番,那么平均每年增值率应为多少?
x
.则各年的产值依次为 100
x x 2x 3x 10
a , a ⋅(1+), a (1+) , a (1+) , ..., a (1+) .
[1**********]0
解 设今年产值为a ,平均每年增值x %=
据企业要求x 应满足 a (1+
x 10x 10) =2a ,(1+) =2,x =100(2-1) ≈7.18. 100100
所以,为了使企业在今后10年内把产值翻一番,每年平均增值应不小于7.18%.
例9 某商场第1年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量比上一年增加10%,那么从第
一年起,约几年内可使总销售量达到30000台(保留到个位) ?
解 根据题意,每年销售量从上一年增加的百分率相同,所以从第1年起,每年的销售量组成一
个等比数列{a n },其中a 1=5000, q =1+10%=1.1;设销售量达30000台须n 年,则
5000⨯(1-1. 1n ) ln 1. 6
30000=,即1.1n =1.6,n =≈5(年) .
ln 1. 11-1. 1
所以约5年内可以使总销售量达到30000台.
例2 从一个边长为a 的原始正方形开始,每次把它分成四个小正方形、取其中一个(见图1) .证
明所有这些正方形面积的和S 等于原始正方形面积的三分之四. 证明 原始正方形面积A 1=a 2; 第一次剖分后正方形边长为 第二次剖分后正方形边长为
第三次剖分后正方形边长为
a 1
,面积A 2=a 2;
42
1a
,面积A 3=a 2; 416a 12,面积A 4=a ;…
648
1
的无穷递缩 4
图1
所以正方形系列的面积{A n }是一个公比为等比数列. 小结: 作业: