高中数学-公式-平面向量
平面向量
1. 两个向量平行的充要条件, 设a =(x1,y 1) ,b =(x2,y 2), λ为实数。(1)向量式:a ∥b (b ≠0) ⇔a =λb ; (2)坐标式:a ∥b (b ≠0) ⇔x 1y 2-x 2y 1=0;
2. 两个向量垂直的充要条件, 设a =(x1,y 1), b =(x2,y 2), (1)向量式:a ⊥b (b ≠0) ⇔a b =0; (2)坐标式:a ⊥b ⇔x 1x 2+y1y 2=0;
3. 设a =(x1,y 1), b =(x2,y 2), 则a b
θ=x1x 2+y1y 2; 其几何意义是a b 等于a 的长度与b 在a 的方向上的投影的乘积;
4. 设A (x 1,x 2)、B(x2,y 2) ,则S ⊿AOB =
5. 平面向量数量积的坐标表示:
(1)若a =(x1,y 1), b =(x2,y 2), 则a b =x1x 2+y1y 2
=
(2)若a =(x,y),则a 2=a a =x2+y2, a =
十、向量法 1x 1y 2-x 2y 1; 2(x 1-x 2) 2+(y 1-y 2) 2; x 2+y 2; b ,平面α、β的法向量分别是u 、v ,则: 1、设直线m 、l 的方向向量分别是a 、 (1)线线平行:l ∥m ⇔a ∥b ⇔a =kb u =0 (2)线面平行:l ∥α⇔a ⊥u ⇔a (3)面面平行:α//β⇔u //v ⇔u =kv
注意:这里的线线平行包括线线重合,线面平行包括线在面内,面面平行包括面面重合. b ,平面α、β的法向量分别是u 、v ,则: 2、设直线m 、l 的方向向量分别是a 、 b =0 (1)线线垂直:l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a (2)线面垂直:l ⊥α⇔a ∥u ⇔a =ku v =0 (3)面面垂直:α⊥β⇔u ⊥v ⇔u b ,平面α、β的法向量分别是u 、v ,则: 3、设直线m 、l 的方向向量分别是a 、 a ⋅b π(1)直线m 、l 所成的角θ(0≤θ≤) ,cos θ= 2a b
a ⋅u π(2)直线l 与平面α所成的角θ(0≤θ≤) ,sin θ= 2a u
u ⋅v (3)平面α与平面β所成的二面角的平面角θ(0≤θ≤π) ,cos θ= u v
教学过程:
二、新课讲授
1. 定义:我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量.向量的大小叫做向量的长度或模.
3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律. ⑴加法交换律:a +b = b + a ; ⑵加法结合律:(a + b ) + c =a + (b + c ) ;
⑶数乘分配律:λ(a + b ) =λa +λb ; ⑶数乘结合律:λ(u a ) =(λu ) a . 4. 推广:⑴A 1A 2+A 2A 3+A 3A 4+ +A n -1A n =A 1A n ; ⑵A 1A 2+A 2A 3+A 3A 4+ +A n -1A n +A n A 1=0;
方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量.由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上,所以平行向量也叫做共线向量. 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使b =λa . 称平面向量共线定理,
二、新课讲授
1. 定义:与平面向量一样,如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向 量或平行向量.a 平行于b 记作a //b .
2.关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论: 共线向量定理:空间任意两个向量a 、b (b ≠0),a //b 的充要条件是存在实数λ,使a =λb . 理解:⑴上述定理包含两个方面:①性质定理:若a ∥b (a ≠0),则有b =λa ,其中λ是唯一确定的 实数。②判断定理:若存在唯一实数λ,使b =λa (a ≠0),则有a ∥b (若用此结论判断a 、b 所在直线 平行,还需a (或b )上有一点不在b (或a )上). ⑵对于确定的λ和a ,b =λa 表示空间与a 平行或共线,长度为 |λa |,当λ>0时与a 同向,当λ
平面向量基本定理:如果e 1、e 2是同一平面内两个不共线的向量,那么对这一平面内的任意一个向量a ,有且只有一对实数λ1、λ2,使a =λ1e 1+λ2e 2. 其中不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
1. 定义:如果表示空间向量a 的有向线段所在直线与已知平面α平行或在平面α内,则称向量a 平行于平面α,记作a //α.
向量与平面平行,向量所在的直线可以在平面内,而直线与平面平行时两者是没有公共点的.
2. 定义:平行于同一平面的向量叫做共面向量.共面向量不一定是在同一平面内的,但可以平移到同一平面内.
5. 得出共面向量定理:如果两个向量a 、b 不共线,则向量p 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对x ,y ,使得 p = x a+y b .
证明:必要性:由已知,两个向量a 、b 不共线.
∵ 向量p 与向量a 、b 共面
∴ 由平面向量基本定理得:存在一对有序实数对x ,y ,使得 p = x a+y b .
充分性:如图,∵ x a ,y b 分别与a 、b 共线, ∴ x a ,y b 都在a 、b 确定的平面内.
又∵ x a+y b 是以|x a |、|y b |为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量,并且此平行四边形在a 、b 确定的平面内,
∴ p = x a+y b 在a 、b 确定的平面内,即向量p 与向量a 、b 共面.
说明:当p 、a 、b 都是非零向量时,共面向量定理实际上也是p 、a 、b 所在的三条直线共面的充要条件,但用于判定时,还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内.
6. 共面向量定理的推论是:空间一点P 在平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对x ,y ,使得 MP =xMA +yMB ,① 或对于空间任意一定点O ,有 O P =O M +x M +A y .②M +y M B :分析:⑴推论中的x 、y 是唯一的一对有序实数; ⑵由O P =O M +x M A 得 O P =O M +(x O A -O ) M +(y O -B ,) O M ∴OP =(1-x -y ) OM +xOA +yOB ③ 1. 两个非零向量夹角的概念:已知两个非零向量a 与b ,在空间中任取一点O ,作OA =a ,OB =b ,则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角,记作<a , b >.
说明:⑴规定:0≤<a ,b >≤π. 当<a 、b >=0时,a 与b 同向; 当<a 、b >=π时,a 与b 反向; 当<a 、b >=π时,称a 与b 垂直,记a ⊥b . 2
⑵ 两个向量的夹角唯一确定且<a , b >=<b , a >.
⑶ 注意:①在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的.
②<a , b >≠(a , b )
2. 两个向量的数量积:已知空间两个向量a 与b ,|a ||b |cos<a 、b >叫做向量a 、b 的数量积,记作a ·b ,即 a ·b =|a ||b |cos<a , b >.
说明:⑴零向量与任一向量的数量积为0,即0·a =0;
⑵符号“· ”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替. 几何意义:已知向量AB =a 和轴l ,e 是l 上和l 同方向的单位向量.作点A 在l 上的射影A ′,点B 在l 上的射 影B ′,则A ' B ' 叫做向量AB 在轴l 上或在e 方向上的正射影,简称射影.可以证明:A ' B ' =|AB |cos <a , e >=a ·e .说明:一个向量在轴上的投影的概念,就是a ·e 的几何意义.
3. 空间数量积的性质:根据定义,空间向量的数量积和平面向量的数量积一样,具有以下性质:
⑴a ·e =|a |·cos <a , e >; ⑵a ⊥b ⇔a ·b =0
⑶当a 与b 同向时,a ·b =|a |·|b |; 当a 与b 反向时,a ·b =-|a |·|b |.
特别地,a ·a =|a |2或|a
=a ⋅b ⑷cos <a , b >=; ⑸|a ·b |≤|a |·|b |. a ⋅b
4. 空间向量数量积的运算律:与平面向量的数量积一样,空间向量的数量积有如下运算律:
⑴(λa ) ·b =λ(a ·b ) =a ·(λb ) (数乘结合律) ; ⑵ a ·b =b ·a (交换律) ;
⑶a ·(b +c ) =a ·b +a ·c (分配律)
说明:⑴(a ·b ) c ≠a (b ·с);⑵有如下常用性质:a 2=|a |2,(a +b ) 2=a 2+2a ·b +b 2
3. 空间向量的坐标表示:给定一个空间直角坐标系和向量a ,且设i 、j 、k 为坐标向量,则存在唯一的有序实数组(a 1, a 2, a 3) ,使a =a 1i +a 2j +a 3k .
空间中相等的向量其坐标是相同的.→讨论:向量坐标与点的坐标的关系? 向量在空间直角坐标系中的坐标的求法:设A (x 1, y 1, z 1) ,B (x 2, y 2, z 2) ,则AB =OB -OA =(x 2, y 2, z 2) -(x 1, y 1, z 1) =(x 2-x 1, y 2-y 1, z 2-z 1) .
5. 两个向量共线或垂直的判定:设a =(a 1, a 2, a 3) ,b =(b 1, b 2, b 3) ,则
a a a ⑴a //b ⇔a =λb ⇔a 1=λb 1, a 2=λb 2, a 3=λb 3,(λ∈R ) ⇔1=2=3; b 1b 2b 3
⑵a ⊥b ⇔a ·b =0⇔a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0.
⒈ 向量的模:设a =(a 1, a 2, a 3) ,b =(b 1, b 2, b 3) ,求这两个向量的模.
向量的长度公式. |a
,|b
这个公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度.
2. 夹角公式推导:∵ a ·b =|a ||b |cos<a , b >
∴ a 1b 1+a 2+b 2·cos <a , b > a
由此可以得出:cos <a , b
这个公式成为两个向量的夹角公式.利用这个共识,我们可以求出两个向量的夹角,并可以进一步得出两个向量的某些特殊位置关系:
当cos <a 、b >=1时,a 与b 同向;当cos <a 、b >=-1时,a 与b 反向;
当cos <a 、b >=0时,a ⊥b .
3. 两点间距离共识:利用向量的长度公式,我们还可以得出空间两点间的距离公式:
在空间直角坐标系中,已知点A (x 1, y 1, z 1) ,B (x
2, y 2, z 2) ,则
d A 、B =d A 、B 表示A 与B 两点间的距离.
5. 用向量方法证明:如果两条直线同垂直于一个平面,则这两条直线平行.