指数函数题型汇总
指数函数
指数函数是高中数学中的一个基本初等函数,有关指数函数的图象与性质的题目类型较多,同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点,本文对此部分题目类型作了初步总结,与大家共同探讨. 1.比较大小
例1 已知函数f (x ) =x 2-bx +c 满足f (1+x ) =f (1-x ) ,且f (0)=3,则f (b x ) 与f (c x ) 的大小关系是_____. 分析:先求b ,c 的值再比较大小,要注意b x ,c x 的取值是否在同一单调区间内. 解:∵f (1+x ) =f (1-x ) , ∴函数f (x ) 的对称轴是x =1. 故b =2,又f (0)=3,∴c =3.
∴函数f (x ) 在(-∞,1]上递减,在[1,+∞)上递增. 若x ≥0,则3x ≥2x ≥1,∴f (3x ) ≥f (2x ) ; 若x f (2x ) . 综上可得f (3x ) ≥f (2x ) ,即f (c x ) ≥f (b x ) .
评注:①比较大小的常用方法有:作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等.②对于含有参数的大小比较问题,有时需要对参数进行讨论.
2.求解有关指数不等式 例2 已知(a +2a +5)
2
3x
>(a +2a +5)
21-x
,则x 的取值范围是___________.
分析:利用指数函数的单调性求解,注意底数的取值范围. 解:∵a +2a +5=(a +1) +4≥4>1,
∴函数y =(a +2a +5) 在(-∞,+∞) 上是增函数, ∴3x >1-x ,解得x >
14
+∞⎪. .∴x 的取值范围是 ,
⎝4
⎭
⎛1
⎫
2
x
2
2
评注:利用指数函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同的指数式,并判断底数与1的大小,对于含有参数的要注意对参数进行讨论.
3.求定义域及值域问题 例3
求函数y =
x -2
解:由题意可得1-6
≥0,即6x -2≤1,
2]. ∴x -2≤0,故x ≤2. ∴函数f (x ) 的定义域是(-∞,
x -2
令t =
6,则y =,
x -2
又∵x ≤2,∴x -2≤0. ∴0
≤1,即0
评注:利用指数函数的单调性求值域时,要注意定义域对它的影响. 4.最值问题
例4 函数y =a 2x +2a x -1(a >0且a ≠1) 在区间[-1,1]上有最大值14,则a 的值是_______. 分析:令t =a x 可将问题转化成二次函数的最值问题,需注意换元后t 的取值范围.
解:令t =a x ,则t >0,函数y =a 2x +2a x -1可化为y =(t +1) 2-2,其对称轴为t =-1. ∴当a >1时,∵x ∈[-1,1], ∴
1a
≤a x ≤a ,即
1a
≤t ≤a .
∴当t =a 时,y max =(a +1) 2-2=14. 解得a =3或a =-5(舍去); 当0
1a
,即a ≤t ≤
2
1a
,
∴ t =
1a
时,y max 13
⎛1⎫
= +1⎪-2=14, ⎝a ⎭15
解得a =或a =-(舍去),∴a 的值是3或
13
.
评注:利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用,比如:换元法,整体代入等. 5.解指数方程
例5 解方程3x +2-32-x =80.
x 2x x 2
解:原方程可化为9⨯(3) -80⨯3-9=0,令t =3(t >0) ,上述方程可化为9t -80t -9=0,解得t =9或t =-
19
(舍去),
∴3=9,∴x =2,经检验原方程的解是x =2.
评注:解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解,要注意验根. 6.图象变换及应用问题
例6 为了得到函数y =9⨯3+5的图象,可以把函数y =3的图象( ). A .向左平移9个单位长度,再向上平移5个单位长度 B .向右平移9个单位长度,再向下平移5个单位长度 C .向左平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度 D .向右平移2个单位长度,再向下平移5个单位长度 分析:注意先将函数y =9⨯3+5转化为t =3 解:∵y =9⨯3+5=3的图象,故选(C ).
评注:用函数图象解决问题是中学数学的重要方法,利用其直观性实现数形结合解题,所以要熟悉基本函数的图象,并掌握图象的变化规律,比如:平移、伸缩、对称等. 习题
1、比较下列各组数的大小:
x
x +2
x x
x
x
x +2
+5,再利用图象的平移规律进行判断.
x
∴把函数y =3的图象向左平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度,可得到函数y =9⨯3+5+5,
x
(1)若 (2)若
,比较 ,比较
与 与
; ;
(3)若 (4)若 (5)若
,比较 与 ,且
;
,比较a 与b ; ,比较a 与b .
,且
解:(1)由 ,故 ,此时函数 为减函数.由 ,故 .
(2)由 ,故 .又 ,故 .从而 .
(3)由 ,因 ,故 .又 ,故 .从而 .
(4)应有而
.因若 ,则 矛盾.
.又 ,故 ,这样 .又因 ,故 .从
,这与已知
(5)应有 .因若 ,则 .又 ,故 ,这样有 .又因 ,且
,故
.从而 ,这与已知 矛盾.
小结:比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解.
2曲线
(
分别是指数函数
,在
轴右侧令题则是由图到
,
和
的图象, 则
与1的大小关系是 ( ).
分析:首先可以根据指数函数单调性, 确定
,对应的函数值由小到大依次为 ,故应选 .
小结:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目, 第(1)题是由数到形的转化, 第(2)数的翻译, 它的主要目的是提高学生识图, 用图的意识. 求最值
3 求下列函数的定义域与值域.
1
(1)y=2
x -3
; (2)y=4x +2x+1+1.
1
解:(1)∵x-3≠0,∴y =2
x -3
的定义域为{x |x ∈R 且x ≠3}. 又∵
1x -3
1
≠0,∴2
x -3
≠1,
1
∴y =2
x -3
的值域为{y |y>0且y ≠1}.
(2)y=4x +2x+1+1的定义域为R. ∵2x >0,∴y =4x +2x+1+1=(2x ) 2+2·2x +1=(2x +1)2
>1.
∴y =4x +2x+1+1的值域为{y |y>1}.
4 已知-1≤x ≤2, 求函数f(x)=3+2·3x+1-9x 的最大值和最小值 解:设t=3x , 因为-1≤x ≤2,所以最小值-24。 5、设
,求函数
的最大值和最小值.
13
≤t ≤9,且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当t=3即x=1时,f(x)取最大值12,当t=9即x=2时f(x)取
分析:注意到
的求法,可求得函数的最值. 解:设
,由
知,
,设
,则原来的函数成为 ,利用闭区间上二次函数的值域
,函数成为 , ,对称轴
,故函数最小值为
,因端点
6(9分)已知函数y =a .解: y =a
2x
x 2x
较 距对称轴 远,故函数的最大值为 .
+2a -1(a >1) 在区间[-1,1]上的最大值是14,求a 的值.
2
x
+2a -1(a >1) , 换元为y =t +2t -1(
1a
当a >1,t =a ,即x =1时取最大值,略 解得 a =3 (a = -5舍去)
7.已知函数 (1)求
(
的最小值; (2)若
且
) ,求
的
取值范围.
.解:(1) ,
当 即
时, (2) 当 当
有最小值为
,解得
时,
时,
;
.
8(10分)(1)已知f (x ) =
x
23-1
x
+m 是奇函数,求常数m 的值;
X
(2)画出函数y =|3-1|的图象,并利用图象回答:k 为何值时,方程|3-1|=k 无
解?有一解?有两解?
解: (1)常数m =1
(2)当k
x
y =|3-1|
当k =0或k ≥1时, 直线y =k 与函数的图象有唯一的交点,所以方程有一解;
当0
x
x
9.若函数.解:
为奇函数,
是奇函数,求 的值. ,
即 ,
则
,
10. 已知9x -10.3x +9≤0,求函数y=(
14
)x-1-4·(
12
)x +2的最大值和最小值
解:由已知得(3x )2-10·3x +9≤0 得(3x -9)(3x -1)≤0 ∴1≤3x ≤9 故0≤x ≤2 而y=(
14
12
) x-1-4·()x (
12
) x +2= 4·(
12
)2x -4·(
12
)x +2
令t=(
14
≤t ≤1)
12
)2+1
则y=f(t )=4t2-4t+2=4(t-当t=
12
即x=1时,y min =1
当t=1即x=0时,y max =2 11.已知解:由
求函数的值域为12. (9分) 求函数
,求函数 得
的值域. ,即
,解之得
,于是
,即
,故所
y =2
-x +2x +2
2
的定义域,值域和单调区间
定义域为R 值域(0,8〕。(3)在(-∞, 1〕上是增函数 在〔1,+∞)上是减函数。
13 求函数y =
⎛1⎫⎪3⎝⎭
x -3x +2
2
的单调区间.
分析 这是复合函数求单调区间的问题
⎛1⎫⎛1⎫
可设y = ⎪,u =x 2-3x+2,其中y = ⎪为减函数
⎝3⎭⎝3⎭
∴u =x 2-3x+2的减区间就是原函数的增区间(即减减→增) u =x 2-3x+2的增区间就是原函数的减区间(即减、增→减)
u u
⎛1⎫
解:设y = ⎪,u =x 2-3x+2,y关于u 递减,
⎝3⎭
当x ∈(-∞,
u
32
) 时,u 为减函数,
∴y 关于x 为增函数;当x ∈[
x
32
,+∞) 时,u 为增函数,y 关于x 为减函数.
14 已知函数f(x)=
a -1a +1
x
(a>0且a ≠1).
(1)求f(x)的定义域和值域;(2)讨论f(x)的奇偶性;(3)讨论f(x)的单调性. 解:(1)易得f(x)的定义域为{x |x ∈R }.
设y =
a -1a +1
x
x
, 解得a x =-
y +1y -1
①∵a x >0当且仅当-
y +1y -1
>0时,方程①有解. 解-
y +1y -1
>0得-1
∴f(x)的值域为{y |-1<y <1}.
(2)∵f(-x)=
a a
x
-x -x
-1+1
=
1-a 1+a
x x
=-f(x)且定义域为R ,∴f(x)是奇函数.
(3)f(x)=
(a +1) -2a +1
x
=1-
2a
x
+1
.
1°当a>1时,∵a x +1为增函数,且a x +1>0.
∴
2a
x
+1
为减函数,从而f(x)=1-
2a
x
+1
=
a -1a +1
x
x
为增函数.2°当0
a -1a +1
x
x
为减函数.
15、已知函数f (x )=a -
(1) (2)
22+1
x
(a ∈R ),
求证:对任何a ∈R ,f (x )为增函数. 若f (x )为奇函数时,求a 的值。
(1)证明:设x 1<x 2
f (x 2)-f (x 1)=
2(2
x 2x 1
-21)
x 2
x
(1+2)(1+2)
>0
故对任何a ∈R ,f (x )为增函数. (2) x ∈R ,又f (x )为奇函数
∴f (0)=0 得到a -1=0。即a =1
16、定义在R 上的奇函数f (x ) 有最小正周期为2,且x ∈(0, 1) 时,f (x ) =
24
x x
+1
(1)求f (x ) 在[-1,1]上的解析式;(2)判断f (x ) 在(0,1)上的单调性; (3)当λ为何值时,方程f (x ) =λ在x ∈[-1, 1]上有实数解. 解(1)∵x ∈R 上的奇函数 ∴
f (0) =0
又∵2为最小正周期 ∴f (1) =f (2-1) =f (-1) =-f (1) =0 设x ∈(-1,0),则-x ∈(0,1),f (-x ) =
42
-x
-x
=+1
4
2
x
x
+1
=-f (x )
∴f (x ) =-
4
2
x
x
+1
x ⎧2
∈(-1,0)⎪-x
(2)设4+1⎪
⎪
f (x ) =⎨ 0 x∈{-1,0,1}
⎪x
2x
x 1x 2⎪2
(2-2)(1x ) ∈(0,1)
=>0 x 1x 2
(4+1)(4+1)
0
f (x 1) -f (x 2) =
(2
x 1
-2
x 2
) +(2
x 1
x x +2x 2
x 2
-2
x 2+2x 1
)
(4+1)(4+1)
∴在(0,1)上为减函数。
(3)∵f (x ) 在(0,1)上为减函数。
∴f (1)
21, ) 5212, -25)
同理f (x ) 在(-1,0)时,f (x ) ∈(-
又f (-1) =f (0) =f (1) =0 ∴当λ∈(-
12, -25) ⋃(
21
, ) 或λ=0时 52
f (x ) =λ在[-1,1]内有实数解。
函数y =a
|x |
(a>1)的图像是
( )
分析 本题主要考查指数函数的图像和性质、函数奇偶性的函数图像,以及数形结合思想和分类讨论思想. 解法1:(分类讨论) :
⎧a x (x ≥0), ⎪
去绝对值,可得y =⎨1
x
(x
a ⎩
又a>1,由指数函数图像易知,应选B.
解法2:因为y =a |x |是偶函数,又a>1,所以当x ≥0时,y =a x 是增函数;x <0时,y =a -x 是减函数. ∴应选B.