2016精选经典数学题

2016届高三精选经典错题集 （提供教师：黄长新）

001 (1) 将含有3n 个正整数的集合M 分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A ，B ，C ，其中A ＝{a 1，a 2，„，a n }，B ＝{b 1，b 2，„，b n }，C ＝{c 1，c 2，„，c n }，若A ，B ，C 中的元素满足条件：c 1

(1)若M ＝{1，x, 3,4,5,6}为“完并集合”，则x 的一个可能值为________．(写出一个即可)

(2)对于“完并集合”M ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，在所有符合条件的集合C 中，其元素乘积最小的集合是________．

002 已知平面区域M ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}，N ＝(x ，

⎧⎪y ≥mx ＋2m ，y )|⎨22，在区域M 上 随机取一点A ，点A 落在区域N ⎪x ＋y ≤4⎩⎡13π＋2⎤

，内的概率为P (N ) ，若P (N ) ∈⎢则实数m 的取值范围为( )

24π⎣⎦

A ．[0,1] C ．[－1,1]

⎡3⎤

B. ⎢－，0⎥

3⎣⎦

D ．[－1,0]

⎧⎫1⎫⎪⎛

003设平面点集A ＝⎨(x ，y )⎪(y －x ) y －x ⎪≥0⎬，B ＝{(x ，y )|(x －

⎪⎝⎭⎩⎭

1) 2＋(y －1) 2≤1}，则A ∩B 所表示的平面图形的面积为( )

3

A. 4 4C. 7

3B. 5π πD. 2

004设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分又不必要条件

⎛1⎫x

005已知f (x ) ＝ln(x ＋1) ，g (x ) ＝ 2⎪－m ，若对任意x 1∈[0,3]，存

⎝⎭

2

在x 2∈[1,2]，使得f (x 1) ≥g (x 2) ，则实数m 的取值范围是( )

⎡1⎫A. ⎢4⎪ ⎣⎭⎡1⎫C. 2⎪ ⎣⎭

1⎤⎛

B. 4⎥ ⎝⎦1⎤⎛ D. －∞，－2 ⎝⎦

006如图所示的程序框图中，若f (x ) ＝x 2－x ＋1，g (x ) ＝x ＋4，且h (x ) ≥m 恒成立，则m 的最大值是(

)

( ) A ．4 C ．1

007方程x 2＋ax －2＝0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围

B ．3 D ．0

为( )

⎛23⎫A. －5，＋∞⎪ ⎝⎭⎡23⎤C. ⎢－5，1⎥ ⎣⎦

B ．(1，＋∞) 23⎫⎛

D. 5 ⎝⎭

008设f (x ) ＝|3x －1|，c f (b ) ，则下列关系式中一定成立的是( )

A ．3c >3a C ．3c ＋3a >2

B ．3c >3b D ．3c ＋3a

009已知函数y ＝f (x )(x ∈R ) ．对函数y ＝g (x )(x ∈I ) ，定义g (x ) 关于f (x ) 的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I ) ．y ＝h (x ) 满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x )) ，(x ，g (x )) 关于点(x ，f (x )) 对称．若h (x ) 是g (x ) 4－x 关于f (x ) ＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )>g (x ) 恒成立，则实数b 的取值范围是________．

010若定义在R 上的函数f (x ) 满足f (x ＋2) ＝f (x ) ，且x ∈[－1,1]

⎧0，x ＝0，

时，f (x ) ＝1－x ，函数g (x ) ＝⎨

1

⎩－x x

2

lg x ，x >0，

则函数h (x ) ＝f (x ) －g (x )

在区间[－5,5]内的零点个数是( )

A ．5 C ．8

B ．7 D ．10

ln x ⎛ln x ⎫2ln x 2

011设1

⎝⎭

⎛ln x ⎫2ln x ln x A. x

2

ln x ⎛ln x ⎫2ln x 2B. x x x

⎝⎭

⎛ln x ⎫2ln x ln x C. x

2

ln x 2⎛ln x ⎫2ln x D. x x ⎪

⎝⎭

012已知函数f (x ) ＝e x －ax (a 为常数) 的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x ) 在点A 处的切线斜率为－1.

(1)求a 的值及函数f (x ) 的极值； (2)证明：当x >0时，x 2

(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x ∈(x 0，＋∞) 时，恒有x 2

π⎫⎛π

013函数f (x ) ＝sin(2x ＋φ) |φ|

⎝

⎭

π⎤⎡

⎢0函数f (x ) 在2⎦上的最小值为( ) ⎣

3A ．－2 1C. 21B ．－2 3D. 2

014在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c . →·→＝2，cos B ＝1b ＝3. 求： 已知BA BC 3

(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C ) 的值．

015设a 是已知的平面向量且a ≠0. 关于向量a 的分解，有如下四个命题：

①给定向量b ，总存在向量c ，使a ＝b ＋c ；

②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a ＝λb ＋μc ； ③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a

＝λb ＋μc ；

④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a ＝λb ＋μc .

上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( )

A ．1 C ．3

B ．2 D ．4

→＝(1，－2) ，OB →＝(a ，－1) ，OC →＝(－b, 0) ，a >0，b >0，016设OA

12

O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则a b ________．

017设θ为两个非零向量a ，b 的夹角．已知对任意实数t ，|b ＋t a |的最小值为1.( )

A ．若θ确定，则|a |唯一确定 B ．若θ确定，则|b |唯一确定 C ．若|a |确定，则θ唯一确定 D ．若|b |确定，则θ唯一确定

⎛n π⎫2n π018已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝ 1＋cos 2a n ＋sin 2⎝⎭

则该数列的前18项之和为( )

A ．2 101 C ．1 012

B ．1 067 D ．2 012

019已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ，数列{b n }满足b 1＝－1，b n ＋1＝b n ＋(2n －1)(n ∈N ＋) ．

(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)求数列{b n }的通项公式b n ；

a ·b (3)若c n n ，求数列{c n }的前n 项和T n .

11k

020设a >0，b >0，且不等式a b ≥0恒成立，则实数k

a ＋b 的最小值等于( )

A ．0 C ．－4

B ．4 D ．－2

x ≥0，⎧⎪

是由不等式组⎨y ≥0，

⎪⎩x ＋y ≥1

021在平面直角坐标系中，点P

所确

定的平面区域内的动点，Q 是直线2x ＋y ＝0上任意一点，O 为坐标→＋OQ →|的最小值为( ) 原点，则|OP

5

A. 52B. 3

022古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三n (n ＋1)121

角形数1,3,6,10，„，第n 个三角形数为2＝2＋2n . 记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3) ，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：

11

三角形数 N (n, 3) ＝22＋2， 正方形数 N (n, 4) ＝n 2， 31

五边形数 N (n, 5) ＝22－2， 六边形数 N (n, 6) ＝2n 2－n ， „

推测N (n ，k ) 的表达式，由此计算N (10,24)的值________．

22

D ．1

023 有红、黄、兰色的球各5只, 分别标有A 、B 、C 、D 、E 五个字

母, 现从中取5只, 要求各字母均有且三色齐备, 则共有多少种不同的取法

024 某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为

x 2y 21

025 已知椭圆C ：a b ＝1(a >b >0)的离心率e ＝2A 为椭圆上一点，∠F 1AF 2＝60°，且S △F 1AF 2＝3.

(1)求椭圆C 的方程；

(2)设动直线l ：kx ＋m 与椭圆C 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q . 问：在x 轴上是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过定点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．

x 2y 2

026 已知椭圆C 941，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.

2y

027已知双曲线x 2－31上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，

且MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，则实数m 的值为________． 028已知某组合体的主视图与左视图相同，如图所示，其中AB ＝AC ，四边形BCDE 为矩形，则该组合体的俯视图可以是________(把你认为正确的图的序号都填上) ．

029平面图形ABB 1A 1C 1C 如图1所示，其中BB 1C 1C 是矩形．BC ＝2，BB 1＝4，AB ＝AC 2，A 1B 1＝A 1C 15. 现将该平面图形分别沿BC 和B 1C 1折叠，使△ABC 与△A 1B 1C 1所在平面都与平面BB 1C 1C 垂直，再分别连接A 1A ，A 1B ，A 1C ，得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题．

(1)求证：AA 1⊥BC ； (2)求AA 1的长；

(3)求二面角A －BC －A 1的余弦值．

030乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A ，B ，乙被划分为两个不相交的区域C ，D . 某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在

C

上记3分，在D 上记1分，其他情况记0分，对落点在A 上的来球，11

队员小明回球的落点在C 上的概率为2D 上的概率为31

在B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为5D 上的概率3

为5A ，B 上各一次，小明的两次回球互不影响，求：

031(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；

(2)两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．．

032为了求满足1＋2＋3＋„＋n

)

A ．i －2 C ．i

B ．i －1 D ．i ＋1

⎧⎪x ＝4cos θ，

033在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎨(θ

⎪⎩y ＝4sin θ，

π

为参数) ，直线l 经过点P (2,2)，倾斜角α＝3.

(1)写出圆的标准方程和直线l 的参数方程； (2)设l 与圆C 相交于A 、B 两点，求|P A |·|PB |的值．

034已知函数f (x ) ＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2) ≥0的解集为[－1,1]．

(1)求m 的值；

111

(2)若a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋2b ＋3c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9. 035 对于c >0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0且使|2a 124

＋b |最大时，a ＋b c 的最小值为________．

036如图，EP 交圆于E ，C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F

.

(1)求证：AB 为圆的直径；

(2)若AC ＝BD ，求证：AB ＝ED .

参考答案

001【解析】(1)M ＝{1，x, 3,4,5,6}共有6个元素，所以3个集合A ，B ，C 中各有2个元素，因为a k ＋b k ＝c k ，所以集合C 中必含有6个元素中最大的一个．当x 6时，C ＝{6，x }，当1＋5＝6时，3＋4＝x ，此时x ＝7. 当C ＝(5，x ) 时，1＋4＝5,3＋6＝x ，此时x ＝9. 当C ＝{4，x }时，1＋3＝4,5＋6＝x ，此时x ＝11. 当集合C 中另一个元素小于等于3时，已不能满足a k ＋b k ＝c k ，故舍去．所以x 的可能取值为7,9,11.

(2)M ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}共含有12个元素，所以集合C 中含有4个元素．其中包含最大的元素12. 集合C 的所有可能有{8,9,10,12}，{7,9,11,12}，{6,10,11,12}．经计算可知元素乘积最小的集合是{6,10,11,12}．

【答案】 (1)7(9或11)(写出一个即可)

(2){6,10,11,12}

002【解析】 平面区域M ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}的面积为4π，设

⎧⎪y ≥mx ＋2m ，3π＋21平面区域N ＝(x ，y )|⎨22的面积为S ，因为2P (N ) 4π⎪⎩x ＋y ≤4

1S 3π＋22≤4π4π，2π≤S ≤3π＋2，直线＝mx ＋2m 过定点(－2，0) ，斜率为m ，数形结合可知，当m ＝0时，平面区域N 的面积为2π；当m ＝－1时，平面区域N 的面积为3π＋2. 所以实数m 的取值范围为[－1,0]．故选D.

【答案】 D

1⎫⎛003解析 不等式(y －x ) y －x ≥0⎝⎭y －x ≥0，⎧⎪可化为⎨1y －x 0⎪⎩ 或

⎧y －x ≤0，

⎨1⎩y －x ≤0. 集合B 表示圆(x －1) 2＋(y －1) 2＝1上以及圆内部的点所

1构成的集合，A ∩B 所表示的平面区域如图所示．由线y ＝x (x －

1) 2＋(y －1) 2＝1均关于直线y ＝x 对称，所以阴影部分占圆面积的一半，故选

D.

答案 D

2⎧⎪x ，x ≥0，004解析 令f (x ) ＝x |x |，则f (x ) ＝⎨2画出f (x ) 的图像⎪－x ，x

(如图) ，易知f (x ) 在R 上为单调递增函数，因此a >b ⇔f (a )>f (b ) ，故“a >b ”

是“a |a |>b |b |”的充要条件，故选

C.

005解析 当x ∈[0,3]时，[f (x )]min ＝f (0)＝0. 当x ∈[1,2]时，[g (x )]min

111＝g (2)＝4m ，由[f (x )]min ≥[g (x )]min ，得0≥4m ，所以m ≥4. 故选

A.

答案 A

006解析 依题意，执行题中的程序框图，最后输出h (x ) ＝max{f (x ) ，g (x )}(符号max{f (x ) ，g (x )}表示的是f (x ) ，g (x ) 中的较大者) ．注意到当f (x ) ≥g (x ) ，即x 2－x ＋1≥x ＋4，x ≤－1或x ≥3时，h (x ) ＝x 2

1⎫23⎛ －x ＋1＝x －2＋4h (－1) ＝3；当f (x )

1

答案 B

007解析 令f (x ) ＝x 2＋ax －2，

由题意，知f (x ) 图像与x 轴在[1,5]上有交点，

⎧⎪f (1)≤0，23则⎨5≤a ≤1. ⎪⎩f (5)≥0.

答案 C

008解析 画出f (x ) ＝|3x －1|的图像如图所示．

要使c f (b ) 成立，

则有c 0.

由y ＝3x 的图像可得0

∵f (c ) ＝1－3c ，f (a ) ＝3a －1，f (c )>f (a ) ，

∴1－3c >3a －1，即3c ＋3a

答案 D

h (x )＋4－x 009解析 3x ＋b ， 2

所以，h (x ) ＝6x ＋2b －4－

x .

h (x )>g (x ) 恒成立，

即6x ＋2b 4－x >4－x 恒成立，

整理得3x ＋b >4－x 恒成立．

在同一坐标系内，画出直线y ＝3x ＋b 及半圆y ＝4－x (如图所

|3×0－0＋b |示) ，当直线与半圆相切时，2， 1＋3

所以|b |＝210. 故b 的取值范围是(210，＋∞) ．

答案 (210，＋∞)

010解析 依题意得，函数f (x ) 是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数y ＝f (x ) 与函数y ＝g (x ) 的图像，结合图像得，当x ∈[－5,5]时，它们的图像的公共点共有8个，即函数h (x ) ＝f (x ) －g (x ) 在区间[－5,5]内的零点个数是

8.

答案 C

1x －1011解析 令f (x ) ＝x －ln x (1

∴函数y ＝f (x ) 在(1,2)内为增函数．

⎛ln x ⎫2ln x ln x ∴f (x )>f (1)＝1>0，∴x >lnx >0⇒0

ln x 2ln x 2ln x －x ln x (2－x )ln x 又x －x ＝＝， x x ⎛ln x ⎫2ln x ln x ∴ x

答案 A

012解 法一 (1)由f (x ) ＝e x －ax ，得f ′(x ) ＝e x －a .

又f ′(0)＝1－a ＝－1，得a ＝2.

所以f (x ) ＝e x －2x ，f ′(x ) ＝e x －2.

令f ′(x ) ＝0，得x ＝ln2.

当x

当x >ln2时，f ′(x )>0，f (x ) 单调递增．

所以当x ＝ln2时，f (x ) 取得极小值，

且极小值为f (ln2)＝e ln2－2ln2＝2－ln4，f (x ) 无极大值．

(2)令g (x ) ＝e x －x 2，则g ′(x ) ＝e x －2x .

由(1)得g ′(x ) ＝f (x ) ≥f (ln2)>0，

故g (x ) 在R 上单调递增，又g (0)＝1>0，

因此，当x >0时，g (x )>g (0)>0，即x 2

(3)①若c ≥1时，e x ≤c e x .

又由(2)知，当x >0时，x 20时，x 2

取x 0＝0，当x ∈(x 0，＋∞) 时，恒有x 2

1②若01，要使不等式x 2kx 2

成立．

而要使e x >kx 2成立，则只要x >ln(kx 2) ，只要x >2lnx ＋ln k 成立．

2x －2令h (x ) ＝x －2ln x －ln k ，则h ′(x ) ＝1－x ＝x .

所以当x >2时，h ′(x )>0，h (x ) 在(2，＋∞) 内单调递增． 取x 0＝16k >16，所以h (x ) 在(x 0，＋∞) 内单调递增，

又h (x 0) ＝16k －2ln(16k ) －ln k ＝8(k －ln2) ＋3(k －ln k ) ＋5k ， 易知k >lnk ，k >ln2,5k >0，所以h (x 0)>0.

16即存在x 0＝c ，当x ∈(x 0，＋∞) 时，恒有x 2

综上，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞) 时，恒有x 2

法二 (1)同法一．

(2)同法一．

4(3)对任意给定的正数c ，取x 0＝， c

由(2)知，当x >0时，e x >x 2，

x x ⎛x ⎫2⎛x ⎫2所以e ＝2·e 2> 2⎪ 2⎪， ⎝⎭⎝⎭x

⎛x ⎫2⎛x ⎫24⎛x ⎫212当x >x 0时，e > 2 2>c 2⎪＝c x ， ⎝⎭⎝⎭⎝⎭x

因此，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞) 时，恒有x 2

法三 (1)同法一．

(2)同法一．

13x (3)首先证明当x ∈(0，＋∞) 时，恒有3x

证明如下：

13x 令h (x ) ＝3－e ，则h ′(x ) ＝x 2－e x .

由(2)知，当x >0时，x 2

从而h ′(x )

13x 所以h (x )

31213x 取x 0＝c x >x 0时，有c x

因此，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞) 时，恒有x 2

π⎫⎛π013解析 函数f (x ) ＝sin(2x ＋φ) |φ|

π⎫⎛的函数为f x ＋6 ⎝⎭

π⎫π⎡⎛⎤⎛⎫＝sin ⎢2 x ＋6＋φ⎥＝sin 2x ＋3＋φ⎪， ⎣⎝⎭⎦⎝⎭

π因为此时函数为奇函数，所以3φ＝k π(k ∈Z ) ，

π所以φ＝－3＋k π(k ∈Z ) ．

ππ因为|φ|

π⎫⎛πππ2π ⎪2x －所以f (x ) ＝sin 3. 当0≤x ≤时，－≤2x －2x ⎝⎭2333

ππ时，函数f (x ) ＝sin ⎛ ⎝2x －π⎫⎛π⎫3333⎭有最小值为sin ⎝－3⎭＝－2答案 A

014解 (1)由BA →·BC →＝2，得c ·a cos B ＝2.

又cos B ＝1

3ac ＝6.

由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B .

又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.

解⎧⎪⎨ac ＝6，

⎪⎩a 2＋c 2＝13， 得a ＝2，c ＝3或a ＝3，c ＝2.

因a >c ，所以a ＝3，c ＝2.

(2)在△ABC 中，

sin B ＝1－cos B ＝ 1－⎛ ⎫22⎝3⎭＝3，

由正弦定理，得sin C ＝c sin B ＝2222

b 339.

因a ＝b >c ，所以C 为锐角，

因此cos C ＝1－sin C ＝ 1－⎛ 42⎫

⎝9⎪27

⎭9.

于是cos(B －C ) ＝cos B cos C ＋sin B sin C

＝1722223

3939＝27.

015解析 对于①，因为a 与b 给定，所以a －b 一定存在，可－

表示为c ，即c ＝a －b ，故a ＝b ＋c 成立，①正确；对于②，因为b 与c 不共线，由平面向量基本定理可知②正确；对于③，由题意必有λb 和μc 表示不共线且长度不定的向量，由于μ为正数，故λb ＋μc 不能把任意向量a 表示出来，故③错误；对于④，利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边之和大于第三边，即必有|λb |＋|μc |＝λ＋μ≥|a |，故④错误，因此正确的个数为2.

答案 B

016解析 AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1) ，

AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2) ．∵A ，B ，C 三点共线，

∴AB →∥AC →.

∴2(a －1) －(－b －1) ＝0，∴2a ＋b ＝1.

∴12⎛ 12⎫

a b ⎝a ＋b ⎭(2a ＋b )

＝4＋b 4a a b 4＋2 a b 8.

当且仅当b 4a 11a b ，即b ＝2a ＝4 ∴12

a b 8.

答案 8

017解析 |b ＋t a |2＝(b ＋t a ) 2＝|b |2＋|a |2t 2＋2a ·b t ，

令f (t ) ＝|a |2t 2＋2a ·b t ＋|b |2，

由于|b ＋t a |的最小值为1，所以函数f (t ) 的最小值也为

4|a |2|b |2－4(a ·b )2

4|a |＝1.

又a ，b 均为非零向量，且夹角为θ， ，即1

1因此|b |－|b |cos θ＝1，于是|b |＝， 1－cos 2θ2222

因此当θ确定时，|b |2的值唯一确定，亦即|b |唯一确定．故选B. 答案 B

018解析 当n 为正奇数时，a n ＋2＝(1＋0) a n ＋1＝a n ＋1；当n 为正偶数时，a n ＋2＝(1＋1) a n ＋0＝2a n . ∴数列{a n }是奇数项为等差数列，

9×(1＋9)偶数项为等比数列的一个数列．∴数列{a n }的前18项和为2

2×(1－29)＋＝1 067. 1－2

答案 B

019解 (1)∵S n ＝3n ，∴S n －1＝3n －1(n ≥2) ，

∴a n ＝S n －S n －1＝3n －3n －1＝2×3n －1(n ≥2) ．

当n ＝1时，2×31－1＝2≠S 1＝a 1＝3，

⎧⎪3，n ＝1，∴a n ＝⎨ n －1⎪2×3，n ≥2. ⎩

(2)∵b n ＋1＝b n ＋(2n －1) ，

∴b 2－b 1＝1，b 3－b 2＝3，b 4－b 3＝5，„，b n －b n －1＝2n －3. 以上各式相加得

b n －b 1＝1＋3＋5＋„＋(2n －3)

(n －1)(1＋2n －3)2＝(n －1) . 2

∵b 1＝－1，∴b n ＝n 2－2n .

⎧⎪－3，n ＝1，(3)由题意得c n ＝⎨ n －1⎪⎩2(n －2)×3，n ≥2.

当n ≥2时，T n ＝－3＋2×0×31＋2×1×32＋2×2×33＋„＋2(n －2) ×3n －1，

∴3T n ＝－9＋2×0×32＋2×1×33＋2×2×34＋„＋2(n －2) ×3n ， ∴相减得－2T n ＝6＋2×32＋2×33＋„＋2×3n －1－2(n －2) ×3n . ∴T n ＝(n －2) ×3n －(3＋32＋33＋„＋3n －1)

n n

3－3(2n －5)3＋3n

＝(n －2) ×3－2＝2

⎧－3，n ＝1，

n

∴T n ＝⎨ 2n －5 3＋3

，n ≥2.⎩2

(a ＋b )2(a ＋b )2b a 11k

020解析 由a ＋b 0，得k ≥ab 而ab a ＋b

a ＋b (a ＋b )2

＋2≥4，当且仅当a ＝b 时取等号，所以－ab ≤－4，因此要使k ≥(a ＋b )2

－ab k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4.

答案 C 021解析

→，则|OP →＋OQ →|在直线2x ＋y ＝0上取一点Q ′，使得Q →′O ＝OQ →＋Q →→|，其中P ′，B 分别为点P ，A ＝|OP ′O |＝|Q →′P |≥|P →′P |≥|BA 在直线2x ＋y ＝0上的投影，如图所示：

|0＋1|55→→→因为|AB |＝5，因此|OP ＋OQ |min ＝5.

1＋2答案 A

1

022解析 由题中数据可猜想：含n 2项的系数组成首项是2111

2的等差数列，含n 项的系数组成首项是22k －224－k 1⎤2⎡1⎛1⎫⎤⎡1

⎢⎢⎥－(k －3)列，因此N (n ，k ) ＝22⎦n ＋⎣2(k －3)⎝2⎭⎦n ＝2＋2⎣n . 故N (10,24)＝11n 2－10n ＝11×102－10×10＝1 000.

答案 1 000

023 解: 024解：命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中的四枪的空位，共有A 52=20种不的情形

1

025 解 (1)由e 2a 2＝4c 2. ①

S △F 1AF 2中由余弦定理有，

|F 1A |2＋|F 2A |2－2|F 1A ||F 2A |cos60°＝4c 2， 又|AF 1|＋|AF 2|＝2a ， 可得a 2－c 2＝3 ②

联立①②得，a 2＝4，c 2＝1，∴b 2＝3. x 2y 2

所以椭圆方程为4＋31.

⎧y ＝kx ＋m

(2)设点P (x 0，y 0) ，由x 2y 2

431

(4k 2＋3) x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.

得

Δ＝64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12) ＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0，所以

⎛4k 3⎫4km 4k 3

x 0＝－＝－m ，y 0＝m P －m ，m ⎪.

⎝⎭4k ＋3

⎧⎪y ＝kx ＋m

由⎨，得Q (4,4k ＋m ) ，假设存在点M ，坐标为(x 1, 0) ，⎪x ＝4⎩

3⎫⎛4k →则MP ＝ m x 1m ⎪.

⎝

⎭

→＝(4－x 4k ＋m ) ， MQ 1,

→·→＝0，即－16k 因为以PQ 为直径的圆恒过点M ，所以MP MQ m 4kx 12k k 224x 3＝0，所以有(4x 1＋x 1＋1－4) x 1－4x 1＋3＝0对任意m m m 的k ，m 都成立．

⎧⎪4x 1－4＝0则⎨2，解得x 1＝1，故存在定点M (1,0)符合题意． ⎪x －4x ＋3＝0⎩11

026解析

如图，设MN 的中点为P ，则由F 1是AM 的中点，可知|AN |＝2|PF 1|. 同理可得可知 |BN |＝2|PF 2|. ∴|AN |＋|BN |

＝2(|PF 1|＋|PF 2|)＝4a ＝12. 答案 12

027解析 设M (x 1，y 1) ，N (x 2，y 2) ，MN 的中点P (x 0，y 0) ，

⎧⎪y

则⎨x －31， ②⎪x ＋x ＝2x ， ③⎩y ＋y ＝2y ， ④

22

21

2

1

2

2y x 21－＝1， ①3

1

由②－①得(x 2－x 1)(x 2＋x 1) ＝3y 2－y 1)·(y 2＋y 1) ，显然x 1≠x 2， y 2－y 1y 2＋y 1y ∴＝3，即k MN x 03， x 2－x 1x 2＋x 1∵M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，

∴k MN ＝－1，∴y 0＝－3x 0，又∵y 0＝x 0＋m ，

⎛m 3m ⎫

∴P －4，4，代入抛物线方程得

⎝⎭⎛m ⎫92

－⎪， m ＝18·16⎝4⎭

解得m ＝0或－8，经检验都符合． 答案 0或－8

028解析 直观图如图1的几何体(上部是一个正四棱锥，下部是一个正四棱柱) 的俯视图为①；直观图如图2的几何体(上部是一个正四棱锥，下部是一个圆柱) 的俯视图为②；直观图如图3的几何体(上部

是一个圆锥，下部是一个圆柱) 的俯视图为③；直观图如图4的几何体(上部是一个圆锥，下部是一个正四棱柱) 的俯视图为④.

图1图2图3图4 答案 ①②③④

029 【解】 (1)证明：取BC ，B 1C 1的中点分别为D 和D 1，连接A 1D 1，DD 1，AD . 由BB 1C 1C 为矩形知，DD 1⊥B 1C 1.

因为平面BB 1C 1C ⊥平面A 1B 1C 1，所以DD 1⊥平面A 1B 1C 1. 又由A 1B 1＝A 1C 1知，A 1D 1⊥B 1C 1.

故以D 1为坐标原点，可建立如图所示的空间直角坐标系D 1－xyz .

由题设，可得A 1D 1＝2，AD ＝1.

由以上可知AD ⊥平面BB 1C 1C ，A 1D 1⊥平面BB 1C 1C ，于是AD ∥A 1D 1. 所以A (0，－1,4) ，B (1,0,4)，A 1(0,2,0)，C (－1,0,4) ，D (0,0,4)．

→→→→→→

故AA 1＝(0,3，－4) ，BC ＝(－2,0,0). AA 1·BC ＝0，因此AA 1⊥BC ，即AA 1⊥BC .

→

(2)因为AA 1＝(0,3，－4) ，

→

所以|AA 1|＝5，即AA 1＝5.

(3)设平面A 1BC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1) ． →→

又因为A 1C ＝(－1，－2,4) ，A 1B ＝(1，－2,4) ， →⎧⎪A 1C ·n 1＝0，所以⎨

→⎪⎩A 1B ·n 1＝0，

⎧⎧⎪x 1＋2y 1－4z 1＝0，⎪x 1＝0，即⎨⇒⎨ ⎪⎪⎩x 1－2y 1＋4z 1＝0⎩y 1＝2z 1

令z 1＝1，则n 1＝(0,2,1)．又因为平面ABC ⊥z 轴， 所以取平面ABC 的法向量为n 2＝(0,0,1)． n ·n 15则cos 〈n 1，n 2〉＝5，

|n 1||n 2|55

所以二面角A －BC －A 15.

030解 (1)记A i 为事件“小明对落点在A 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0,1,3) ，

11111

则P (A 3) ＝2，P (A 1) ＝3P (A 0) ＝1－2－36；

记B i 为事件“小明对落点在B 上的来球回球的得分为i 分”(i 13131

＝0,1,3) ，则P (B 3) ＝5，P (B 1) ＝5，P (B 0) ＝1－555.

记D 为事件“小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上”．由题意，D ＝A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3，

由事件的独立性和互斥性， P (D ) ＝P (A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3)

＝P (A 3B 0) ＋P (A 1B 0) ＋P (A 0B 1) ＋P (A 0B 3)

＝P (A 3) P (B 0) ＋P (A 1) P (B 0) ＋P (A 0) P (B 1) ＋P (A 0) P (B 3) 111113113＝25356×56×510

3

所以小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率为10(2)由题意，随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3,4,6， 由事件的独立性和互斥性，得 111

P (ξ＝0) ＝P (A 0B 0) ＝65＝30， P (ξ＝1) ＝P (A 1B 0＋A 0B 1) ＝P (A 1B 0) ＋P (A 0B 1) 11131＝35656，

131

P (ξ＝2) ＝P (A 1B 1) ＝35＝5 P (ξ＝3) ＝P (A 3B 0＋A 0B 3) ＝P (A 3B 0) ＋P (A 0B 3) 11112＝255615 P (ξ＝4) ＝P (A 3B 1＋A 1B 3) ＝P (A 3B 1) ＋P (A 1B 3) 131111＝253530 111

P (ξ＝6) ＝P (A 3B 3) ＝25＝10. 可得随机变量ξ的分布列为：

111

所以数学期望Eξ＝0×30＋1×62×5＋3×154×30＋61091＝30.

031解 (1)2×2列联表如下：

(2)因为χ2＝10>6.635，

12×18×20×10

所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关． 031【错因分析】 本题易出现两个方面的错误：

(1)循环结构规律不明确，导致S 的运算错误；

(2)程序框图中，S ＝S ＋i 与i ＝i ＋1的逻辑顺序不明确，导致错误．

【正解】 依次执行程序框图： S ＝0＋1，i ＝2； S ＝0＋1＋2，i ＝3； S ＝0＋1＋2＋3，i ＝4； „ „ 由此可得

S ＝1＋2＋3＋„＋n 时，i ＝n ＋1；

经检验知当S ＝1＋2＋3＋„＋62＝1 953时i ＝63，满足条件进

入循环；

S ＝1＋2＋3＋„＋62＋63＝2 016时i ＝64，不满足条件， 退出循环．

所以应该输出62即i －2. 故选A.

【点拨提升】 (1)解决程序框图问题要注意几个常用变量 ①计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如i ＝i ＋1. ②累加变量：用来计算数据之和，如S ＝S ＋i . ③累乘变量：用来计算数据之积，如p ＝p ×i .

(2)处理循环结构的框图问题，关键是理解并认清终止循环结构的条件及循环次数．

033解 (1)由圆C 的参数方程可得其标准方程为x 2＋y 2＝16.

π

因为直线l 过点P (2,2)，倾斜角α＝3 π⎧x ＝2＋t cos ⎪3，

所以直线l 的参数方程为⎨π

⎪⎩y ＝2＋t sin 3

(t 为参数) ，

⎧

即⎨3⎩y ＝2＋2t ，

1x ＝2＋2t ，

(t 为参数) ．

⎧

(2)把直线l 的参数方程⎨3

⎩y ＝2＋2，

代入圆C ：x 2＋y 2＝16中 1⎫2⎛⎛3⎫2

得 2＋2t ⎪＋ 2＋t ⎪＝16，

2⎭⎝⎭⎝

1

x ＝2＋2t ，

(t 为参数) ，

整理得：t 2＋3＋1) t －8＝0，设A 、B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝－8，

即|P A |·|PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝8. 故|P A |·|PB |的值为8.

034解 (1)因为f (x ＋2) ＝m －|x |，f (x ＋2) ≥0等价于|x |≤m ，

由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m |. 又f (x ＋2) ≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1.

111

(2)证明：由(1)知a 2b 3c 1，又a ，b ，c ∈R ＋，由柯西不等式

得

a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋

1⎫⎛11

3c ) a ＋2b ＋3c ⎪⎝⎭

111⎫2⎛

≥a 2b ＋3c ⎪＝9.

a 2b 3c ⎭⎝

035解析 要求|2a ＋b |的最大值，只需求(2a ＋b ) 2的最大值．

∵4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0， ∴4a 2＋b 2＝c ＋2ab ，

∴(2a ＋b ) 2＝4a 2＋b 2＋4ab ＝c ＋2ab ＋4ab ＝c ＋6ab ≤c ＋

⎛2a ＋b ⎫2

⎪，即(2a ＋b ) 2≤4c ，当且仅当2a ＝b 时，取得等号，即(2a 3

⎝2⎭

＋b ) 2取到最大值，

即2a ＝b 时，|2a ＋b |取到最大值．

把2a ＝b 代入4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0，可得c ＝4a 2. 12412421⎛1⎫

∴a b c ＝a 2a 4a ＝a a ＝ a 1⎪2－1.

⎝

⎭

1124

∴当a 1时，a b c 1. 答案 －1

036证明 (1)因为PD ＝PG ，所以∠PDG ＝∠PGD .

由于PD 为切线，故∠PDA ＝∠DBA .

又由于∠PGD ＝∠EGA ，故∠DBA ＝∠EGA ，

所以∠DBA ＋∠BAD ＝∠EGA ＋∠BAD ，从而∠BDA ＝∠PF A . 由于AF ⊥EP ，

所以∠PF A ＝90°.

于是∠BDA ＝90°. 故AB 是直径．

(2)连接BC ，DC .

由于AB 是直径，

故∠BDA ＝∠ACB ＝90°.

在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ， 从而Rt △BDA ≌Rt △ACB . 于是∠DAB ＝∠CBA .

又因为∠DCB ＝∠DAB ，所以∠DCB ＝∠CBA ，

故DC ∥AB .

由于AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角．

于是ED 为直径．由(1)得ED ＝AB .