基于VC的七参数坐标转换模型研究及实现
第26卷 第5期2010年9月地理与地理信息科学
Geog ra phy and Geo-Infor matio n Science V ol. 26 N o. 5September
2010
基于VC 的七参数坐标转换模型研究及实现
闫庆庆, 王宝山, 訾国杰
(河南理工大学测绘与国土信息工程学院, 河南焦作454000)
我国法定的国家大地坐标系为北京54坐标系和西安80坐标系, 北京54坐标系采用的参考椭球为克拉索夫斯基椭球体, 而西安80坐标系采用的参考椭球为IA G75椭球体[1]。目前国家基础测绘及一些工程项目普遍采用西安80坐标系, 在进行控制测量时必将涉及54坐标系与80坐标系之间的转换问题。宗刚军等[2]对坐标转换算法做了相关研究。本文在分析七参数Bursa Wolf 转换模型的基础上, 利用Q R 分解法解决了矩阵求逆过程中出现的数值不稳定问题, 并基于VC
实
现了两种坐标系统间的转换问题。根据兖矿发耳矿井测量点, 对部分G PS 网控制点进行54坐标与80坐标的计算转换试验。该模型简单、方便、可行, 具有一定的实用意义。
然后利用上述方程式实现其他数据的统一转换。
2 QR 矩阵分解法
在用最小二乘法求解转换参数时涉及矩阵的求逆运算, 以式(3) 为例, 其误差方程的系数阵A 为N *7阶, 其中N 为公共点数目。利用最小二乘法时需要求A T BA 的逆矩阵, 也即求一个7*7阶矩阵的逆矩阵, 并且对于坐标转换而言, 坐标数据一般较大, 因此很容易导致求逆的数值不稳定。一种合理的解决方法是采用QR 分解法[4], 将系数矩阵A 分解为:
A =QR
(5)
1 坐标转换求解模型
在大地测量坐标转换中, 广泛使用七参数Bursa Wo lf 转换模型[3]解决54坐标系至80坐标系的转换问题, 其模型为:
X 80
Y 80=Z 80
X 54
Y 54+Z 54
X 0
Y 0+Z 0
f f f
123
其中:Q 为N *7的列正交矩阵, R 为7*7的上三角矩阵, 由于Q 正交, Q T Q =I , 所以式(3) 变为:
(R T R) S =R T Q T L
(6)
其中:S 为转换参数, B 为公共点的新坐标。
由于R T 为(B *B) 的满秩矩阵, 所以式(3) 等价于:
RS =Q T B
(7)
X 54Y 54Z 54
(1)
0 Z 54-Y 54-Z 540 X 54 Y 54-X 540
x
y z
这样通过上式无需通过矩阵求逆即可得到转换参数S 的最小二乘解。
式中:X 0、Y 0、Z 0是平移参数; Y 54、x 、y 、z 是旋转参数; X 54、Z 54是大地点在旧坐标系中的坐标; X 80、Y 80、Z 80是大地点在新坐标系中的坐标。
上述矩阵模型的线性方程组表达式如下:
1*X 0+0*Y 0+0*Z 0+0* x +(-Z 54) * y +Y 54* z +X 54*k =X 800*X 0+1*Y 0+0*Z 0+Z 54* x +0* y +(-X 54) * z +Y 54*k =Y 80(2) 0*X 0+0*Y 0+1*Z 0+(-Y 54) * x +X 54* y +0* z +Z 54*k =Z 80
3 算法实现
3. 1 定义坐标系结构体及转换参数结构体
定义坐标系结构体, 用CA rr ay 指针存储和读取数据。
typedef s tru ct COORDINATE struct
{double x; double y; doub le z; }COORDINAT E; typedef CArrayCCoordinateArray; //定义坐标数组
上述线性方程组的矩阵表达式为:
AS =B
(3)
定义转换参数结构体
s tru ct CT LSPARA
{double X 0; double Y 0; double Z 0; double Y 0; double x ; double y ; double z ; double k; }
其中:
A =
10
0100
001
0-Z 54 Y 54X 54 Z 540-X 54Y 54-Y 54 X 540Z 54X 0Y 0Z 0X 80 x B =Y 80 y Z 80 z k
3. 2 七参数坐标转换算法
在已知某一矿区北京54坐标系大地测量点坐标情况下, 根据坐标转换参数, 可计算相应的西安80坐标系坐标数据。针对矩阵表达式(3) 用最小二乘法解算出其中的转换参数, 具
(4)
S =
体实现过程如下:1) 输入一组54坐标到坐标数组co54Ar r 和一组80坐标到坐标数组co80A rr ; 2) 把矩阵A 分解成Q 矩阵和R 矩阵; 3) 根据式(7) 计算出坐标换算参数(七参数) :3个平移参数X 0、Y 0、Z 0, 3个旋转参数 x 、 y 、 z 和1个尺度参数k 。4) 把计算后的参数代入式(3) , 计算相应的80坐标系
在具体转换时先选用至少3组重合点(X 54, Y 54, Z 54) 和(X 80, Y 80, Z 80) , 采用最小二乘法解算出方程中的转换参数,
基金项目:河南省科技攻关资助项目(0524220343)
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的空间直角坐标X 80、Y 80、Z 80。
地理与地理信息科学
第26卷
在用最小二乘法求解未知的测量点数据时, 利用Q R 矩阵分解可避免矩阵求逆过程中出现的不稳定性, 使求得的测量点数据与实际数据之间误差的绝对值之和最小, 从而提高54坐标向80坐标的转换精度。
点号H 449H 467
I1
X 54
2917210. 6452902263. 5312912195. 358
Y 54
35469414. 4635475551. [1**********]. 556
Z 54
4 实例分析
利用兖矿发耳矿井的实际测量点坐标数据对程序进行验证, 从10个测量点中选取3个同名点参与坐标转换参数的计算。相应的坐标数据见表1。
表1 发耳矿井测量点数据
X 80
2917152. 4472902205. 2352912137. 15
Y 80
35469334. 9835475472. 3435472597. 085
Z 80976. 1921702. 3741047. 539
976. 1921702. 3741047. 539
通过编程运算, 计算出的坐标转换参数如下:
X 0=-12. 63529851, Y 0=-299. 0730825, Z 0=-110. 1936869,
x =-2. 982432083E 006, y =1. 508891939E 006,
z =-1. 781454181E 006, k =1. 000006045
X Av g = d x /10=-0. 01105782(m) Y Avg = d y /10=0. 0005652308(m) Z Av g = d z /10=0. 001953836(m)
把计算得到的坐标转换参数代入式(2) , 输入该矿区测量点的北京54坐标, 得到的西安80坐标及误差见表2。
Y 80
35469334. [1**********]. [1**********]. [1**********]. [1**********]. [1**********]. [1**********]. [1**********]. [1**********]. [1**********]. 02
Z 80 976. 19111702. 3731047. 541979. 9264
d x 0. 01020040. 0058259-0. 016030-0. 016074
d y -0. 001290. 0010120. 0002790. 0006050. 0008030. 0009700. 0006180. 0007460. 0008040. 001107
d z -0. 0009-0. 00080. 001680. 002370. 002840. 002940. 003300. 003340. 003420. 00129
根据表1计算各坐标轴上的坐标误差X Avg 、Y Av g 、Z Av g :
点号H 449H 467I1I2I3! 1! 2! 3SC1SC2
X 80
2917152. 4472902205. 2352912137. 152912210. 292911956. 8012911979. 3892912063. 992912084. 1342912091. 9732911594. 000
Y 80
35469334. 9835475472. 3435472597. [1**********]. [1**********]. [1**********]. [1**********]. [1**********]. [1**********]. [1**********]. 019
Z 80 976. 1921702. 3741047. 539979. 924985. 021985. 261984. 196985. 757985. 744986. 439
X 80
2917152. 4572902205. 2412912137. 1342912210. 2742911956. 7852911979. 3732912063. 9742912084. 1182912091. 9572911594. 984
表2 发耳矿井测量点坐标转换精度
985. 0238-0. 016104985. 2639-0. 016006984. 1993985. 7604985. 7474986. 4403
-0. 015638-0. 015547-0. 015513-0. 015697
5 结论
本文考虑Bur sa W olf 转换模型中7个转换参数对大地直角坐标系中坐标转换精度的影响。通过表2可看出, 转换点位误差最大为1. 6cm, 最小为0. 1cm 。该数学模型简单, 适于计算机编程解算, 借助常规数字成图软件, 如L ongRuan GIS 可以实现较大区域范围内新、旧坐标之间的快速转换, 在控制点本身测量精度较高的条件下, 坐标换算误差很小, 可满足矿区测量要求。
参考文献:
[1] 彭爱文, 曹佩瑶. 平面坐标转换方法探讨及转换软件的设计思
路[J ].测绘与空间地理信息, 2007, 30(3) :189-191.
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西安科技大学学报, 2007, 27(3) :401-404.
[3] 朱华统. 大地坐标系的建立[M ]. 北京:测绘出版社, 1986. [4] 陈兆林, 张书华, 闵珊. 两种坐标转换模型的精度比较[J]. 四川
测绘, 2007, 30(5) :224-227.