不定积分难题集锦

98．

⎰

x 2arctan x

dx =( ) 2

1+x

11

x arctan x -ln(1+x 2) -(arctanx ) 2+c

2212

(B) x arctan x -ln(1+x ) +c

21122

(C) x arctan x -ln(1+x ) +(arctanx ) +c

22

11

ln(1+x 2) -(arctanx ) 2+c (D) 22ln sin x

dx =( ) 99．⎰2

sin x

(A) （A ）cot

x ln sin x -cot x -x +c x ln sin x +cot x -x +c

（B ）-cot （C ）-cot （D ）-cot 103．设

x ln sin x -cot x +x +c x ln sin x -cot x -x +c

sin x

，则⎰f (sinx +1) cos xdx =( ) x

sin(sinx +1) sin(sinx +1)

+c （B ）+c （A ）

x sin x +1

f (x ) 的一个原函数为

（C ）

sin(sinx +1)

+c

sin x

（D ）

sin(sinx +1)

sin(x +1)

arcsin e x

=( ) 104． ⎰x

e

（A ）-x +ln(1-（C ）-x +ln(1-

-e 2x ) +c -e x ) +c dx =( )

（B ）-x -ln(1-（D ）-x -ln(1-

-e 2x ) +c -e x ) +c

105．

⎰

x -2x -2x +10

2

（A ）（B ）-（C ）-（D ）

x 2-2x +10-ln(x -1+x 2-2x +10) +c x 2-2x +10-ln(x -1+x 2-2x +10) +c x 2-2x +10+ln(x -1+x 2-2x +10) +c x 2-2x +10+ln(x -1+x 2-2x +10) +c

106．设I

=⎰

1-tan x

dx ,则( ).

1+tan x

cos x -sin x cos 2x -sin 2x cos 2xdx d (sin2x )

(A).I =dx =dx ==⎰cos x +sin x ⎰(cosx +sin x ) 2⎰1+sin 2x ⎰1+sin 2x

=ln +sin 2x

+C ;

(cosx -sin x ) 21-sin 2x d cos 2x

dx =dx =sec 2xdx + (B).I =⎰⎰cos 2x ⎰⎰cos 2x

cos 2-sin 2x

=ln sec 2x +tan 2x (C).令tan

+ln cos 2x +C ;

dt tdt 2

-⎰1+t ⎰1+t 2=ln +tan x -ln sec +C ；

d (cosx +sin x )

=ln cos x +sin x +C . (D).I =⎰

cos x +sin x dx

107．设I =⎰， 则( ). 22

sin x +2cos x

x =t , I =

(A). I

=⎰

d (tanx ) 1x

=+C ; 2

tan x +222dx

=arctan(cosx ) +C ; 2

1+cos x

(B).

I =⎰

x tan =t 2

(C).I

=

2dt 2dt -1t -1dt =-⎰=+C =⎰2t (t -1) 2-21-t 2⎰1+2t -t 222+21+t 21+t 2

tan arctan

x

-1+C . 2

(D).I =

12

108．设

f (x ) 有原函数x ln x ， 则⎰xf (x ) dx =（ ）。

2

1111

(+ln x ) +C ; (B).x 2(+ln x ) +C ; 2442

112121(C).x (-ln x ) +C ; (D).x (-ln x ) +C . 4224

(A).x 109．设

⎧x +1⎪f (x ) =⎨1-x

e ⎪⎩2

x ≥0x

，则下列选项不是

f (x ) 的原函数者为 ( )

⎧12

x +x ⎪⎪2

（A ）F (x ) =⎨

⎪-1e -x ⎪⎩2

x ≥0

x

⎧12

x +x +1⎪⎪2

（B ）F (x ) =⎨

⎪-1e -x +3⎪2⎩2

1⎧12

x +x -⎪⎪22

F (x ) =（D ）⎨

1-x

⎪-e ⎪2⎩

x ≥0

x

⎧12

x +x ⎪⎪2

（C ）F (x ) =⎨

⎪-1e -x +1⎪2⎩2

110．设

x ≥0

x ≥0

x

f (x ) 的一个原函数是F (x ) ，g (x ) 是f (x ) 在区间I 上的反函数，g (x ) 的一个原函数为G (x ) ，

则下列选项中正确的是 ( )

（A ）F '(x ) G '(x ) （C ）111．设

=1

（B ）

f '(x ) ⋅g '(x ) =1 dF (g (x ))

=1

dx

dG (f (x ))

=1

dx

（D ）

f (x ) 的一个原函数是F (x ) ，g (x ) 是f (x ) 在区间I 上的反函数，g (x ) 的一个原函数为G (x ) ，

则下列选项中不正确的是 ( )

（A ）F '(x ) G '(x )

=1

（B ）

f '(x ) ⋅g '(x ) =1

（C ）

dG (f (x ))

=x f '(x )

dx

（D ）

dF (g (x )) x

=dx f '(x )

cos x

⎰sin x +cos x 等于( ) 1

（A ） (x +ln |sin x +cos x |)+c （B ） ln |sin x +cos x |+c

2

112．积分

（C ） sin x +ln |sin x +cos x |+c （D ） x +ln |sin x +cos x |+c

113．积分

dx

⎰(2+sin x ) cos x 等于( )

1cos x 1ln ||+ln |tan x +sec x |+c （B ） ln(2+sin x ) +ln |cos x |+c 22+sin x 2

（A ）

11(sinx +1) 2

（C ） ln +c （D ） sec x +ln(2+sin x ) +c

23(2+sin x ) |cos x |

114．

dx

⎰sin x -sin 1 等于( )

1x -1x +1[ln|sin |-ln |cos |]+c cos 122

（A ） ln |cot x -csc x |+c （B ）

1x +1x -1

-[ln|sin |ln |cos |]+c cos x -cos 1

22|+c （D ） cos 1（C ） ln |

sin x -sin 1dx

115．⎰ 等于( )

cos x +cos 21x -2x +2[ln|cos |-ln |cos |]+c （B ） ln |sec x +tan x |+c （A ）

sin 1221x -2x +2x x [ln|sin |-ln |cos |]+c （D ） ln |tan +sec |+c （C ）

cos 22222

sin x

116．设f (x ) 有一个原函数是，则⎰x f '(x ) dx =（ ）。

x

2sin x

+c （A ）-cos x +c （B ）cos x -x

sin x

+c ，因f (x ) 未知，故只能计算到此。 （C ）xf (x ) -x

dx 2

（D ）⎰(2sin x -2x cos x -x sin x ) 2，这是一个不能用初等函数表示的积分。

x

1-tan x

dx = ( ) 117． ⎰

1+tan x

(A) ln |1+sin 2x |+c (B) ln |sec 2x +tan 2x |+ln |cos 2x |+c (C) ln |1+tan x |-ln |sec x |+c (D) ln |cos x +sin x |+c

118．设x ln

(A) x

2

x 是f (x ) 的一个原函数，则⎰xf (x ) dx = ( )

1111

(+ln x ) +c (B) x 2(+ln x ) +c 2442

112121(C) x (-ln x ) +c (D) x (-ln x ) +c 4224

119．已知

f '(lnx ) =x ，其中1

x

x

(A) e (B) e (C) e

x

-1， 1

-1， 0

120．下列说法中正确的是( ) (A)

1x

在(-1,1)上的原函数为

-1 2x

(B)

⎰1+x

-1

2

=-arctan x +c 1, ⎰

1

=+c 2

x 1+x

2

-1

即arctan

1

, arctan x 为同一个函数的原函数, 彼此差一常数, x

∴arctan

1

+arctan x =c x

x ≠0

(c) 符号函数sgn x 在(-∞, +∞) 上存在原函数

(D)

11⎧

⎪2x sin -cos f (x ) =⎨x x

⎪⎩0

x ≠0x =0

在(-∞, +∞) 上存在原函数,

所以不连续函数也可以存在原函数. 121．

sin x

⎰1-sin 2x dx =( )

+c (D)sec x +c

(A)x sec x +c (B)-sec x +c (C)tgx

x 4+1

=( ) 122．⎰6

x +1

312

(A)arctgx +arctgx +c (B)arctgx +arctgx +c

33

134

(C)arctgx +arcthx +c (D)ln(x +1) +arctgx +c

3

3

二、计算题：

(1)⎰(4)(7)⎰

1

dx 2

x (x -2)

2ln x +1

dx 32

x (lnx )

(2)(8)5x -1

dx 2

x -x -2

(3)⎰

(6)⎰

(5)⎰

sin 2x

44

cos x -sin x arcsin x

dx 2

x

(9)⎰

cos x -sin x (10)⎰dx 2

1+sin x sin x ⋅cos x (11)⎰dx

sin x +cos x

sin 4x (12)⎰

dx

1+cos x

dx

(13)⎰

1-sin 4x e x -1(16)⎰2x dx

e +4x 2

(19)⎰arctan xdx 2

1+x

ln x (14)⎰dx

(1-x ) 2(17)(15)

(18)⎰

1+sin x +cos x

dx 2

1+sin x

x ln(1+x 2) (20)⎰dx 2

1+x

(21)⎰tan 3xdx

(22)2x

2

x

(23)⎰dx

1+cos x

arctan x (26)⎰2dx 2

x (1+x )

x 3

(24)⎰dx 100

(x -1)

arctan e x

(27)⎰

dx 2x

e

(25)⎰e (tanx +1) dx

(28)设f (sin2x ) =

x , f (x ) dx sin x (29)已知f (x ) 的一个原函数为ln 2x , 求：

⎰xf '(x ) dx

111二、计算题：1) ln x -ln x -2-+c c

442(x -2) +c x c 5)2ln x +1+3ln x -2+c 3

1142

6) -ln 2sin x -1+c 7) -2+c 8) (tanx ) 4+c

2x ln x 3

19) -arcsin x ++c 10)arctan(sinx ) ++c

x

1ππ11) (sinx -cos x ) sec(x -) +tan(x -) +c 244111112) (x -sin 2x ) -sin 3x +c 13) [tanx x )]+c

2232ln x 14) -ln x +ln -x ) +c +c 1-x 1e x 11

16) arctan -ln x +ln(e 2x +4) +c

+c

22481x ) +arctan(sinx ) c 1111

19) x arctan x -ln(1+x 2) -(arctanx ) 2+c 20) ln 2(1+x 2) +c 21) tan 2x +ln cos x +c

2222

x

e -x +c 23) -x cot x +ln sin x +-ln csc x -cot x +c

sin x

1331

24) -(x -1) -96-

(x -1) -97-(x -1) -98-(x -1) -99+c 25) e 2x tan x +c

9697989arctan x 11x 22

26) --(arctanx ) +ln +c

x 221+x 2111

27) -e -2x arctan x -e -x -arctan e x +c

22228) -c 29)2ln x -ln 2x +c