数列求和常用方法总结
数列求和常用方法总结
公式法:必须记住几个常见数列前n 项和 等差数列:S n =n (a 1+a n ) n (n -1) d =na 1+; 22
⎧na 1 q =1⎪等比数列:S n =⎨a 1(1-q n ) ;
⎪1-q q ≠1⎩
错位相减法:其特点是c n =an b n 其中{an }是等差,{bn }是等比 例1 求数例1,3a ,5a 2,7a 3,…(2n-1)a n-1,…(a≠1)的前n 项和. 裂项求和法:
例2 求和:1+1111+++ +, (n ∈N *) 1+21+2+31+2+3+41+2+3+ +n
[练习] 求数列1
1+2, 1
2+, ⋅⋅⋅, 1
n +n +1, ⋅⋅⋅的前n 项和.
常见的裂项法:
(1)a n =f (n +1) -f (n )
(2)a n =111=- n (n +1) n n +1
1111=(-) (An +B )(An +C ) C -B An +B An +C
= (3)a n =(4
)a n =
分组求和法:
例3 已知等差数列{a n }的首项为1,前10项的和为145,求a 2+a 4+ +a 2n . 倒序相加法:
例4求sin 1+sin 2+sin 3+⋅⋅⋅+sin 88+sin 89的值 2 2 2 2 2
练习:
1.已知数列{a n }中,S n 是其前n 项和,并且S n +1=4a n +2(n =1,2, ), a 1=1, ⑴设数列b n =a n +1-2a n (n =1, 2, ) ,求证:数列{b n }是等比数列; ⑵设数列c n =a n , (n =1, 2, ) ,求证:数列{c n }是等差数列; n 2
22.设二次方程a n x -a n +1x +1=0(n∈N) 有两根α和β,且满足6α-2αβ+6β=3.
(1)试用a n 表示a n +1;
3.数列{a n }中,a 1=8, a 4=2且满足a n +2=2a n +1-a n
⑴求数列{a n }的通项公式; ⑵设S n =|a 1|+|a 2|+ +|a n |,求S n ; n ∈N *