初三数学竞赛及答案

2010年广州市白云区初三数学竞赛试卷

（完成时间：120分钟，满分100分）

学校 姓名 得分

一、选择题（下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．共8个小题，每小题3分，共24分）

1．在平面直角坐标系中，点A （x ，y -2）在第四象限，那么点B （y -2，-x ）在（ ）A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2. 计算(-2)2005+(-2)2006所得结果是( )

A. 2 B. －2 C. 1 D. 22005 3．在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干，要搬运这些箱子很困难，可是仓库管理员要落实一下箱子的数量，于是就想出一个办法：将这堆货物的三种视图画了出来，如图，你能根据三视图，帮他清点一下箱子的数量吗？这些箱子的个数是( )

A ．9 B．8 C． 7 D．6

4．已知-1

，x 1

x

的大小关系是（ ） （A ）

1x

x

5． 13个小朋友围成一圈做游戏，规则是从某一个小朋友开始 按顺时针方向数数，数到第13，该小朋友离开；这样继续

下去. ，直到最后剩下一个小朋友. 小明是1号，要使最后 剩下的是小明自己，他应该建议从几号小朋友开始数起？

（A ）7号 （B ）8号 （C ）13号 （D ）2号 （第4题） 6．已知a 、b 是实数，x =a 2

+b 2

+20，y =4(2b -a ) ，则x 、y 的大小关系是（ ）（A ）x y （C ） x ≤y （D ）x ≥y

7．将长为15cm 的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的

截法有 ( ) A ．5种 B ．6种 C ．7种 D ．8种

8. 古人用天干和地支记次序，其中天干有10个：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸。地支也有12个：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥，将天干的10个汉字和地支的12个汉字分别循环排列成如下两行：

甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸…… 子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥……

从左向右数，第1列是甲子，第2列是乙丑，第3列是丙寅……，则当第2次甲和子在同一列时，该列的序号是（ ）

A. 31 B. 61 C. 91 D. 121

二、填空题（共12个小题，每小题4分，共48分） 9，如果m 、n 满足3m-6+(n+4)=0，则mn=__________. 10，定义a*b=ab+a+b,若3*x=27，则x 的值是________。

11．观察数组：（1），（4，7），（10，13，16），（19，22，25，28），……，则2008在第 12．已知a 、b 是一元二次方程x 2-x -1=0的两个根，则代数式3a 2+2b 2-3a -2b 的值等于 .

13．如图，已知AE 平分∠BAC ，BE ⊥AE 于E ，ED ∥AC ，∠BAE ＝36°，那么∠BED ＝

°．

E

B C D 第13

题

第14题

14．如图，边长分别为1、2、3、4、……2007、2008的正方形叠放在一起，则图中阴影部分的面积和为 。

15，如右图所示，矩形ABCD 被分成一些正方形，已知AB=32cm，则矩形的另一边AD=______cm。

第15题

第16题

2

16．在某次数学竞赛中每解出一道难题得3分，每解出一道普通题得2分，此外，对于每道未能解出的普通题要扣去1分。某人解出了10题，一共得了14分。则该次数学竞赛中一共有_________道普通题。

17． 在很小的时候，我们就用手指练习过数数. 一个小朋友按如图所示的规则练习数数，数到2006时对应的指头是_____________ (填出指头的名称，各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指) .

18．在正方形ABCD 中，点E 是BC 上的一定点，且BE=10，EC=14，点P 是BD 上的一动点，则PE+PC的最小值是 。

19， 已知：如图，长方形ABCD 中，F 是CD 的中点，BC =3BE ，AD =4HD 。若长方形的面积是300平方米，则阴影部分的面积等于____平方米。

⎧20. 方程组⎨⎩

三、解答题（本大题共421，（6点F ，连结AE ．

证明：（1）BF =DF

(1) 求证：AC=BD； (2)若sin C =

22，（6分）如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan B =cos ∠DAC ，

12

，BC =12，求AD 的长． 13

23，（6分）有一块表面是咖啡色，内部是白色，形状是正方体的烤面包，小明用刀在它的上表面、前表面和右侧表面沿虚线各切两刀（如图1），将它切成若干块小正方体形面包（如图2）．

（1）小明从若干块小面包中任取一块，求该块面包有且只有两个面是咖啡色的概率． （2）小明和弟弟边吃边玩，游戏规则是：从中任取一块小面包，若它有奇数个面为咖啡色时，小明赢；否则弟弟赢．你认为这样的游戏规则公平吗？为什么？

24，（10分）如图，已知正方形ABCD 与正方形EFGH

的边长分别是

中心O 1，O 2都在直线l 上，AD ∥l ，EG 在直线l 上，l 与DC 相交于点M

，ME =7-，当正方形EFGH 沿直线 l 以每秒1个单位的速度向左平移时，正方形ABCD 也绕O 1以每秒45°顺时针方向开始旋转，在运动变化过程中，它们的形状和大小都不改变． （1）在开始运动前，O 1O 2=；

（2）当两个正方形按照各自的运动方式同时运动3秒时，正方形ABCD 停止旋转，这时AE =O 1O 2=；

（3）当正方形ABCD 停止旋转后，正方形EFGH 继续向左平移的时间为x 秒，两正方形重叠部分的面积为y ，求y 与x 之间的函数表达式．

白云区初三数学竞赛试题答案

1，C 2，D 3，B 4，B

5，A 如果从1号数起，离圈的小朋友依次为13，1，3，6，10，5，2，4，9，11，

12，7，最后留下8号，因此从逆时针方向退8名（即7号）开始数起，最 后留下1号

6，D 7，C

解：能组成三角形的只有 （1，7，7）、（2，6，7）、（3，5，7）、（3，6，6）、（4，4，7）、（4，5，6）、（5，5，5）七种 8，B 9，-8 10，6 11， 12，13，126

14，2017036 15， 29cm

解：分别以x 、y 表示两个最小的正方形的边形，将各个正方形的边长都用x 和y 表示出来（如图）。解方程AB=CD=32cm， 得x=4cm，y=5cm。此后，各个正方形的边长便被唯一确定。

16，解：设普通题共x 题，其中解出a 题，难题共解出b 题 则⎨

⎧3b +2a -(x -a ) =14

⎩a +b =10

∴x =16 17，无名指 18，26. 19，137.5

⎧x= - 120，⎨

⎩y=2

21，（1）能正确说明∠ADB =∠EBD （或△ABF ≌△EDF ） 2分

···························································································································· 3分 ∴BF =DF ·

（其它方法参考以上标准给分）．

（2）能得出∠AEB =∠DBE （或∠EAD =∠BDA ） ····························································· 5分

···························································································································· 6分 ∴AE ∥BD ·

（其它方法参考以上标准给分）．

22，解：(1)∵AD 是BC 上的高，∴AD ⊥BC ．

∴∠ADB =90°，∠ADC =90°． …………………………………………1分 在Rt △ABD 和Rt △ADC 中，

AD AD

，cos ∠DAC = …………………………………………2分 BD AC

又已知tan B =cos ∠

DAC

∵tan B =

AD AD

=．∴AC=BD． ………………………………3分 BD AC

12

(2)在Rt △ADC 中， sin C =，故可设AD =12k ，AC =13k ．

13

∴∴CD

k ． ………………………………4分

∵BC=BD+CD，又AC=BD， ∴BC=13k+5k=18k 由已知BC=12， ∴18k=12．∴k=∴AD=12k=12⨯

2

． ………………………………5分 3

2

=8． ………………………………6分 3

23，

（1）按上述方法可将面包切成27块小面包，有且只有两个面是咖啡色的小面包有12块，

1244

=．所以，所求概率是． （3分） 2799

（2）27块小面包中有8块是有且只有3个面是咖啡色， 6块是有且只有1个面是咖啡色．从中任取一块小面包， 有且只有奇数个面为咖啡色的共有14块， 剩余的面包块共有13块．小明赢的概率是弟弟赢的概率是分）

24，解：（1）9． 1分 （2）0， ·································································································································· 3分 6． ·································································································································· 4分

图1 图2 图3

（3）当正方形ABCD 停止运动后，正方形EFGH 继续向左平移时，与正方形ABCD 重叠部分的形状也是正方形．重叠部分的面积y 与x 之间的函数关系应分四种情况： ①如图1，当0≤x

14， 27

13．所以，按照上述规则弟弟赢的概率小于小明赢的概率，游戏不公平． （627

x 2

∴y 与x 之间的函数关系式为y =． ················································································· 6分

2②如图2，当4≤x

之间的函数关系式为y =③如图3，当8≤x

(2

=8． ··························· 7分

(12-x )

2

2

=

12

x -12x +72． ············································· 9分 2

④当x ≥12时，y 与x 之间的函数关系式为y =0． ·························································· 10分