圆与方程教案
圆与方程
一、教学目标
(一)知识教学点;使学生掌握点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系;过圆上一点的圆的切线方程,判断直线与圆相交、相切、相离的代数方法与几何方法;两圆位置关系的几何特征和代数特征. 二、教学过程
(一)知识准备:我们今天研究的课题是“点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系”,为了更好地讲解这个课题,我们先复习归纳一下点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系中的一些知识
一、圆的标准方程 1、情境设置:
在直角坐标系中,确定直线的基本要素是什么?圆作为平面几何中的基本图形,确定它的要素又是什么呢?什么叫圆?在平面直角坐标系中,任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示,那么,圆是否也可用一个方程来表示呢?如果能,这个方程又有什么特征呢? 探索研究: 2、探索研究:
确定圆的基本条件为圆心和半径,设圆的圆心坐标为A(a,b),半径为r。(其中a、b、r都是常数,r>0)设M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点M满足的条件是(引导学生自己列出)P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M
r ①
222
(xa)(yb)r化简可得: ②
引导学生自己证明(xa)2(yb)2r2为圆的方程,得出结论。
方程②就是圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程。
1. 圆的标准方程:方程(xa)2(yb)2r2(r0)表示圆心为A(a,b),半径长为r的圆.
2. 求圆的标准方程的一般步骤为:
(1)根据题意,设所求的圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2.
(2)根据已知条件,建立关于a,b,r的方程组; (3)解此方程组,求出a,b,r的值; .
(4)将所得的a,b,r的值代回所设的圆的方程中,就得到所求的圆的标准方程.
3. 求圆的标准方程的常用方法:
(1)几何法:根据题意,求出圆心坐标与半径,然后写出标准方程;
(2)待定系数法:先根据条件列出关于a,b,r的方程组,然后解出a,b,r,
再代入标准方程. 二、圆的一般方程
1.方程x2y2DxEyF0表示的曲线不一定是圆,只有当D2E24F0时,它表示的曲线才是圆,我们把形如x2y2DxEyF0的表示圆的方程称为圆的一般方程.
2. 对于方程x2y2DxEyF0 .
(1)当D2+E2-4F>0时,方程表示(1)当D2E24F0时,表示以(--E2
D2
,
)为圆心,
1
D2E24F为半径的圆; 2
2
(2)当D2E24F0时,方程只有实数解xD,yE,即只表示一个点(-2
D
,2
-
E2
);
(3)当D2E24F0时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形
3.圆的一般方程的特点:
(1)①x2和y2的系数相同,不等于0. ②没有xy这样的二次项.
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D,E,F,因之只要求出这三个系数,圆的方程就确定了.
(3)与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显. 例1.求过三点A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长和圆心坐标。
分析:据已知条件,很难直接写出圆的标准方程,而圆的一般方程则需确定三个系数,而条件恰给出三点坐标,不妨试着先设出圆的一般方程
解:设所求的圆的方程为:x2y2DxEyF0∵A(0,0),B(11,),C(4,2)在圆上,所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程,可以得到关于D,E,F的三元一次方程组.
F0
即DEF20 4D2EF200
解此方程组,可得:D8,E6,F0∴所求圆的方程为:x2y28x6y0
1DF
D2E24F5;4,3
222
得圆心坐标为(4,-3). r
或将x2y28x6y0左边配方化为圆的标准方程,
(x4)2(y3)225,从而求出圆的半径r5,圆心坐标为(4,-3)
练习:1.判断二元二次方程4x24y24x12y90是否表示圆的方程?如
果是,请求出圆的圆心及半径.
2.若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圆,则a的值为 ( )
A.-1. B.2 C.-1或2 D.1 3.一个圆经过点A(5,0)与B(2,1),圆心在直线x3y100上,求此圆的方程.
4.求经过A(4,2),B(1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和为4的圆的方程.
5.一圆与y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且直线y=x截圆所得弦长为27 ,求圆的方程。
6.已知圆满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:1;③圆心到直线l:x-2y=0的距离为
,求该圆的方程. 5
三、点与圆的位置关系
1.判断方法:点到圆心的距离d与半径r的大小关系
dr点在圆内;dr点在圆上;dr点在圆外 即(1)点(x0,y0)在圆(xa)2(yb)2r2(r0)上等价于
(x0a)2(y0b)2r2(r0);
(2)点(x0,y0)在圆(xa)2(yb)2r2(r0)内部等价于(x0a)2(y0b)2r2(r0);
(3)点(x0,y0)在圆(xa)2(yb)2r2(r0)外部等价于(x0a)2(y0b)2r2(r0). 2.涉及最值:
(1)圆外一点B,圆上一动点P,讨论PB的最值
PBminBNBCr PBmaxBMBCr
(2)圆内一点A,圆上一动点P,讨论PA的最值
PAminANrAC PAmaxAMrAC
思考:过此A点作最短的弦?(此弦垂直AC)
练习:1.已知点P(4a1,2a)在圆(x1)2y21上,求a的值.
2.设点P(2,-3)和圆(x+4)2+(y-5)2=9上各点距离为d,则d的最大值为______ 四、直线与圆的位置关系 I 复习准备:
1. 在初中我们知道直线现圆有三种位置关系: (1)相交,有一两个公共点; (2)相切,只有一个公共点; (3)相离,没有公共点。
2. 在初中我们知道怎样判断直线与圆的位置关系?现在如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系?
3.判断方法(d为圆心到直线的距离) (1)相离没有公共点0dr (2)相切只有一个公共点0dr (3)相交有两个公共点0dr 4.直线与圆相切 (1)知识要点 ①基本图形(如图)
②主要元素:切点坐标、切线方程、切线长等
问题:直线l与圆C相切意味着什么?:圆心C到直线l的距离恰好等于半径r (2)常见题型——求过定点的切线方程
①切线条数:点在圆外——两条;点在圆上——一条;点在圆内——无 ②求切线方程的方法及注意点 ...i)点在圆外
如定点Px0,y0,圆:xaybr2,[x0ay0br2] 第一步:设切线l方程yy0kxx0 第二步:通过drk,从而得到切线方程 特别注意:(i)以上解题步骤仅对k存在有效,当k不存在时,应补上——千万不要漏了!
(ii)点在圆上
(1)若点x0,y0在圆x2y2r2上,则切线方程为x0xy0yr2
222(2)若点x0,y0在圆xaybr上,则切线方程为
2222
x0axay0bybr2
③求切线长:利用基本图形,APCPr2AP
2
2
ACr求切点坐标:利用两个关系列出两个方程
kACkAP13.直线与圆相交(1)求弦长及弦长的应用问题 垂径定理及勾股定理——常用 ....
l弦长公式
:
圆锥曲线将会涉及) (2)判断直线与圆相交的一种特殊方法(一种巧合):直线过定点,而定点恰好在圆内.
(3)关于点的个数问题
练习:1.直线3x-4y+1=0被圆(x-3)2+y2=9截得的弦长为 (
)
1x2
2.若直线ax+y=1与圆(x-3 )2+(y-2)2=1 有两个不同交点,则a的取值范围是 ( ) A.(0,
3 ) B.(-
3 ,0) C.(
3 ,+∞)
D.(-∞,3 )
3.已知点M(a,b)(a,b≠0)是圆C:x2+y2=r2内一点,直线l是以M为中点的弦所在的直线,直线m的方程是ax+by=r2,那么 ( )
A.l//m且m与圆C相切 B. l⊥m且m与圆C相切
C.l//m且m与圆C相离 D. l⊥m且m与圆C相离
4.直线(x+1)a+b(y+1)=0与圆x2+y2=2的位置关系是 ( )
A.相离 B.相切 C.相交或相切 D.不能确定
5.把直线x-2y+=0向左平移1个单位长度,再向下平移两个单位长度后,所得
直线正好与圆x2+y2+2x-4y=0相切,则实数的值为 ( )
A.3或13 B.-3或13 C.3或-13 D.-3或-13
6.直线x2y30与圆(x2)2(y3)29交于E,F两点,则三角形EOF(O是原点)的面积等于 。
7.若经过点P(1,0)的直线与圆x2y24x2y30相切,求此直线在y轴上的截距.
8.过点(2,4)向圆x2y24引切线,求切线方程.
9.已知圆C:x1y225,直线l:2m1xm1y7m40(mR) (1)证明:不论m取什么值,直线l与圆C均有两个交点; (2)求其中弦长最短的直线方程.
五、对称问题
1.圆本身关于直线对称,则直线过圆心。
2.圆关于直线对称的方程转化为圆心关于直线对称,半径不变。
练习:1、曲线x2+y2+22 x-22 y=0关于 ( ) A.直线x=2 轴对称 B. 直线y=-x轴对称 C.点(2 )中心对称 D.点(-2 ,0)中心对称
2
2
2.若圆x2y2m21x2mym0,关于直线xy10对称,则实数m的值_ .
3.已知圆C与圆(x1)2y21关于直线yx对称,则圆C的方程为 ( )
A.(x1)2y21 B.x2y21 C.x2(y1)21 D.x2(y1)21 4.已知圆C1:x4y21与圆C2:x2y41关于直线l对称,则直线l的方程为_______________ .
5.圆x3y11关于点2,3对称的曲线方程是__________________.
2
22
2
2
2
六、最值问题 方法主要有三种:(1)数形结合;(2)代换;
练习:1.在圆x2+y2=4上,与3x-4y-12=0距离最长的点的坐标是 ( )
86686886A. ( ,- ) B. ( ,- 55555555
Q在圆C2:(x2)2(y1)24,2.P在圆C1:(x4)2(y2)29上,则的
最小值是 。
3.一束光线从点A(-1,1)出发,经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是( )
2 –1 D.26
4.从点(m,3)向圆x2+y2-2x=0作切线,则切线长的最小值是 ( )
2 B. 7 C.3 D. 10 5.已知实数x,y满足方程x2y24x10,求:
y
的最大值和最小值;(2)yx的最小值;(3)x2y2的最大值和最x5小值.
(1)
七、圆与圆的位置关系
1.判断方法:几何法(d为圆心距)
(1)dr1r2外离 (2)dr1r2外切 (3)r1r2dr1r2相交 (4)dr1r2内切 (5)dr1r2内含 2.两圆公共弦所在直线方程
圆C1:x2y2D1xE1yF10,圆C2:x2y2D2xE2yF20, 则D1D2xE1E2yF1F20为两相交圆公共弦方程. 补充说明:
若C1与C2相切,则表示其中一条公切线方程; 若C1与C2相离,则表示连心线的中垂线方程. 3圆系问题
(1)过两圆C1:x2y2D1xE1yF10和C2:x2y2D2xE2yF20交点的圆系方程为x2y2D1xE1yF1x2y2D2xE2yF20(1) 说明:1)上述圆系不包括C2;2)当1时,表示过两圆交点的直线方程(公共弦)
(2)过直线AxByC0与圆x2y2DxEyF0交点的圆系方程为
x2y2DxEyFAxByC0
(3)两圆公切线的条数问题
①相内切时,有一条公切线;②相外切时,有三条公切线;③相交时,有两条公切线;④相离时,有四条公切线
练习:1.若圆C1: x2+y2-2mx+m2=4和圆C2: x2+y2+2x-4my=8-4m2相交,则m的取值范围是( )
122122122A. (- ,- ) B.(0,2) C. (- , )∪(0,2) D. (- )∪(0,2)
555555
2.两个圆C1:x2+y2+2x+2y-2=0与C2:x2+y2-4x-2y+1=0的公切线有且仅有
( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
3.求以圆C1∶x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2:x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦为直径的圆的方程.
八、轨迹方程
(1)定义法(圆的定义):略
(2)直接法:通过已知条件直接得出某种等量关系,利用这种等量关系,建立起动点坐标的关系式——轨迹方程.
练习:1.已知M (-1,0), N (3,0), 则以MN为斜边的直角三角形直角顶点P的轨迹方程( ) (A)
(x1)2y22
(B)
(x1)2y24
(C)
(x1)2y22(y0)
(D)
(x1)2y24(y0)
22
2.过原点O作圆x+y+6x=0的弦OA (1)求弦OA中点M的轨迹方程; (2)延长OA到N,使|OA|=|AN|,求N点的轨迹方程.
3.如图,圆O1与圆O2的半径都是1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切点),使得PM2PN,试建立适当的坐标系,并求动点P的轨迹方程。
4. 如图,已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C:x2+y2=1,动点M到圆C的
切线长与|MQ|的比等于2.求动点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线。
九、空间直角坐标系 I 复习准备:
1.提问:平面直角坐标系的建立方法,点的坐标的确定过程、表示方法? 2.讨论:一个点在平面怎么表示?在空间呢? II 讲授新课: 1.空间直角坐标系:
如图,OBCDD,A,B,C,是单位正方体.以A为原点,分别 以OD,OA,,OB的方向为正方向,建立三条数轴
x轴.y轴.z轴。这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.
(1)点A叫做坐标原点 (2)x 轴,y轴,z轴叫做坐标轴. (3)过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。
2. 右手法则: 令右手大拇指、食指和中指相互垂直时,可能形成的位置。大拇指指向为x轴正方向,食指指向为y轴正向,中指指向则为z轴正向,这样也可以决定三轴间的相位置。 3.有序实数组
(1).空间一点M的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示,有序实数组(x,y,z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标,记作M(x,y,z)(x叫做点M的横坐标,y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标
4、空间两点的距离公式
已知两点M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2),求此两点间的距离d。 空间两点的距离公式:
d(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2。
思考:(1)点M(x,y,z)到坐标原点O(0,0,0)的距离? (2)如果OP是定长r,那么x2y2z2r2表示什么图形?
5练习:
1.点A(0,-4,1),点C与A关于平面xOy对称,点B与点A关于原点对称,则|BC|=( )
2 2.已知点A(1,4,-1),B(2,2,1),C(3,4,3),则△ABC___________________
的形状是