思维进化算法的收敛性研究

维普资讯 http://www.cqvip.com第３ ８卷第 ３期　太原理工大学学报　Ｖ０ Ｉ ８ Ｎｏ ３ ｌ３ 　 　 ．　Ｍ ａ 　 ２０ 　 ｖ ０７２０ ０ ７年 ５月　Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＴＡＩ ＡＮ　 　 　 ＹＵ ＵＮＩ ＶＥＲＳ ＴＹ　 　 Ｉ ＯＦ ＴＥＣＨ ＮＯＬＯＧＹ　文 章 编 号 ： ０ — ４３ ２ ７） — ８ — ４ １ ０７ ９ ２（ ００ ０３ ０１ ９ ０ 　思 维 进 化 算 法 的收 敛 性 研 究　谢 克 明， 高廷 玉 ， 谢　 琚　（ 原 理 工 大学 信 息 工 程 学 院 ， 太 山西 太 原 ０ ０ ２ ） ３ ０ ４　摘　 要 ： 据 自 然 遗 传 机 制 的 本 质 ， 分 形 的 角 度 出 发 ， 过 引 入 自 相 似 度 量 因 子 对 思 维 进 化 　 依 从 通算 法 作 了 改 进 。 利 用 分 形 数 学 理 论 证 明 了 思 维 进 化 算 法 在 最 优 解 搜 寻 过 程 中 存 在 自相 似 性 。 利 用　 压 缩 映 射 原 理 进 一 步 研 究 了 算 法 在 自相 似 下 的 收 敛 性 ， 出 在 满 足 收 敛 性 的 同 时 ， 通 过 引 进 自相 　 指 可 似 度 量 因 子 来 离 线 估 计 收 敛 的 快 速 性 ， 可 利 用 自相 似 度 量 因 子 和 离 线 收 敛 速 度 的 关 系 来 改 进 算　 并法 ， 避 免 陷入 局 部 极 小 解 。 以 　关 键 词 ： 相 似 性 ； 维 进 化 算 法 ； 敛 性 ； 线 估 计　 自 思 收 离中图分 类 号 ： ＴＰ１ １ ８　 文献标 识码 ： Ａ　最 优化 无论 在 理论 上 还 是 在 实 际应 用 中 ， 直　 一 是许 多学者 所研 究 和 追 求 的 目标 。近 些 年来 ， 化　 进 计算等一 些优 化算 法在 实 际许 多领域 里都 有广 泛 的　 应 用 ， 决 了许多 优化 问题 ， 解 尽管 进化 算法 已有 不少　 的理论研 究 ， 化 算 法对 生 物 演 化 的模 拟基 本 上 还　 进 是 形式 的 ， 未 深 入 到 生 物 演 化 内部 规 律 的 模 拟 。 还 　解 为复杂 系 统 的演 化过 程 ， 过 对 标 准遗 传 算 法 输　 通出的适应 值 序列 发 现 ， 遗传 算 法 在 寻 优 过程 中存 在　自相 似性 现象 ， 自相 似性 程 度 随 着算 法 由全 局 搜　 且 索 到局部 搜索 的转 变有 降低 的趋 势 。这一发 现揭 示　 了遗 传算 法作 为复 杂 系 统 演 化 所具 有 的运 行 规律 ， 　有助 于我们 更 好地 理 解 算 法 的 动态 运 行 过 程 ， 改　 并目前 国内在理论 上 的研 究 成果 有 ： 遗传 算 法 的搜 索　 机制 ＿ ： 传算 法是 由选择 、 叉 与变异 操作 重 复作　 １遗 Ｊ 交 用 而定义 的种群 迭 代过程 。交 叉算 子 作用仅 限 于 当　前种 群所 决定 的极 小 模 式 ， 变 异算 子 作 用 突破 极　 而进 现有 的遗传算 法 。受 该 文献 的启 发 ， 文 从 分形　 本 的角度 出发 ， 用 分形 数 学 理 论 来证 明思 维 进 化算　 利法在搜 索 全局最 优解 的过 程 中存在 自相 似性 。并指　 出在满 足 收敛性 的 同时 ， 过 引进 自相 似 度 量 因子　 通小模 式 的限制使 搜 索扩 大到更 大 的空 间 ， 因此 ， 择　 选和交叉 的作用是 在 “ 空 间 ” 搜 索 ， 变 异 的作 用　 子 上 而来离线 估 计收敛 的快 速性 。 　是不 断地 改变“ 子空 间” 从 而 扩大搜 索 范 围（ ， 原则 上　可 以扩 大整 个空 间 ） 交互 作 用 的选 择 、 叉 和 变 异　 ， 交１ 思维 进 化 算 法 自相 似 性　 　思 维进 化算 法 作 用机 制 ＿ 主要 是 两 个 算 子 即 ： ３ 　 　三者结 合构 成遗 传算 法 的完整 搜索 机制 。 　 如 果说 选 择 与 交叉 算 子 是 局部 搜 索算 子 ， 则变　 异算子 可认 为是 全局 搜 索算 子 （ 因为 它 的 作 用 是不　 可低估 的 ， 特别 是 ， 保 证 收 敛 性 的 角度 ， 遗传 算　 从 在 法的运 行初期 应 用 大 的变 异 概 率 ， 在 运 行后 期 应　 而 用 小 的变异概 率显 然是有 利 的 。 　趋 同和 异化算 子 。趋 同算 子主要 按 照正态 分布方 式　 来 寻局 部最优 解 ， 化算 子 一 方 面 在 全空 间范 围 内 异 　对各 局 部最优 解 竞争 ； 另一 方 面配 合 趋 同操 作 加 快　 收敛 到全 局 最 优解 。在 这样 一 个 相 互 作 用 的机 制　 下， 最终得 到全 局 最优解 ， 该算 法 在优 化方 面 已得 到　 了很好 的应 用 ＿ 。 ４　 ］文献 ［ ］ 遗 传优 化 算 法 从 复 杂 自适 应 系统 的　 ２将角 度作 了研究 ， 出 了整 个 算 法 的运 行 过 程便 可 理　 指收 稿 日期 ： ０ ６ １ －６ ２ ０ — Ｉ０ 　现 以二进制 编 码对思 维进 化算 法 收敛性 作初步　研究 。 　基 金 项 目： 育 部 高 等 学 校 博 士 学 科 点 专 项 科 研 基 金 资 助项 目（０ ６ １０ ５ ； 西省 自然 科 学 基 金 资 助 项 目（ ０ ５ ０ ７　 教 ２ ０ １ ２０ ） 山 ２０１３） 作者 简 介 ： 克 明 （９ ４ ） 男 ， 授 ， 士 生 导师 ， 谢 １４一 ， 教 博 主要 研 究 领 域 为 知 识 工 程 、 能 信 息 处 理 与 智 能 控 制 ， Ｔ １０ ５ — ６ １８ １ 智 （ ｅ） ３ １ ０ ４ １　维普资讯 http://www.cqvip.com太 原 理 工 大 学 学 报　第 ３ 卷　 ８１ １ 问 题 的 数 学 描 述　 。关集 ， ： 即 　Ｄ （ ｚ） 　 （ ）一　 　（ ， 　） （ 　 ） 　 Ｙ ∈　 ｚ， Ｖ ｚ， （） ４　候选 解 和候选 解空 间 ： 谓　 候选 解 Ｘ， 所 即是 长　度为 ｚ ０和 １字 符 串 ， 称 候选 解 ； 称 作 候 选 解　 的 简 ｚ 的链 长 ， 选 解 的 全体 记 作 Ｑ＝ ｛ ， ｝， 为 候 选　 　候 ０ １　 称解空间。 　称　 为一个 相似 ， 压缩 比 ｃ 是相似 比嘲 。 就 　 受 思 维进 化 算法 搜 索 最优 解 机 制 的启 发 ， 整　 将解 和解 空 间 ： 谓 Ｎ－ 是 指 由 Ｎ 个 候 选 解 组　 所 解 成 的集合 （ 选解 允 许 重复 ） 简 称 解 。Ｎ 称 作 解 规　 候 ， 模 ， Ｑ 一｛ 称 　 ｘ一 （ ， 　 … ， 　） Ｘ　 Ｘ　 Ｘ ， Ｘ ， ∈Ｑ（≤ Ｎ）　 　 ｝为　 解 空 间 。 　个 寻优 过程 分为 两个 部 分 ， 即局 部 意 义 下 的 全局 搜　索 和全局 意 义下 的局 部 搜 索 ， 此 认 为在 全 局 意 义　 据 下 的局部 搜 索 （ 空 间 ） 子 中包 含 局部 最 优 解 ， 而在 作　 局部 意 义下 的全局 搜 索（ 空 间） 全 时要 考虑加 重 变异　 算 子 的作 用 ， 在这个 过 程 中 ， 存在 自相 似性 。 　定义 １ Ｔ ：　 　 　 Ｑ 一Ｑ， Ｔ 是 随机趋 同映 射 。 称 　 　 定 义 ２ Ｔ ： Ｑ， 丁 　 　 Ｑ— 称 ｄ是 随 机异 化 映射 ， 其　 作 用 方 式 为独 立地 以概 率 Ｐ ａ改 变个 体 分 量 取 值 。 　 Ｐ 　称作 异化转 移概 率 。 　 定 理 １ 任 给两 个体 ｘ， ｙ∈Ｑ， Ｐ｛ ａ ｘ） 有 Ｔ （ 一　 Ｙ｝ ＝　３ 　 （ 一Ｐ ） 　ｘ 其 中 ｄ Ｘ， 表 示 ｘ 与　 １ ｄ卜 ’ ｎ， （ ｙ）定 理 ３ 算 法在 全 局 搜 索最 优 解 的 过 程 中 ， 存　在 自相 似 性 。 　证 明 ： 明 过程 中 的符 号 沿 用 上述 定 义 所指 的　 证意 义 。个 体 空 间上 的任 意个 体 ｘ　 ｙ ∈Ｑ 。在 全　 ，　 　局 搜索 最优解 过 程 中 ， 通过 趋 同机制 ， ： 则　Ｘ　 ＝ Ｔ （ ） Ｘ　一 Ｔ （ ） ｄ ｘ　 ， ｄ ｙ　 。 　ｙ 之 间 的 Ｈａ ｍｍｉｇ 离 ， ｎ 距 即　ｌ 　ｄＸｙ 一 ∑　 ～Ｙ Ｉ （ ，） 　。 　Ｉ １ ＝ 　（　 １ ）再 通过 异化操 作 可得 ： 　ｄ（ ｘ　， Ｘ　 ） ： ｃ Ｘ　 Ｘ　 。 Ｔｄ Ｔｄ ） ｄ（ ， ） 　 （） ５　证 明 ： 然该模 型服 从 Ｂ ｒ ｏ ｌ 概率 模 型 。每　 显 ｅｎ ｕｌ ｉ其 中 ｄ Ｘ， 表 示 Ｘ 与 ｙ之 间 的 Ｈａ （ ｙ） ｍｍｉｇ距 离 ，　 ｎ Ｃ个 基 因 的变 异是 相 互 独 立 的 ， Ｔ （ ：Ｙ｝ ａ Ｐ｛ ａ ｘ） ＝Ｐ ， 　个 数是 ｄ Ｘ， ； Ｔ （ ≠Ｙ｝ （ ｙ） Ｐ（ ｄ Ｘ） ＝１ 一Ｐ ； 数 是 ｚ ｄ个 　—为下确 界 。下面来 证 明上 式 的结 果 。设 ｘ 　为 全局　 最 优个体 ， 虑三 角形 模型 ， 任意 ｘ　 考 对 ≠ｘ　 　 ∈Ｑｄ 丁ｄ ， ａ （ Ｘ１ Ｔ Ｘ　ｄ Ｘ１ Ｘ２ 　 （ ， ）一 　ｄ Ｘ， ） 由 Ｂ ｒｏ ｌ 概率 模型 可得 ： （ ｙ ， ｅｎ ｕｌ ｉ 　Ｐ｛ ａ Ｘ）一 Ｙ｝一　 Ｔ（３ ’（一Ｐ） ‘ｙ １ ｘ’ ｄ Ｈ　定 理 １得证 。 　（ 为基 因个 数 ） ｚ ． 　（） ２　ｄＸ （Ｘ　】， 　） 　：　Ｘ　 Ｘ　 。 　 ｄ ２　 ） 。 （ ， 　㈤ 　定理 ２ 设 丁 ｄ为 趋 同算 子 ， 对 于 任 意 ｘ　 　 则 ∈ Ｑ （ 一 １ ２ …） Ｙ 　忌 ， ， ， 　∈Ｑ， 中 ｙ 其 　是 全 局 最 优 解 ， 　令ｃ一　，或　， 　显然 Ｏ ｃ １ ＜ ＜ 。若有 Ｘ — Ｘ ∈Ｑ， 么 考 虑 Ｃ在 单　 　 　 那 位 区间 中取 值 。 由定 义 ４可 知变 异 算 子 丁 为种 群　 ｄ 空 间 Ｑ 的 自相似 映射 ， 即进 化算 法 在 全局 搜 索 最 优　解过 程 中 ， 存在 自相 似 性 。顺 便 指 出 以下 称 Ｃ为 自 　 相 似度 量 因子 。 　有 ： Ｔ （ ｋ 一ｙ 一１ 证 明参见 文 献［ ］ Ｐ｛ ｄ Ｘ ） 　） （ ３ 中定理 １ 　的证 明） 　引用 此 定 理是 为 了说 明趋 同算 子 的遍历 性 ， 从　而保证 有能 力搜 索到 全局最 优解 。 　 定义 ３ 设 Ｍ 是一 个 紧度 量 空 间 ， Ｍ—Ｍ 是　 　：一个 压缩 映射 ， Ｍ 中任 意 的两个元 素 ｚ， 对 Ｙ成立　Ｄ（ ｚ ， 　） ≤ 　 　（ ）　（ ）ｃ （ 　） Ｄ ｚ， ０＜ Ｃ≤ １　 。 （） ３　２ 自相 似 性 下 的 收敛 性　 　目前对 进化 算法 收敛性 的研究Ⅲ 基本 上有 两 大　类 ： 类 是 进 化 算 法 的 马 氏链 模 型 ； 类 是 Ｖｏ ｅ 一 一 ｓ— 　 Ｌｅ ｉｓ 型 。表 面 上 这 两 类 的方 法 似 乎 是 有 限 状　 ｉｐｎ 模态与无 限状态 之 分 ， 研究 的方 法 大 相 径庭 。对 于　 但式 中 ， 为距 离算 子 。称 使得 一 切 使 上 述 不等 式都　 Ｄ 成立 的值 Ｃ的下 确 界为压缩 比 。假如 一个 压 缩 映射　 把 Ｍ 中的 任何 一个 子 集 都 变 换 成 为 一 个 几 何 相　马 氏链 模 型 主 要 采 用 转 移 概 率 与 极 限 理 论 ； 于　 对维普资讯 http://www.cqvip.com第 ３ 期　谢 克 明 等 ： 维进 化算 法 的 收 敛 性 研 究　 思１１ ９　Ｖｏ ｅＬ ｅ ｉｓ 型 主要 采 用 不 动 点 理 论 ， 有 浓 厚　 ｓ— ｉ ｎ 模 ｐ 具可知， 自相似 性下 的思 维 进化 算 法 在 搜 索最 优 解 过　程 中是 收敛 的 。 　的几何 色彩 。本 文 从分 形 的角 度 出发 ， 用 分 形 数　 利 学 理论 证 明 自相 似性 进化 算法 的收 敛性 。 　 定 理 ４ （ 缩 映射原 理）设 （ Ｄ） 一个 完备　 　 压 Ｅ， 是 度 量空 间 ， Ｅ— Ｅ是 Ｅ 上 的一 个 压缩 映射 。则存　 Ｗ： 在 唯一 的不 动 点 Ｘ 即 Ｗ（ 　 一Ｘ 　， Ｘ ） 　。并 且 对 于任　 意 点 Ｘ∈Ｅ， 序列 ｛ 　 ｚ ： １ ２ … ｝ 敛 到 Ｘ ． Ｗ （ ）　一 ， ， 收 　 定　３ 自相 似 性 度 量 因子 与 离 线 收敛 速 度　 　 （ 快速 性） 的估 计　把从 搜索 初始 点开 始直 到收敛 到不 动点 为止 作　 为搜 索 的整个 过 程 ， 即为 自相似 函数 迭代 系统 ， 么　 那就 可 以利 用 自相 似度量 因子 来对 收敛 速度作 离线 性　能估 计 。 　理 的证 明参见 文献 ［ ］　 ５。自相 似分 形 可 以被 看作 一类 迭代 函数 系统 的不　变集 。 　设 自相似 函数 迭代 系统 ｛ Ｔ ， ５ … ， 　｝其　 Ｑ； ５ Ｔ ， Ｔ ， 中 自相似 度量 因子 为　 （ 　一１ ２ … ， ， 么 在搜　 ， ， Ｎ） 那 索 最优 解 的过程 中 ， 离线 收敛 速度 的估 计为 ： 　Ｎ　定 义 ４ 所 谓 迭 代 函数 系统 是 指 ： 度 量 空 间　 紧Ｍ 到 自身 的一组 压 缩 映射 ｛ ： 　 Ｍ— Ｍ ； １ ２ … ， 　一 ， ， 　Ｓ 　 ∑ ｃ　 一Ｉ 　 ，’　一（　 ８ ）１ 　Ｎ｝ 使得 ： ， 　Ｄ（ （ ， （ ）≤ ｃＤ （ ｙ） 　 ｚ）　 　） ｊ ｚ， Ｏ＜　 ≤ １　 ，ＶＸ， 　 Ｙ∈ Ｍ ， Ｊ一 １ ２， ， 　 ， … Ｎ． （） ７　因０＜ ｃ ＜ １ ， （．　一１ ２ … ， ）， ，， Ｎ 　令　可得 ： 　Ｃ ｉ ｍｉ｛，Ｊ： １ ２ … ， ， 　 　： ｎｃ， ， ， Ｎ｝　Ｃ 　 一 ｍａ ｛ ，　 一 １， … ， ， ｍ ｘｃ， ２， Ｎ｝　Ｎ　（） ９　记为 ｛ ； ， ， ， ｝ 称 ｛ ； ， ， ， ｝ 自 Ｍ 　 　ｚ … 　 ． Ｍ 　 　ｚ … 　 是 　相 似 的 ， 函数 迭代 系 统 的 每个 压 缩 映 射 都 是 自相　 则似的。 　 定 理 ５ 设 ｛ ； ，ｚ … ， ｝ Ｍ 　 　 ， 　 是拥 有 压 缩 因子　Ｃｉ 一 Ｉ ｃ＜Ｃ… 　＜Ｓ 　 ∑ 　 ｍ 　 　’（） １　 ＯＪ一 １ 　从 上 式 中可 以看 出 自相 似 因 子 越 接 近 １ 离 线　 ， 平 均 收敛 速度 就越 快 ， 就是 说 ， 也 在进行 最优 解搜索　 的过 程 中 ， 两步 进行 搜索 ： 分 局部 意义 下 的全 局搜 索　 中， 自相似 因子 接 近 零 ， 找局 部 最 优 解 ； 局 意义　 寻 全 下 的局 部 搜索 中 ， 自相似 因 子接 近 １ 寻 找全 局 最优　 ， 解 。这样 ， 在具 体 的搜索 过程 中 ， 以先设 置较 小 的　 可 自相似 因子 ， 寻求 局部 最优 解 ， 了避 免 陷入局 部极　 为 小 ， 全局 搜索 中再设 置 较大 的 自相 似 因子 ， 加快　 在 来 收敛 速 度 的同 时 ， 保证 了全 局最 优解 的实 现 。 　ｃ的迭 代 函数 系 统 ， 变 换　 ： — Ｍ 是 完 备 空 间　 则 Ｍ（ ， 上具 有压 缩 因子 的压缩 映射 ， Ｍ Ｄ） 即　Ｄ（ ｚ）　（ ）≤ ｃ ｚ， 　（ ， 　） Ｄ（ 　）， 　 　 ∈ Ａ Ｖ Ｘ， 　它存 在 的唯一 不动点　 ∈Ｍ 满 足　ｍ — ｌ ｉ ｍ　 （ ）， ∈ Ｍ ． ｚ Ｘ 　称该不 动点 为该 迭 代 函数 系统 的吸 引 子 ， 就 是一　 也个 分形 。定 理 的证 明参 见文 献 ［ ３　 ６。４ 结 束 语　 　通 过 对 进 化 算 法 搜 索 最 优 解 过 程 中两 个 阶 段　（ 部意 义下 的全 局搜 索和全 局 意义下 的局 部搜索 ） 局 　定 理 ６ 自相似 性下 的思 维进 化算 法是 收敛 的　 　证 明 ： 在 寻 优 过程 中每 次循 环 搜 索 时 变异 映　 设 射 为 Ｔ （一１ ２ …） 由第 二 部 分 的结 论 可 知 ， 　　 ， ， ， 映射　Ｔ （＝１ ２ … ） 　　 ， ， 是种群 空 间 Ｑ—Ｑ 的压 缩 映射 ， 描　 记 述这 一寻优 过程 的数 学表 示为 ：Ｑ， ｊ Ｔ ， ｝ 么　 ｛ Ｔ ， ３… 那的分 析 ， 用 分形数 学 理 论 证 明 了算 法在 最 优 解 搜　 利寻过 程 中存 在 自相 似性 。同时利用 压缩 映射 原理 进　一步研 究 了算法 在 自相 似 下 的收 敛 性 ， 指 出 了 自 并 　这是 一迭 代 函数 系统 。又 Ｔ （ ＝１ ２ …） 自相 似　 　ｉ ， ， 是性压 缩映射 ， 知 ｛ 　 ， ｊ … ｝ 自相 似性 的 。而　 可 Ｑ； Ｔ ， 是Ｈａ ｍｍｉｇ距 离 ： ｎ 　ｆ 　相 似 度量 因子 与离线 收敛 速度 的关 系 。这些结 论不　 仅 为进 一 步 对 进 化 算 法 的理 论 性 研 究 提 供 了新 思　 路 ， 且对 进化算 法 在某一 具体 问题 的实 现 中 ， 以　 而 可 利 用 自相似 度量 因子 和离线 收敛 速度 的关 系来 改进　 算 法 的有 效 性 ， 以及 避 免 陷入 局 部 极 小 解有 着 指 导　意 义。 　ｄＸｙ 一∑ 『　 　 『 ， （ ，） Ｘ— ， ｙ∈Ｑ ｘ 　￡ １ ＝ 　在 种群空 间 Ｐ上 可 以构 成 完备度 量 空间 。 由定理 ５ 　维普资讯 http://www.cqvip.com１２ ９　太 原 理 工 大 学 学 报　第 ３ ８卷　参 考文 献 ： 　Ｅ ｉ 徐宗本 ， ｌ 张讲社 ， 郑亚林．计算智 能中的仿生学 ： 理论与算法［ ． Ｍ］ 北京 ： 科学出版社 ，０ ３ ２０ ． 　［ ３ 张 伟 ， 智 铭 ， 树 刚 ， ．遗 传算 法 中 的 自相 似 现 象 ［］ 控 制 与 决 策 ，２ ０ ， ９ ５ ：０ —０ ・ － ２ 吴 李 等 Ｊ． ０ ４ １ （ ） ５ ６５ ９ 　 ［ ］ ｗ ａｇＣｈ ａ— ｎ ， ｉ Ｋｅｍｉｇ Ｃ ｎ ｅｇｎ ｅｏ　　 ｗ Ｅｖｌｔ ｎ ｒ　 ｏ ｕｉｇ Ａ ｇｒ ｈ ｉ　 ｏ ｔ ｕ ｕ　 ｔｔ　 ｐｃ　Ｊ ． ３ ｎ 　 ｕ ｎｌ ｇ Ｘｅ － ｎ ． ｏ ｖ ｒｅ ｃ　ｆａＮｅ 　 ｏｕｉ ａｙＣ ｍｐ ｔ 　 ｌｏｉ ｍ　ｎＣ ｎｉ ｏ ｓＳａｅＳ ａｅ ］ ｏ 　 ｏ ｎ ｔ ｎ Ｅ 　Ｃｏ ｍｐｕ ｅ 　 ａ ｈ， ０ ２ ，７ １） ２ — ７ ｔ ｒＭ ｔ ２ ０ ９（ ： ７ ３ 　［３ －　 ４Ｘｉ　 － ｎ ｅ Ｋｅ ｍｉ ｇ，Ｄｕ Ｙｏ ｇ ｇ ｉ ｕ 　 ｅ － ｉ Ａｐ ｌ ａ ｉ ｎ ｏ 　 ｈ 　 ｉ ｄ Ｅｖ ｌ ｔｏ — ｓ ｄ Ｍ ａ ｈ ｎ 　 ａ ｎｉ ｇ ｉ 　 ｉ ｔ ｒ － ｔｏ Ｃａ　 　 ｎ — ｕ ，Ｓ ｎ Ｃｈ ｎｇ ｙ ． ｐ ｉ ｔｏ 　 ｆｔ ｅ Ｍ ｎ — ｏ ｕ ｉｎ Ｂａ ｅ 　 ｃ ｉ ｅ Ｌｅ ｒ ｎ 　ｎ Ｍ ｘ ｕ ｅ Ｒａ ｉ　 ｌ ｃｃｌｔ ｎ０　 ａ Ｍａｅｉ ｓＣ ｍｅｔ Ｃ ． ｎ Ｐｏ ｅｄｎ ｓｏ　ｈ　　 　 ｏｌ Ｃ ｎ ｒｓ　ｎ Ｉｔｌｇ ｎ　 ｏ ｔｏ　ｎ 　 ｔｍａｉｎ ｕａｉ 　ｆＲ ｗ　 ｔｒ １　 ｅ ｎ ［ ］ ｏ ａ 　Ｉ　 ｒｃｅ ｉｇ　ｆｔｅ３ｄＷ ｒ 　 ｏ ｇｅｓｏ　ｎ ｅ ｉｅｔＣ ｎｒｌ ｄＡｕｏ ｔ 　 ｒ ｄ ｌ ａ ｏ２ ０： ３ — ３ ． ００ １ ２ １ ４　薛 Ｍ］ 北 科 １ ９． Ｅ ３ 谢 和平 ， 秀 谦 ．分 形 应 用 中 的数 学 基 础 与 方 法 ［ ． 京 ： 学 出 版社 ，９７　 ５　 吴 Ｍ］ 北 科 ２０． 　 ［ ３ 李 水 根 ， 纪 桃 ．分 形 与小 波 Ｅ ． 京 ： 学 出 版 社 ，０ ２ －　 ６ 孙 Ｍ］ 国防 工 业 出 版 社 ， ０ ０ ２０． 　 Ｅ ３ 周 明 ， 树栋 ．遗 传 算 法 及 应 用 ［ ．北 京 ： ７　Ｒｅ ｅ ｒ ｈ ｏ 　 ｈｅ Ｃｏ ｖ ｒ ｅ ｃ 　 ｆ Ｍ ｉ ｄ Ｅｖ ｌ ｔｏ ａ ｙ Ａｌ ｏ ｉｈ ｓ ａ ｃ 　 ｎ ｔ 　 ｎ ｅ ｇ ｎ ｅ ｏ 　 ｎ 　 ｏ ｕ ｉ ｎ ｒ 　 ｇ ｒ ｔ ｍ　ＸＩ 　 － ｎ ，ＧＡＯ　 ｎ － ｕ ， Ｅ Ｊ ｎ Ｅ Ｋｅ ｍｉ ｇ Ｔｉ ｇ ｙ ＸＩ 　 ｕ 　 （ ｏｌ ｅ ｆ Ｉ ｆ ｒ ｔ ｎ Ｅ ｇ ｎｅ ｉ ｇ ｏ 　 Ｕ Ｃ ｌ ｇ 　 　ｎ ｏ ｍａｉ 　 ｎ ｉｅ ｒ 　 ｆ Ｔ Ｔ・Ｔ ｉ ｕ ｎ ０ ０ ２ ，Ｃ ｉ ａ　 ｅ ｏ ｏ ｎ ａｙ ａ 　３ ０ ４ ｈｎ ）Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｂ ｓ ｄ ｏ 　 ｈ 　 ｓ ｅ ｃ 　 ｆ ｔ ｅ ｎ ｔ ｒ ｌ ｇ ｎ ｔ 　 ｃ ａ ｉｍ ， ｍｉ ｄ ｅ ｏ ｕ ｉ ｎ ｒ 　 ｌ ｏ 　 ｓｒ ｃ ： ａ ｅ 　 ｎ ｔ ｅ ｅ ｓ ｎ ｅ ｏ 　 ｈ 　 ａ ｕ ａ　 ｅ ｅ ｉ ｍｅ ｈ ｎ ｓ ｃ ｎ 　 ｖ ｌ ｔ ａ ｙ ａｇ — ｏ ｒｔ ｍ　ｓｉ Ｄ ｏ ｅ ．Ｆｒ ｍ　 ｈ 　 ｓ ｅ ｔｏ 　 ｒ ｃ ａ ，ｔ ｅ ａ ｇ ｒｔ ｍ　 ｋ ｓ ｐ ｉ ｒ 　 ｈ ｏ ｙ ｓ ｕ ｙ ｂ 　ｎ 　 ｉ ｈ ｉ ｍ ｒｖ ｄ 　 ｏ ｔ ｅ ａ ｐ ｃ　 ｆｆ ａ ｔ ｌ ｈ 　 ｌ ｏ ｉｈ ｍａ ｅ 　 ｒｍａ ｙ ｔ ｅ ｒ 　 ｔ ｄ 　 ｙ ｉ —ｔ ｏ ｃｎｇ ｉ ｔ 　 　 ｅ ｆｓｍ ｉ ｒｔ 　 ａ ｔ ｒ ｔｓ ｗ ｓｔ 　 ｅ ｆｓｍ ｉａ ｉｙ ｔ ｔｉ 　 ｈｅ ｐ ｏｃ ｓ 　 ｆｓ ａ ｃ 　 ｏ ｒ ｄｕ ｉ 　 ｎ ｏ ａ ｓ ｌ— ｉ ｌ ｉｙ ｆ ｃ ｏ ．Ｉ　 ｈｏ 　 ｈｅ ｓ ｌ— ｉ ｌ ｒｔ 　ｈａ 　ｎ ｔ 　 ｒ ｅ ｓｏ 　 ｅ ｒ ｈ ｔ 　 ａｔ ｅ ｏ ｔ ｕ ｓ ｌ ｔ ｎ ｕ ｉ ｇ ｔ ｅ ｍ ｏ ｉｉｄ ａ ｇ ｒｔ ｍ． ｈ 　 Ｄ ｉ ｍ　 ｏ ｕ ｉ 　 ｓｎ 　 ｈ 　 ｄ ｆｅ 　 ｌ ｏ ｉ ｍ ｏ ｈ 　Ｏｎ ｔ ｅ ｂ ｓ ｓ ｏ 　 ｉｈ，ｔ ｅ ｃ ｎ ｅ ｇ ｎ ｅ ｏ 　 　 ｈ 　 ａ ｉ　 ｆ ｗｈ ｃ ｈ 　 ｏ ｖ ｒ ｅ ｃ　 ｆｔ 　 ｅ ｒ ｈ ｍｅ ｈａ ｉ ｍ　ｓ ｐ ｏｖ ｄ　Ｆｉ ｌｙ， ｔ 　 ｏ ｅ ｇｅ ｅ ｓ ｅ 　 ｆ ｓ ａ ｃ 　 ｓ ａ ｌ ｅ 　 ｎｄ ｍａ 　 ｈｅ ｓ ａ ｃ 　 ｃ ｎ ｓ ｉ　 ｒ ｅ ． ｎａ ｌ ｈｅ ｃ ｎｖ ｒ ｎｃ 　 ｐｅ ｄ ｏ 　 ｅ ｒ ｈ ｉ　 ｎａｙｚ ｄ ａ 　 ｄｅｎ ｎ ０ 　ｉ ｅ ｅ ｔ ａ ｉ ｎ ｂ 　 ｈ 　 ｉ ｌ ｒｔ 　 ａ ｔ ｒ Ｔｈ 　 ｂ ｖ 　 ｏ ｃ ｕ ｉ ｎ ｐ ｏ ｉ ｅ 　 　 ｅ ｗａ 　 ｆｔ ｅ ０ 一 ｎ ｌ 　 ｓ ｉ ｔｏ 　 ｙ ｔ ｅ ｓ ｍｉ ｉ ｆ ｃ ｏ ． ｎ ｍ ａ ｙ ｅ ａ ｏ ｅ ｃ ｎ ｌ ｓ ｏ 　 ｒ ｖ ｄ ｓ ａ ｎ ｗ　 ｙ ｏ 　 ｈ 　ｔ ｅ ｙ ｏｆｅ ｏｌ ｔｏ ｒ 　 ｌ ｏｒｔ ｍ ． ｈ ｏｒ 　 　 ｖ ｕ ｉ ｎａ ｙ ａ ｇ ｉｈ 　 Ｋｅ 　 ｏ ｄ Ｓ ｌ— ｉ ｉ ｒｔ ｖ Ｗ ｒ ｓ： ｅ ｆｓｍ ｌ ｉｙ；Ｍ ｉ 　 ｏ ｕ ｉ ｎａ ｙ Ａｌ ｏ ｉｈｍ ；Ｃｏｎｖ ｒ ｎ ｅ ａ ｎｄ Ｅｖ ｌ ｔｏ ｒ 　 ｇ ｒｔ ｅ ｇｅ ｃ 　（ 编辑 ： 笑达 ） 刘