物理学教程(第二版)答案12-13单元

第十二章 电磁感应 电磁场和电磁波 12－1 一根无限长平行直导线载有电流I ，一矩形线圈位于导线平面内沿垂直于载流导线方向以恒定速率运动（如图所示），则（ ）

（A ） 线圈中无感应电流

（B ） 线圈中感应电流为顺时针方向

（C ） 线圈中感应电流为逆时针方向

（D ） 线圈中感应电流方向无法确定

题 12-1 图

分析与解 由右手定则可以判断，在矩形线圈附近磁场垂直纸面朝里，磁场是非均匀场，距离长直载流导线越远，磁场越弱．因而当矩形线圈朝下运动时，在线圈中产生感应电流，感应电流方向由法拉第电磁感应定律可以判定．因而正确答案为（B ）．

12－2 将形状完全相同的铜环和木环静止放置在交变磁场中，并假设通过两环面的磁通量随时间的变化率相等，不计自感时则（ ）

（A ） 铜环中有感应电流，木环中无感应电流

（B ） 铜环中有感应电流，木环中有感应电流

（C ） 铜环中感应电动势大，木环中感应电动势小

（D ） 铜环中感应电动势小，木环中感应电动势大

分析与解 根据法拉第电磁感应定律，铜环、木环中的感应电场大小相等， 但在木环中不会形成电流．因而正确答案为（A ）．

12－3 有两个线圈，线圈1对线圈2 的互感系数为M 21 ，而线圈2 对线圈1的互感系数为M 12 ．若它们分别流过i 1 和i 2 的变化电流且d i 1d i 2，并 d t d t

设由i 2变化在线圈1 中产生的互感电动势为12 ，由i 1 变化在线圈2 中产生的互感电动势为ε21 ，下述论断正确的是（ ）．

（A ）M 12=M 21 ，ε21=ε12

（B ）M 12≠M 21 ，ε21≠ε12

（C ）M 12=M 21， ε21

（D ）M 12=M 21 ，ε21

分析与解 教材中已经证明M21 ＝M12 ，电磁感应定律ε21=M 21 d i 1；d t ε12=M 12d i 2．因而正确答案为（D ）． d t

12－4 对位移电流，下述说法正确的是（ ）

（A ） 位移电流的实质是变化的电场

（B ） 位移电流和传导电流一样是定向运动的电荷

（C ） 位移电流服从传导电流遵循的所有定律

（D ） 位移电流的磁效应不服从安培环路定理

分析与解 位移电流的实质是变化的电场．变化的电场激发磁场，在这一点位移电流等效于传导电流，但是位移电流不是走向运动的电荷，也就不服从焦耳热效应、安培力等定律．因而正确答案为（A ）．

12－5 下列概念正确的是（ ）

（A ） 感应电场是保守场

（B ） 感应电场的电场线是一组闭合曲线

（C ） Φm =LI ，因而线圈的自感系数与回路的电流成反比

（D ） Φm =LI ，回路的磁通量越大，回路的自感系数也一定大

分析与解 对照感应电场的性质，感应电场的电场线是一组闭合曲线．因而 正确答案为（B ）．

12－6 一铁心上绕有线圈100匝，已知铁心中磁通量与时间的关系为Φ=8. 0⨯105sin 100πt ，式中Φ的单位为Wb ，t 的单位为s ，求在t =1. 0⨯10-2s 时，线圈中的感应电动势．

分析 由于线圈有N 匝相同回路，线圈中的感应电动势等于各匝回路的感应电动势的代数和，在此情况下，法拉第电磁感应定律通常写成

ξ=-N d Φd ψ=-，其中ψ=N Φ称为磁链． d t d t

解 线圈中总的感应电动势

ξ=-N d Φ=(2. 51)cos 100πt (V ) d t

d I 的变化率增长. 若有一边长为d 的正方d t

d Φ，来求解. 由于回路d t 当t =1. 0⨯10-2s 时，ξ=2. 51V ． 12－7 载流长直导线中的电流以形线圈与导线处于同一平面内，如图所示. 求线圈中的感应电动势. 分析 本题仍可用法拉第电磁感应定律ξ

处在非均匀磁场中，磁通量就需用Φ==-⎰B ⋅d S 来计算.

S

为了积分的需要，建立如图所示的坐标系. 由于B 仅与x 有关，即B =B (x ) ，故取一个平行于长直导线的宽为d x 、长为d 的面元d S ，如图中阴影部分所示，则d S =d d x ，所以，总磁通量可通过线积分求得（若取面元d S =dx d y ，则上述积分实际上为二重积分）. 本题在工程技术中又称为互感现象，也可用公式 ξ=-M d I 求解. d t

解1 穿过面元d S 的磁通量为

d Φ=B ⋅d S =

因此穿过线圈的磁通量为

2d μ0I 2πx d d x

Φ=⎰d Φ=

再由法拉第电磁感应定律，有 ⎰d μ0Id 2πx d x =μ0Id 2π2

ξ=-μd 1d I d Φ=0ln d t 2π2d t

解2 当两长直导线有电流I 通过时，穿过线圈的磁通量为

Φ=

线圈与两长直导线间的互感为 μ0dI 2πln 2

M =

当电流以Φμ0d =ln 2 I 2πd I 变化时，线圈中的互感电动势为 d t

ξ=

-M μd 1d I d I =0ln d t 2π2d t

题 12-7 图

12－8 有一测量磁感强度的线圈，其截面积S ＝4.0 cm 2 、匝数N ＝160 匝、电阻R ＝50Ω．线圈与一内阻R i ＝30Ω的冲击电流计相连．若开始时，线圈的平面与均匀磁场的磁感强度B 相垂直，然后线圈的平面很快地转到与B 的方向平行．此时从冲击电流计中测得电荷值q =4.0⨯10C ．问此均匀磁场的磁感强度B 的值为多少？

分析 在电磁感应现象中，闭合回路中的感应电动势和感应电流与磁通量变化的快慢有关，而在一段时间内，通过导体截面的感应电量只与磁通量变化的大小有关，与磁通量变化的快慢无关．工程中常通过感应电量的测定来确定磁场的强弱．

解 在线圈转过90°角时，通过线圈平面磁通量的变化量为 -5

ΔΦ=Φ2-Φ1=NBS -0=NBS

因此，流过导体截面的电量为q =ΔΦNBS =R +R i R +R i

q (R +R i )=0. 050T NS 则 B =

12－9 如图所示，一长直导线中通有I ＝5.0 A 的电流，在距导线9.0 cm 处，放一面积为0.10 cm 2 ，10匝的小圆线圈，线圈中的磁场可看作是均匀的．今在1.0 ×10 s 内把此线圈移至距长直导线10.0 cm 处．求：（1） 线圈中平均感应电动势；（2） 设线圈的电阻为1.0×102Ω，求通过线圈－－2

横截面的感应电荷．

题 12-9 图

分析 虽然线圈处于非均匀磁场中，但由于线圈的面积很小，可近似认为穿过线圈平面的磁场是均匀的，因而可近似用ψ=NBS 来计算线圈在始、末两个位置的磁链．

解 （1） 在始、末状态，通过线圈的磁链分别为

ψ1=NB 1S =N μ0IS N μ0IS , ψ2=NB 2S = 2πr 22πr 1

则线圈中的平均感应电动势为

=N μ0IS ⎛11⎫Δψ-8 ⎪=-=1. 11⨯10V ⎪Δt 2πΔt ⎝r 1r 2⎭

电动势的指向为顺时针方向．

（2） 通过线圈导线横截面的感应电荷为

ξ1q =1-ψ2=∆t =1. 1⨯10-8C R R

12－10 如图（ａ）所示，把一半径为R 的半圆形导线OP 置于磁感强度为B 的均匀磁场中，当导线以速率v 水平向右平动时，求导线中感应电动势E 的大小，哪一端电势较高？

题 12-10 图

分析 本题及后面几题中的电动势均为动生电动势，除仍可由E =-解外（必须设法构造一个闭合回路），还可直接用公式E =

解．

在用后一种方法求解时，应注意导体上任一导线元ｄl 上的动生电动势d Φ求d t ⎰(v ⨯B )⋅d l 求l d E =(v ⨯B )⋅d l . 在一般情况下，上述各量可能是ｄl 所在位置的函数．矢量（v ×B ）的方向就是导线中电势升高的方向．

解1 如图（ｂ）所示，假想半圆形导线O P 在宽为2R 的静止形导轨上滑动，两者之间形成一个闭合回路．设顺时针方向为回路正向，任一时刻端点O 或

端点P 距 形导轨左侧距离为x ，则

1⎛⎫Φ= 2Rx +πR 2⎪B 2⎝⎭

即

E =-d Φd x =-2RB =-2R v B d t d t

由于静止的 形导轨上的电动势为零，则E ＝－2R v B ．式中负号表示电动势的方向为逆时针，对OP 段来说端点P 的电势较高．

解2 建立如图（c ）所示的坐标系，在导体上任意处取导体元ｄl ，则

d E =(v ⨯B )⋅d l =v B sin 90o cos θd l =v B cos θR d θ

E =⎰d E =v BR ⎰cos θd θ=2R v B -π/2π/2

由矢量（v ×B ）的指向可知，端点P 的电势较高．

解3 连接OP 使导线构成一个闭合回路．由于磁场是均匀的，在任意时刻，穿过回路的磁通量Φ=BS =常数. 由法拉第电磁感应定律E =-

可知，E ＝0

又因 E ＝E OP ＋E PO

即 E OP ＝－E PO ＝2R v B

由上述结果可知，在均匀磁场中，任意闭合导体回路平动所产生的动生电动势为零；而任意曲线形导体上的动生电动势就等于其两端所连直线形导体上的动生电动势．上述求解方法是叠加思想的逆运用，即补偿的方法． 12－11 长为L 的铜棒，以距端点r 处为支点，以角速率ω绕通过支点且垂直于铜棒的轴转动. 设磁感强度为B 的均匀磁场与轴平行，求棒两端的电势差．

d Φd t

题 12-11 图

分析 应该注意棒两端的电势差与棒上的动生电动势是两个不同的概念，如同电源的端电压与电源电动势的不同．在开路时，两者大小相等，方向相反（电动势的方向是电势升高的方向，而电势差的正方向是电势降落的方

向）．本题可直接用积分法求解棒上的电动势，亦可以将整个棒的电动势看作是O A 棒与O B 棒上电动势的代数和，如图（ｂ）所示．而E O A 和E O B 则可以直接利用第12－2 节例1 给出的结果．

解1 如图（ａ）所示，在棒上距点O 为l 处取导体元ｄl ，则

E AB =⎰(v ⨯B )⋅d l =⎰-r AB L-r 1-ωlB d l =-ωlB (L -2r ) 2

因此棒两端的电势差为

1U AB =E AB =-ωlB (L -2r ) 2

当L ＞2r 时，端点A 处的电势较高

解2 将AB 棒上的电动势看作是O A 棒和O B 棒上电动势的代数和，如图（ｂ）所示．其中

E OA =则 112B ωr 2, E OB =ωB (L -r ) 22

1E AB =E OA -E OB =-ωBL (L -2r ) 2

12－12 如图所示，长为L 的导体棒OP ，处于均匀磁场中，并绕OO ′轴以角速度ω旋转，棒与转轴间夹角恒为θ，磁感强度B 与转轴平行．求OP 棒在图示位置处的电动势．

题 12-12 图

分析 如前所述，本题既可以用法拉第电磁感应定律E =-d Φ 计算（此d t

时必须构造一个包含OP 导体在内的闭合回路， 如直角三角形导体回路OPQO ），也可用E =⎰(v ⨯B )⋅d l 来计算．由于对称性，导体OP 旋转至l

任何位置时产生的电动势与图示位置是相同的．

解1 由上分析，得

E OP =⎰

=

OP (v ⨯B )⋅d l =⎰v B sin 90o cos αd l l o ()(l sin θωB cos 90-θ)d l ⎰l L 12=ωB sin 2θ⎰0l d l =ωB (L sin θ) 2

由矢量v ⨯B 的方向可知端点P 的电势较高．

解2 设想导体OP 为直角三角形导体回路OPQO 中的一部分，任一时刻穿过回路的磁通量Φ为零，则回路的总电动势

E =-

显然，E QO ＝0，所以 d Φ=0=E OP +E PQ +E QO d t

E OP =-E PQ =E QO =112ωB (PQ )=ωB (L sin θ) 2 22

由上可知，导体棒OP 旋转时，在单位时间内切割的磁感线数与导体棒QP 等效．

12－13 如图（ａ）所示，金属杆AB 以匀速v =2.0m ⋅s 平行于一长直导线移动，此导线通有电流I ＝40 A ．求杆中的感应电动势，杆的哪一端电势较高？

-1

题 12-13 图

分析 本题可用两种方法求解．

方法1：用公式E =⎰(v ⨯B )⋅d l 求解，建立图（a ）所示的坐标系，所l

取导体元d l =d x ，该处的磁感强度B =μ0I ． 2πx

方法2：用法拉第电磁感应定律求解，需构造一个包含杆AB 在内的闭合回路．为此可设想杆AB 在一个静止的导轨上滑动，如图（ｂ）所示．设时刻t ，杆AB 距导轨下端CD 的距离为y ，先用公式Φ=B ⋅d S 求得穿过该回路S ⎰

的磁通量，再代入公式E =-

的电动势． d Φ，即可求得回路的电动势，亦即本题杆中d t

解1 根据分析，杆中的感应电动势为

E AB =⎰(v ⨯B )⋅d l =d xl =-⎰0. 1m AB 1. 1m μ0μI v v d x =-0ln 11=-3. 84⨯10-5V 2πx 2π

式中负号表示电动势方向由B 指向A ，故点A 电势较高．

解2 设顺时针方向为回路AB CD 的正向，根据分析，在距直导线x 处，取宽为ｄx 、长为y 的面元ｄS ，则穿过面元的磁通量为

d Φ=B ⋅d S =

穿过回路的磁通量为 μ0I y d x 2πx

Φ=⎰d Φ=⎰S μ0I μIy y d x =-0ln 11 0. 1m 2πx 2π1. 1m

回路的电动势为

E =-d ΦμI d y μIy =-0ln 11=-0=-3. 84⨯10-5V d t 2πx d t 2π

由于静止的导轨上电动势为零，所以

E AB =E =-3. 84⨯10-5V

式中负号说明回路电动势方向为逆时针，对AB 导体来说，电动势方向应由B 指向A ，故点A 电势较高．

12－14 如图（ａ）所示，在“无限长”直载流导线的近旁，放置一个矩形导体线框，该线框在垂直于导线方向上以匀速率v 向右移动，求在图示位置处，线框中感应电动势的大小和方向．

题 12 -14 图

分析 本题亦可用两种方法求解．其中应注意下列两点：

（1）当闭合导体线框在磁场中运动时，线框中的总电动势就等于框上各段导体中的动生电动势的代数和．如图（ａ）所示，导体eh 段和fg 段上的电动势为零［此两段导体上处处满足(v ⨯B )⋅d l =0］，因而线框中的总电动势为

E =⎰(v ⨯B )⋅d l +⎰(v ⨯B )⋅d l =⎰(v ⨯B )⋅d l -⎰(v ⨯B )⋅d l =E ef -E hg ef gh ef hg

其等效电路如图（ｂ）所示．

（2）用公式E =-d Φ求解，式中Φ是线框运动至任意位置处时，穿过d t

d ξ=v ．在求得线框在任意位置处的电动d t 线框的磁通量．为此设时刻t 时，线框左边距导线的距离为ξ，如图（c ）所示，显然ξ是时间t 的函数，且有

势E （ξ）后，再令ξ＝d ，即可得线框在题目所给位置处的电动势．

解1 根据分析，线框中的电动势为

E =E ef -E hg

=⎰(v ⨯B )⋅d l -⎰(v ⨯B )⋅d l ef hg

l 2μ0I v l 2μ0I v =d l -d l 2πd ⎰02πd +l 1⎰0

=2πd d +l 1μ0I vl 1l 2

由E ef ＞E hg 可知，线框中的电动势方向为efgh ．

解2 设顺时针方向为线框回路的正向．根据分析，在任意位置处，穿

过线框的磁通量为

Φ=⎰0

相应电动势为 l 12πx +ξμ0Il 2x =μ0Il 22πln ξ+l 1 ξ

E (ξ)=-d ΦμI v l l =021 d t 2πξξ+l 1μ0I v l 2l 1 2πd d +l 1令ξ＝d ，得线框在图示位置处的电动势为 E =

由E ＞0 可知，线框中电动势方向为顺时针方向．

12－15 在半径为R 的圆柱形空间中存在着均匀磁场，B 的方向与柱的轴线平行．如图（ａ）所示，有一长为l 的金属棒放在磁场中，设B 随时间的变化率d B 为常量．试证：棒上感应电动势的大小为 d t

d B l ⎛l ⎫ξ

=R 2- ⎪ d t 2⎝2⎭2

题 12-15 图

分析 变化磁场在其周围激发感生电场，把导体置于感生电场中，导体中的自由电子就会在电场力的作用下移动，在棒内两端形成正负电荷的积累，从而产生感生电动势．由于本题的感生电场分布与上题所述情况完全相同，故可利用上题结果，由ξ=⎰l E k ⋅d l 计算棒上感生电动势．此外，还可

连接OP 、OQ ，设想PQOP 构成一个闭合导体回路，用法拉第电磁感应定律求解，由于OP 、OQ 沿半径方向，与通过该处的感生电场强度E k 处处垂直，故E k ⋅d l =0，OP 、OQ 两段均无电动势，这样，由法拉第电磁感应定律求出的闭合回路的总电动势，就是导体棒PQ 上的电动势．

证1 由电磁感应定律，在r ＜R 区域，

ξ=E k ⋅d l =-d B ⋅d S ⎰d t

d B d t 2πr ⋅E k =-πr 2

解得该区域内感生电场强度的大小

E k =r d B 2d t

设PQ 上线元ｄx 处，E k 的方向如图（b ）所示，则金属杆PQ 上的电动势为 ξPQ =E k ⋅d x =⎰E k cos θd x

r d B R 2-l /2=⎰d x 2d t r 0

d B l 2=R 2-l /2d t 2l 2

证2 由法拉第电磁感应定律，有

E PQ d Φd B d B l ⎛l ⎫=E Δ=-=S =R 2- ⎪ d t d t d t 2⎝2⎭

讨论 假如金属棒PQ 有一段在圆外，则圆外一段导体上有无电动2势？ 该如何求解？

12－16 截面积为长方形的环形均匀密绕螺绕环，其尺寸如图（ａ）所示，共有N 匝（图中仅画出少量几匝），求该螺绕环的自感L ．

题 12-16 图

分析 如同电容一样，自感和互感都是与回路系统自身性质（如形状、匝数、介质等）有关的量．求自感L 的方法有两种：1．设有电流I 通过线圈，计算磁场穿过自身回路的总磁通量，再用公式L =Φ计算L ．2．让回I

路中通以变化率已知的电流，测出回路中的感应电动势E L ，由公式L =d I E L 计算L ．式中E L 和都较容易通过实验测定，所以此方法一般d t d I /d t

适合于工程中．此外，还可通过计算能量的方法求解．

解 用方法1 求解，设有电流I 通过线圈，线圈回路呈长方形，如图（ｂ）所示，由安培环路定理可求得在R 1 ＜r ＜R 2 范围内的磁场分布为

B =μ0NI 2πx

由于线圈由N 匝相同的回路构成，所以穿过自身回路的磁链为

ψ=N ⎰B ⋅d S =N ⎰S R 2R 1μ0NI μ0N 2hI R 2d x =ln 2πx 2πR 1

则

ψμ0N 2h R 2L =ln I 2πR 1

若管中充满均匀同种磁介质，其相对磁导率为μr ，则自感将增大μr 倍． 12－17 如图所示，螺线管的管心是两个套在一起的同轴圆柱体，其截面积分别为S 1 和S 2 ，磁导率分别为μ1 和μ2 ，管长为l ，匝数为N ，求螺线管的自感．（设管的截面很小）

题 12-17 图

分析 本题求解时应注意磁介质的存在对磁场的影响．在无介质时，通电螺线管内的磁场是均匀的，磁感强度为B 0 ，由于磁介质的存在，在不同磁介质中磁感强度分别为μ1 B0 和μ2 B0 ．通过线圈横截面的总磁通量是截面积分别为S 1 和S 2 的两部分磁通量之和．由自感的定义可解得结果．

解 设有电流I 通过螺线管，则管中两介质中磁感强度分别为

B 1=μ1nl =μ1

通过N 匝回路的磁链为 N N I , B 2=μ2nl =μ2I L L

Ψ=Ψ1+Ψ2=NB 1S 1+NB 2S 2

则自感

ψN 2

L =L 1+L 2==μ1S 1+μ2S 2 I l

12－18 有两根半径均为a 的平行长直导线，它们中心距离为d ．试求长为l 的一对导线的自感（导线内部的磁通量可略去不计）．

题 12-18 图

分析 两平行长直导线可以看成无限长但宽为d 的矩形回路的一部

分．设在矩形回路中通有逆时针方向电流I ，然后计算图中阴影部分（宽为d 、长为l ）的磁通量．该区域内磁场可以看成两无限长直载流导线分别在该区域产生的磁场的叠加．

解 在如图所示的坐标中，当两导线中通有图示的电流I 时，两平行导线间的磁感强度为

B =

穿过图中阴影部分的磁通量为 μ0I μ0I + 2πr 2πd -r d -a Φ=⎰B ⋅d S =⎰S a Bl d r =μ0l d -a ln πa

则长为l 的一对导线的自感为

L =Φμ0l d -a =ln I πa

如导线内部磁通量不能忽略，则一对导线的自感为L =L 1+2L 2．L 1 称为外自感，即本题已求出的L ，L 2 称为一根导线的内自感．长为l 的导线的内自感L 2=μ0l ，有兴趣的读者可自行求解． 8π

12－19 如图所示，在一柱形纸筒上绕有两组相同线圈AB 和A ′B ′，每个线圈的自感均为L ，求：（1） A 和A ′相接时，B 和B ′间的自感L 1 ；（2） A′和B 相接时，A 和B ′间的自感L 2 ．

题 12-19 图

分析 无论线圈AB 和A ′B ′作哪种方式连接，均可看成一个大线圈回路的两个部分，故仍可从自感系数的定义出发求解．求解过程中可利用磁通量叠加的方法，如每一组载流线圈单独存在时穿过自身回路的磁通量为Φ，则穿

过两线圈回路的磁通量为2Φ；而当两组线圈按（1）或（2）方式连接后，则穿过大线圈回路的总磁通量为2Φ±2Φ，“ ±”取决于电流在两组线圈中的流向是相同或是相反．

解 （1） 当A 和A ′连接时，AB 和A ′B ′线圈中电流流向相反，通过回路的磁通量亦相反，故总通量为

Φ1=2Φ-2Φ=0，

故L 1 ＝0．

（2） 当A ′和B 连接时，AB 和A ′B ′线圈中电流流向相同，通过回路的磁通量亦相同，故总通量为

Φ2=2Φ+2Φ=4Φ， 故L 2=Φ2Φ=4=4L ． I I

本题结果在工程实际中有实用意义，如按题（1）方式连接，则可构造出一个无自感的线圈．

12－20 如图所示，一面积为4.0 cm 2 共50 匝的小圆形线圈A ，放在半径为20 cm 共100 匝的大圆形线圈B 的正中央，此两线圈同心且同平面．设线圈A 内各点的磁感强度可看作是相同的．求：（1） 两线圈的互感；（2） 当线圈B 中电流的变化率为－50 A·ｓ 时，线圈A 中感应电动势的大小和方向．

－1

题 12-20 图

分析 设回路Ⅰ中通有电流I 1 ，穿过回路Ⅱ的磁通量为Φ21 ，则互感M ＝M 21 ＝Φ21/I 1 ；也可设回路Ⅱ通有电流I 2 ，穿过回路Ⅰ的磁通量为Φ12 ，

则M =M 12=Φ12 ． I 2

虽然两种途径所得结果相同，但在很多情况下，不同途径所涉及的计算难易程度会有很大的不同．以本题为例，如设线圈B 中有电流I 通过，则在线圈A 中心处的磁感强度很易求得，由于线圈A 很小，其所在处的磁场可视为均匀的，因而穿过线圈A 的磁通量Φ≈BS．反之，如设线圈A 通有电流I ，其周围的磁场分布是变化的，且难以计算，因而穿过线圈B 的磁通量也就很难求得，由此可见，计算互感一定要善于选择方便的途径．

解 （1） 设线圈B 有电流I 通过，它在圆心处产生的磁感强度B 0=N B μ0I , 穿过小线圈A 的磁链近似为 2R

ψA =N A B 0S A =N A N B μ0I S A 2R

则两线圈的互感为

M =ψA μS =N A N B 0A =6. 28⨯10-6H I 2R

d I =3. 14⨯10-4V d t （2）线圈A 中感应电动势的大小为 E A =-M

互感电动势的方向和线圈B 中的电流方向相同．

12－21 如图所示，两同轴单匝线圈A 、C 的半径分别为R 和r ，两线圈相距为d ．若r 很小，可认为线圈A 在线圈C 处所产生的磁场是均匀的．求两线圈的互感．若线圈C 的匝数为N 匝，则互感又为多少？

题 12-21 图

解 设线圈A 中有电流I 通过，它在线圈C 所包围的平面内各点产生的磁 感强度近似为

B =

穿过线圈C 的磁通为 2R +d μ0IR 2223/2

ψ=BS C =

则两线圈的互感为 2R 2+d 2μ0IR 22 πr 3/2

ψμ0πr 2R 2

M ==I 2R 2+d 2若线圈C 的匝数为N 匝，则互感为上述值的N 倍．

12－22 如图所示，螺绕环A 中充满了铁磁质，管的截面积S 为2.0 cm 2 ，沿环每厘米绕有100 匝线圈，通有电流I 1 ＝4.0 ×10 A ，在环上再绕一线圈C ，共10 匝，其电阻为0.10 Ω，今将开关Ｓ 突然开启，测得线圈C 中的感应电荷为2.0 ×10 －3－2 C ．求：当螺绕环中通有电流I 1 时，铁磁质中的B 和铁磁质的相对磁导率μr ．

题 12-22 图

分析 本题与题12-8 相似，均是利用冲击电流计测量电磁感应现象中通过回路的电荷的方法来计算磁场的磁感强度．线圈C 的磁通变化是与环形螺线管中的电流变化相联系的．

解 当螺绕环中通以电流I 1 时，在环内产生的磁感强度

B =μ0μr n 1I 1

则通过线圈C 的磁链为

ψc =N 2BS =N 2μ0μr n 1I 1S

设断开电源过程中，通过C 的感应电荷为q C ，则有

qc =-

由此得 11N μμn I S Δψc =-(0-ψc )=20r 11 R R R

Rq C B =μ0μr n 1I 1==0. 10T N 2S

相对磁导率

μr =Rq C =199 N 2S μ0n 1I 1

12－23 一个直径为0.01 m ，长为0.10 m 的长直密绕螺线管，共1 000 匝线圈，总电阻为7.76 Ω．求：（1） 如把线圈接到电动势E ＝2.0 V 的电池上，电流稳定后，线圈中所储存的磁能有多少？ 磁能密度是多少？*（2） 从接通电路时算起，要使线圈储存磁能为最大储存磁能的一半，需经过多少时间？

分析 单一载流回路所具有的磁能，通常可用两种方法计算：

方法 1： 如回路自感为L （已知或很容易求得），则该回路通有电流I 时所储存的磁能W m =12LI ，通常称为自感磁能． 2

方法 2： 由于载流回路可在空间激发磁场，磁能实际是储存于磁场之中，因而载流回路所具有的能量又可看作磁场能量，即W m =⎰V w m d V ，式

B 2

中w m 为磁场能量密度，积分遍及磁场存在的空间．由于w m =，因而采2μ用这种方法时应首先求载流回路在空间产生的磁感强度B 的分布．

上述两种方法还为我们提供了计算自感的另一种途径，即运用

12

LI =⎰w m d V 求解L ．

V 2

解 （1） 密绕长直螺线管在忽略端部效应时，其自感L =电流稳定后，线圈中电流I =

μ0N 2S

l

，

E

，则线圈中所储存的磁能为 R

12μ0N 2SE 2-5

W m =LI ==3. 28⨯10J 2

22lR

在忽略端部效应时，该电流回路所产生的磁场可近似认为仅存在于螺线管中，并为均匀磁场，故磁能密度w m 处处相等，w m =

W m

=4. 17J ⋅m -3 SL

（2） 自感为L ，电阻为R 的线圈接到电动势为E 的电源上，其电流变

R -t ⎫E ⎛E L

1-e I =⎪化规律I = ，当电流稳定后，其最大值 m ⎪R R ⎝⎭

-t ⎫E ⎛2E 121⎡12⎤L

1-e ⎪按题意LI =⎢LI m ⎥，则I =，将其代入I = ⎪2R 22⎣2R ⎝⎦⎭

R

中，得

t =-

L ⎡2⎤L -4

ln ⎢1-⎥=ln 2+2=1. 56⨯10s R ⎣2⎦R

()

12－24 未来可能会利用超导线圈中持续大电流建立的磁场来储存能量．要储存1 kW·h 的能量，利用1. 0Ｔ的磁场，需要多大体积的磁场？ 若利用线圈中500 A 的电流储存上述能量，则该线圈的自感系数应该多大？

解 由磁感强度与磁场能量间的关系可得

V =

所需线圈的自感系数为

W m

=9. 0m 3 2

B /2μ0

2W m

=29H I 2

L =

12－25 中子星表面的磁场估计为108Ｔ，该处的磁能密度有多大？

B 2

解 由磁场能量密度 w m ==3. 98⨯1021J /m 3

2μ0

12－26 在真空中，若一均匀电场中的电场能量密度与一 0.50Ｔ 的均匀磁场中的磁场能量密度相等，该电场的电场强度为多少？

11B 2B 222

解 w e =ε0E , w m =, 按题意，当w e =w m ε0E =则

222μ02μ0

E =

B

=1. 51⨯108V ⋅m -1 ε0μ0

12－27 设有半径R ＝0.20 m 的圆形平行板电容器，两板之间为真空，板间距离d ＝0. 50 cm ，以恒定电流I ＝2.0 A 对电容器充电．求位移电流密度（忽略平板电容器的边缘效应，设电场是均匀的）．

分析 尽管变化电场与传导电流二者形成的机理不同，但都能在空间激发磁场．从这个意义来说，变化电场可视为一种“广义电流”，即位移电流．在本题中，导线内存在着传导电流I c ，而在平行板电容器间存在着位移电流I d ，它们使电路中的电流连续，即I d =I c ．

解 忽略电容器的边缘效应，电容器内电场的空间分布是均匀的，因此板间位移电流I d =

⎰

S

j d ⋅d S =j d πR 2，由此得位移电流密度的大小

j d =

I d I c -2

==15. 9A ⋅m 22

πR πR

第五篇 光学

求解光学问题的基本思路和方法

光学的题分为几何光学和波动光学两部分. 教材中几何光学主要是集中介绍几种光学仪器的基本原理. 因此求解相关习题时只要掌握了书本中介绍的每种光学仪器的成像原理就可以求解. 下面介绍波动光学求解习题的基本思路和方法.

1. 相位分析法和光程差计算

波动光学主要内容就是光的干涉和光的衍射，而相位分析法和光程差的计算是求解这类 问题的关键. 光的干涉中，两束光在相遇区出现明、暗条纹，实际上就是两束振幅相同的相干光波因干涉使合成振动振幅出现极大和相消的问题．因此只要求出两束光在相遇点的相位差即可．所以对杨氏双缝、牛顿环、劈尖、薄膜和迈克尔逊干涉仪等干涉，其核心问题就是找出两束相干光的相位差∆ϕ．有了∆ϕ则结果为

⎧2k π (明条纹)

Δϕ=⎨

⎩(2k +1)π (暗条纹)

考虑到两束相干光的初相位差为零，则可有Δϕ波长．那么上式也可表达为

=

2π

λ

δ．δ是光程差，λ是光在真空中的

⎧k λ (明条纹)⎪

δ=⎨λ

(2k +1) (暗条纹)⎪⎩2

因此当你掌握了相位差（或光程差）的计算，光的干涉问题就基本解决了，对于不同问题只是等式左边形式的不同而已．例如薄膜干涉，δ=2ne +λ/2或δ=2ne （要仔细考虑半波损失情况，决定是否加λ/2项）．如果你理解了这一点，能帮助你提高解题能力．而对于光的衍射，其本质仍是光波的干涉，不论是多缝的光栅衍射，还是单缝衍射，在讨论其明暗衍射条纹时，仍然是从相位差分析出发．

对光栅衍射，当光栅常数为b +b '时，对应不同的衍射角θ，任意相邻两缝到屏上某点的光程差为δ

=(b +b ')sin θ=k λ时出现明条纹（即两束相干光在该点相遇时相位差为

2π）．而对单缝衍射，要注意的是明暗条纹公式为

δ=a sin θ=⎨

⎧k λ (暗条纹)

⎩(2k +1)λ/2 (明条纹)

但这也可由相位差分析得到．如图，对应屏上P 点，将单缝波阵面AB 分成AA 1、A 1A 2、

A 2B 等段，使A 、A 1、A 2、B 这些相邻点的光到达P 点的相位差为π（对应的光程差为λ/2，即图中BB 1=B 1B 2=B 2C =λ/2）．由于在相邻的AA 1和A 1A 2段波阵面上均能找到相位差为π的一一对应点，从而使它们在P 点干涉相消．这样当AB 被分成偶数段这样的波阵面时（对应BC =a sin =(2k +1)λ/2），屏上P 点出现暗条纹，而当AB 被分成奇

数段这样的波阵面时（对应BC =a sin φ=(2k +1)λ/2），将有一段不会被抵消，而使屏上出现明条纹．

2．近似计算的应用 在双缝干涉、光栅衍射和单缝衍射中都有计算屏上明暗条纹位置的问题，或者由已知屏上条纹位置等求入射光波长

λ

的问题. 在这类问题中，我们经常用到近似计算

sin θ≈tan θ=

x k

, 这里x k 是第k 级条纹到屏上中心位置的距离. D 是双缝、光栅或单缝到D

x k

=k λ. 据此可以由已知入D

屏的距离. 例如：双缝干涉中，由d sin θ=k λ作近似计算得d

射光波长λ求条纹位置x k ，也可由已知条纹位置求入射光波长λ. 但是在这些近似计算中一定要注意度的掌握. 如果θ角较小时可以这样近似，而如果θ较大时，这种近似就有较大误差，要注意应用条件.

3．光的偏振中要注意的问题

在光的偏振中，在利用马吕斯定律计算光强的问题中，要注意的一点是：如果是自然光通过偏振片，透过的光成为线偏振光，其光强变为原光强的算. 马吕斯定律计算的是线偏振光透过偏振片后的光强. 在公式I

1

，而不能用马吕斯定律计2

=I 0cos 2α中，α是偏振

光的偏振化方向和所透过的偏振片的偏振化方向的夹角. 当光透过偏振片后，偏振光的偏振化方向就变成和该偏振片偏振化方向一致了. 理解了这些就可以比较方便地求解这类问题了.

第十三章 几何光学简介

13-1 如图所示，一储油圆桶，底面直径与桶高均为d . 当桶内无油时，从某点A 恰能看到桶底边缘上的某点B . 当桶内油的深度等于桶高一半时，在A 点沿AB 方向看去，看到桶底上的C 点，C 、B 相距

d

. 由此可得油的折射率以及光在油中传播的速度为（） 4

(A)

2

, 6⨯107m ⋅s -1 , 6⨯107m ⋅s -1 (B) 22

, 1. 5⨯108m ⋅s -1 (D) , 1. 5⨯108m ⋅s -1 2(C)

分析与解 如图所示，C 点发出的光线经O 点折射后射向A 点，则由折射定律 ，可知油的折射率n sin i =n 0sin r （n 为油的折射率，n 0为空气的折射率）

sin r sin 45 c

n ===. 光在折射率为n 的介质中速度v =，因而可进一步求得

sin i CD /OC 2n

c 3⨯108

光在油中传播的速度v ==m ⋅s -1=6⨯107m ⋅s -1. 故选（B ）

.

n /2

题 13-1 图

13-2 在水中的鱼看来，水面上和岸上的所有景物，都出现在一倒立圆锥里，其顶角为（ ）

（A ）48.8 （B ）41.2 （C ）97.6 （D ）82.4

分析与解 本题是一个全反射的应用题. 根据水的折射率，光线从空气射入水中时反射光的临界角i c

=arcsin

1

≈48. 8 , 其中n =1.33为水的折射率. 如图所示，当光线以90 的最n

大入射角射入水中时，折射角为r ，故所有射入水中的光线的折射角均小于r ，根据空间旋转对称，水面上所有的景物都落在顶角为2r =2i c

=97. 6 的锥面内. 故选（C ）.

题 13-2 图

13-3 一远视眼的近点在1 m 处，要看清楚眼前10 cm处的物体，应佩戴怎样的眼镜（） （A ） 焦距为10 cm的凸透镜 （B ） 焦距为10 cm的凹透镜 （C ） 焦距为11 cm的凸透镜 （D ） 焦距为11 cm的凹透镜 分析与解 根据薄透镜的成像公式

111

可由物距p 和像距p '计算透镜的像-=，

p 'p f '

方焦距

f '. 根据题意，物距p =-0.1 m ，像距p '=-1 m ，则代入公式可求得像方焦距

f '≈0. 11m =11cm . 像方焦距为正数，故为凸透镜. 正确答案为（C ）

13-4 一平行超声波束入射于水中的平凸有机玻璃透镜的平的一面，球面的曲率半径为10 cm，试求在水中时透镜的焦距. 假设超声波在水中的速度为u 1璃中的速度为u 2

=1470m ⋅s -1，在有机玻

=2680m ⋅s -1.

n i

n L -n 0n i -n L

-r 1r 2

，弄清公式中各值代表的物

分析 薄透镜的像方焦距公式为f '=

理意义即可求解本题. 这里n 0、n i 分别为透镜前后介质的折射率，由题意透镜前后介质均为水，故n 0

=n i =n 水; n L 为透镜的折射率；r 1为透镜平的一面的曲率半径，即r 1=∞；r 2为

透镜凸的一面的曲率半径，即r 2= - 10 cm.

解 由上述分析可得

f '=

n i

2112

-r 1r 2

=

r 2r

=2=-22. 1cm 1-21-1

n 1u 2

13-5 将一根短金属丝置于焦距为35 cm 的会聚透镜的主轴上，离开透镜的光心为50

cm 处，如图所示. (1) 试绘出成像光路图；（2）求金属丝的成像位置.

分析 （1） 凸透镜的成像图只需画出两条特殊光线就可确定像的位置. 为此作出以下两条特殊光线：过光心的入射光线折射后方向不变；过物方焦点的入射光线通过透镜入射后

平行于主光轴.(2)在已知透镜像方焦距

利用薄透镜的成像公式f '和物距p 时，

111

-=p 'p f '

即可求得像的位置.

解 （1）根据分析中所述方法作成像光路图如图所示. (2) 由成像公式可得成像位置为

p

'=

p f '(-50) ⨯35

=cm =117cm

p +f '-50+35

题 13-5 图

13-6 一架显微镜的物镜和目镜相距为 20 cm ，物镜焦距为 7 mm ，目镜的焦距为 5 mm ，把物镜和目镜均看做是薄透镜. 试求：（1）被观察物到物镜的距离；（2）物镜的横向放大率；（3）显微镜的视角放大率.

分析 （1）图示为显微镜的工作原理图. 使用显微镜观察物体时，是将物体置于物镜物方焦点

f o 外侧附近. 调节物镜与目镜的间距d ，使物体经物镜放大成实像(显微镜的中间像)

在目镜物方焦点对物镜的像距

f e 附近. 由题意，图中d 和f e 已知，可以求得中间像到物镜的距离，即物体

. 则利用薄透镜成像公式就可求得物体到物镜的距离p .(2)物镜的

p '=d -f e

=

横向放大率可由公式V

s ∆p '

直接求出. 而显微镜的视角放大率由公式M =-0计算. 其p f o f e

中∆为物镜像方焦点到目镜物方焦点的距离.

解 （1）由分析可知，显微镜的中间像对物镜的距离（像距）为

p '=d -f e =195cm

而像方焦距

f '=7 mm，则由薄透镜成像公式

111

-=可得观察物到物镜的距离为 p 'p f '

p =

f 'p '7⨯195

=mm =-7.3 mm

f '-p '7-195

p '

=-26. 7 p

（2）物镜的横向放大率为

V =

（3）由分析知∆=d

-f o -f e =（200-7-5）mm =188mm ，则显微镜的视角

放大率

M =-

250⨯188

≈

-1343

(-7) ⨯(-5)

题 13-6 图

13-7 一天文望远镜，物镜与目镜相距90 cm ，放大倍数为 8⨯（即8倍），求物镜和目镜的焦距.

分析 望远镜的放大率为M

=-

-f o '

, 其中f o '和f e '分别为物镜和目镜的像方焦距. 'f e

而通常物镜的像方焦点和目镜的物方焦点几乎重合，即目镜和物镜的间距为两者焦距之和，而题中已知

f o '+f e '=90 cm，由此可求f o '和f e '.

解 由分析可知

M =

f o '

=8，又f o '+f e '=90 cm，则得物镜和目镜的像方焦距为 f e '

⎧f o '=80cm ⎨

⎩f e '=10cm