5.2平面向量的基本定理及坐标表示
5.2 平面向量的基本定理及坐标表示
一、 知识点梳理 1. 两个向量的夹角
(1) 定义:已知两个_____向量和, 作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ O B 叫做向量和,的夹角.
(2) 范围
向量夹角θ的范围是______________________,a与b同向时, 夹角θ=_______,与反向时,夹角θ=_______; (3) 向量垂直
如果向量与的夹角是_____,则与垂直______,记作____ 2.平面向量基本定理及坐标表示
(1) 平面向量基本定理:____________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ 其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;
(2)平面向量的坐标表示
①在平面直角坐标系中,分别取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量i.j作为基底,对于平面内一个向量a,有且只有一对实数x,y,,使=xi+yj,把有序数对_______,叫做向量的坐标,记作=_____;,其中x叫在z轴上的坐标,y叫作在y轴上的坐标。
②设OA=xi+yj,则向量OA的坐标________就是终点A的坐标,即
,则A点坐标为_______,反之也成立; =(x,y)
③两个相等的向量充要条件是它们的坐标相等,即如果向量 =(x1,y1), =(x2,y2),那么= x1= x2且y1= y2
④如果一条直线的斜率为k,则此直线的一个方向向量的坐标可以表示为(1,k)
3.平面向量的坐标运算
①向量的和与差的坐标表示:两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差,即若=(x1,y1), =(x2,y2),则 ±=( )
②实数与向量的积的坐标表示:实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘以原来的向量的相应坐标,即a=(x1,y1),λ∈R, 则λa=( )
③向量共线定理的坐标表示:若=(x1,y1),=(x2,y2), 则//的充要条件是___________________; 二、 基础练习
1.
的顶点a(-1,-2),B(3,-2),C(5,6),求顶点D的坐标。
2. 设点P是线段P1P2上的一点,P1,P2的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2)。
(1) 当点P是线段P1P2的中点是,求点P的坐标;
(2) 当点P是线段P1P2的一个三等分点时,求点P的坐标;
3. x为何值时,a=(2,3)与b=(x,-6)共线?
4. 已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5),OP=OA+tAB.当t=1,,-2,2时,分别求点P的坐标。
5. 已知=(3,2),=(0,-1),求-2+4,4+3的坐标;
三、 能力检测
1.已知向量a=(1,2),b=(x,4),若向量a//b,则x= ( ) A.- B. C.-2 D.2
2.在三角行ABC中,已知A(2,3),B(8.-4),点G(2,-1)在中线AD上,且=2,则点C的坐标是( )
A.(-4,2) B.(-4,-2) C.(4,-2) D.(4,2)
3.设向量=(m,1), =(1,m),如果与共线且方向相反,则m的值为( )
A.1 B.-1 C.±1 D.0
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1212
4.设向量=(1,-3),=(-2,4),若表示向量4、3-2,的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量为( ) A.(1,-1) B.(-1,1) C.(-4,6) D.(4,-6)
5.△ABC的三个内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若=(a+c,b)与=(b-a,c-a)是共线向量,则角C=( )
6.已知向量=(1,1),=(sinx,-cosx),x∈(0,π),若//,则x的值是__________________.
7. 已知向量a=(3,1), b=(-2,),直线过点A(1,2),且a+2b是其方向向量,则直线L的一般式方程为__________________; 四、高考回放
1.设向量=(1,2),=(2,3),若向量λ+与向量=(-4,-7)共线,则λ=_____________;
2. 已知向量a=(2,-1),b=(-1,m)c=(-1,2)若向量a+b//cm, 则m_____________;
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