由傅立叶系数的计算公式
B020004(答案)
一、1、B 2、答( B ) 3、 答 (B) 4、C 二、1、2
5、答
2、y *=x (A cos 4x +B sin 4x ) 3、 0. 4、 1
(-1, 1)
三、因为
∞11+ε1⎛cos n ⎫
(ε>0) 而∑1+收敛 ≤ ⎪
1+ε⎝n ⎭n n =1n
所以所论级数绝对收敛,从而收敛。
四、1、z x =cos x tan y z y =sin x sec 2y 3、d u =f 1e x d x +f 2e y d y 4、因为 f '(x )=e
-x 2
2、u x =
y
2
1+(xy +z )
u z =
1
2
1+(xy +z )
x 2n
=∑(-1)
n ! n =0
∞
n
n
x ∈(-∞, +∞)
x ∈(-∞, +∞)
x 2n +1
所以 f (x )=∑(-1)
2n +1n ! n =0
∞
5、
1112a 0=1f (x ) d x =2⎰f (x ) d x =2⎰x d x =1001/2⎰-2
1
6、由傅立叶系数的计算公式
a n =
1
111n πx
f (x ) cos d x =2f (x ) cos 2n πx d x =2⎰0⎰0x cos 2n πx d x =01/2⎰1/2
121-2
12n πx b n =f (x ) sin d x 1⎰-1/221/2
=2⎰f (x ) sin 2n πx d x =2⎰x sin 2n πx d x =-
1
1
1⎛11⎫
, n =1, 2, 3, ⋅⋅⋅在 -, ⎪内f (x ) 的表
⎝22⎭n π
达式
⎧
⎪x +1f (x ) =⎨
⎪x ⎩
, -
1
1
, 0
2
所以
19
⎧x +1, -
1
f (x ) ~1∞2-∑1πsin 2n πx =⎪⎪
⎨
1, x =0
n =1n ⎪
2⎪⎪⎩
x , 0
12
7、y ''=x 2ln x x 2
-+'=x 3ln x 241 6-5x 3
y 56
+1x +C 2
x 4ln x 13x 4
y =24-288
+1x 2+C 2x +C 3
五、1、对已知隐函数方程两边关于x 求导得 2x +2yy '=0即 y '=-
x
y
此外,x 2+y 2=C 2含有任意常数C ,故它是方程的通解。
3、左=F (xy , uv ) =ln xy ⋅ln uv
右=ln x ln u +ln x ln v +ln y ln u +ln y ln v
=ln x (lnu +ln v ) +ln y (lnu +ln v ) =(lnx +ln y )(lnu +ln v ) =ln xy ⋅ln uv 所以,左=右,关系式成立。
4、由高斯公式5、设A =(2x +y ) i +(4y +x +2z ) j +(2y -6z ) k , 因为rot A
= 所以A 为有势场。从而(2x +y )d x +(4y +x +2z )d y +(2y -6z )d z =A ·d S =0 3
六、1、设M =(x , y ) 则距离平方和S =
∑[(x -x )2+(y -y )
2
i
i
i =1
]
⎧⎪∂S
3
=2∑(x -x i )=0由 ⎪⎨∂x i =x 1+x 2+x 3y 1+y 2+y 33
1
得 x =, y =
⎪∂S ⎪⎩∂y
=2∑(y -y ) =022i i =1 20
=0.
由于实际问题的最小值必定存在,因此
⎛x 1+x 2+x 3y 1+y 2+y 3⎫
, ⎪即为所求点M 的坐标。
⎝⎭22
2、
3、方程的通解为 y =e x (C 1cos x +C 2sin x ) 由已知得初始条件y (0) =1, y '(0) =0,代入上式得
4
C 1=1, C 2=-1
故所求积分曲线得方程为 y =e x (cosx -sin x )
、
(n +1)b
n +1u n +1=lim 七、lim
n →∞u n →∞n b n
a n
=
1
当a >1时,级数收敛 a
当a
当a =1时,比值判别法失效,但此时u n =n b (b >0) u n 0(n →∞),故而级数发散。
21