用空间向量解立体几何题专题一
用空间向量解立体几何题专题一
一、空间直角坐标系:
1) ,以O 为原点,1、在空间选一点O 和一个单位正交基底{i , j , k }(i , j , k 互相垂直且模都等于
分别以i , j , k 的方向为正方向建立三条轴:x 轴、y 轴、z 轴,它们都叫做坐标轴,这时我→→→→→→→→→
们说建立了一个空间正交坐标系O -xyz ,点O 叫做原点,向量i , j , k 叫做坐标向量,通过两个坐标轴的面叫做坐标面。
2、在空间正交坐标系O -xyz 中,对空间任一点A , 对应一个向量OA ,于是存在唯一的有序实数组(x , y , z ) ,使OA =x i +y j +z k ,则实数组(x , y , z ) 叫做点A 在此空间直角坐标系中的坐标。确定空间一点A 的坐标的方法是:点A 分别在x 轴、y 轴、z 轴上的射影所对应的实数构成的有序实数组(x , y , z ) 即为A 的坐标。
3、 建立空间直角坐标系的方法技巧:
建立空间直角坐标系, 必须牢牢抓住相交于同一点的两两垂直的三条直线,要在题目中找出和构造出这样的三条直线;对于z 轴,必须是竖直向上的直线,x 轴, y 轴是底面上相互垂直的两条直线。若三条轴不交于同一点,平移其中一条直线使得他们交于同一个点。因此,要充分利用题目中所给的垂直关系(即线线垂直、线面垂直、面面垂直)找三条轴;涉及的定理有三垂线定理、线面垂直的判定定理和性质定理。特别注意底面常见图形怎样找互相垂直的两条直线。如等腰、等边三角形,等腰梯形做高;长方形用相邻边;正方形即可用相邻边,也可以用对角线;菱形习惯用对角线,但有时作高更好。若底面没有直角存在,习惯作高找x 轴, y 轴。
4、点的坐标求法:
(1)原点(0, 0, 0)
(2)轴上的点:(x , 0, 0), (0, y , 0), (0, 0, z )
(3)面上的点:(x , y , 0), (x , 0, z ), (0, y , z )
①定义法:过面上一点P 作其中一条轴的垂线,找出点P 在轴上的射影长,注意射影落在正轴还是负轴上。
②公式法(特殊点):中点坐标公式或者定比分点公式。
(4)空间的点:
①定义法(一般空间点)过空间中一点P 做底面的垂线得到垂足Q ,则点P 和Q 的横、纵坐标相同,P 离底面的高度即竖标.
②公式法(特殊空间点)中点坐标公式.
③利用向量共线的充要条件;
1 →→→→→→→→
二、练习题:分别给下列各题建立空间直角坐标系,并求出各点的坐标:
1、如图,四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥底面ABCD
,PA =AB =,点E 是棱PB 的中点.
2、三棱柱ABC -A 1B 1C 1中侧棱垂直于底面,所有棱长都为2,D 为CC 1
中点。
3、如图,边长为2的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面,BC =22,
M 为B C 的中点。
P A B C
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