函数的运算和函数的奇偶性
函数的运算和函数的奇偶性
1.定义函数的运算
函数有三要素。其中定义域和对应法则起核心作用
思考: 和函数的定义域怎么取,对应法则呢?
怎样定义f (x )和g (x )的和?f (x )+g (x )是否一定是函数呢?
怎样定义函数的积?
例1:设函数f (x )=3x , g (
x )=,
求:(1)f (1)+g (1) (2) f (2)+g (2) (3) f (x )+g (x )
例2:设函数f (x )=x -1
x -2, g (
x )=求f (x )⋅g (x )
例3 设函数f (
x )=, g (
x )=,求和函数f (x )+g (x )
例4.
设函数f (x ) =g (x ) =(a ≥0),求积函数 f (x )⋅g (x )
例5. 已知f (x ) -2f (1
x ) =3x , 求f (x ) 的解析式。
⒉ 引入:(学生看图总结,引导学生从对称性角度来分析)
从函数y =x 2的图像(图1)看到:
图像关于y 轴对称,通过计算,我们也可以看到,
f (-1)=1,f (1)=1,得f (-1)=f (1);由f (-2)=4,f (-2)=4
得f (-2)=f (2). 让学生思考:对任意a ,f (-a )=f (a )
是否成立?
从函数y =x 3的图像(图1)看到:
图像关于原点对称,通过计算,我们也可以看到,
f (-1)=-1,f (1)=1
f (-2)=-4,f (-2)=4 ,得f (-1)=-f (1);由
得f (-2)=-f (2). 让学生思考:对任意a ,f (-a )=-f (a )
是否成立?
函数的这两个性质,就是今天我们要学习讨论的.
二、学习、讲解新课
⒈ 偶函数与奇函数
定义:对于函数f (x )的定义域内任意一个值x ,
⑴若f (-x )=f (x )恒成立,则函数y =f (x )就叫做偶函数;
⑵若f (-x )=-f (x )恒成立,则函数y =f (x )就叫做奇函数. (引导学生类比得到) 例如,函数f (x )=x 2+1,f (x )=x ,f (x )=x 4-4等都是偶函数;函数f (x )=x ,f (x )=1等都是奇函数. x
若函数f (x )是奇函数或偶函数,则说函数f (x )具有奇偶性.
说明:⑴定义中的等式f (-x )=f (x )(或f (-x )=-f (x ))对定义域里的任意x 都要成立,若只对个别x 值成立,则不能说这函数是偶函数(或奇函数);⑵等式f (-x )=f (x )(或f (-x )=-f (x ))成立,除了表明函数值相等(或互为相反数)外,首先表明对定义域中的任意x 来说,-x 也应在定义域之中,否则f (-x )无意义;⑶奇函数和偶函数的定义域必定是关于原点对称的,由此得结论:凡是定义域不关于原点对称的函数一定是非奇、非偶的函数.
⒉函数奇偶性的判断方法
例1:判断下列函数是否具有奇偶性:
⑴ f (x )=x 3+2x ;⑵ f (x )=2x 2-3x 4 ;⑶ f (x )=x 3+x .
说明:
⑴判断一个函数是奇函数,或者是偶函数,或者既不是奇函数也不是偶函数,叫做判断函数的奇偶性,判断的根据是定义.
⑵函数中有奇函数,有偶函数,也有非奇非偶函数,还有既是奇函数又是偶函数,例如常数函数f (x )=a (x ∈R ),当a ≠0时是偶函数,当a =0时,它既是奇函数又是偶函数.
⑶判断函数的奇偶性,有时也可根据下面的式子来判断:
对于f (x )定义域内任意一个x ,①若有f (x )-f (-x )=0
成立,则f (x )为偶函数;②若有f (x )+f (-x )=0成立,则
f (x )为奇函数.
3. 关于奇偶函数图像的对称性质
由奇函数的图像(如图1)和偶函数的图像(如图2),可得
⑴奇函数的图像关于原点对称,反过来,若一个函数的图像关于原点对称,则这个函数是奇函数;
⑵偶函数的图像关于y 轴对称,反过来, 若一个函数的
图像关于y 轴对称,则这个函数是偶函数.
例2:已知偶函数f (x ) 满足f (x +3) =f (x ) ,且f (1) =-1,
则f (5) +f (11) = 。
课堂反馈
1、判断奇偶性:函数f (x ) =x (x +1) 是f (x ) =ax 2+1是 x +1
2、f (0) =0是函数f (x ) 为奇函数的 ( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件
3、已知定义域为R 的任意奇函数f (x ) ,都有( )
A. f (x ) -f (-x ) >0 B. f (x ) -f (-x ) ≤0 C. f (x ) f (-x ) ≤0 D. f (x ) f (-x ) >0
⎧x 2-x +1, 4、已知f (x ) =⎨2⎩-x -x -1, x >0,则f (x ) 为( ) x
A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 不能确定
5、已知f (x ) 是奇函数,g (x ) 是偶函数,则下列函数中一定是奇函数的是( )
A. [f (x ) ]+[g (x ) ] B. f [g (x ) ] C. f (x ) -g (x ) D. f (x ) g (x ) 22
6、已知函数f (x ) =a -1,若f (x ) 为奇函数,则a 。 2x +1
7、已知函数f (x ) =ax 5+bx 3+cx -6, (a , b , c 为常数) ,若f (-8) =8,则f (8) = 。
8、已知y =f (x ) 是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时, f (x ) =x 2-2x ,则当x
9、函数f (x ) =
10、已知f (x ) =ax +b 12f () =()是定义在上的奇函数,且,求f (x ) 的函数解析式。 -1, 125x 2+12x 1. (1)求f (x ) +f () ; 1+x x
[1**********]0(2)求f (1) +f (2) +⋯⋯+f (100) +f (1) +f (2) +⋯⋯+f (100) +⋯⋯+f (1) +f (2) +⋯⋯+f (100) 的值
1、 函数y =f (2x -1) 的定义域是[0, 1),则函数y =f (1-3x ) 的定义域是( )
A. ⎛ 0, ⎝⎛1⎤ B. 0, 6⎥⎝⎦1⎤⎛ C. 0, 3⎥⎦⎝2⎤1⎤⎛ D. -2, - ⎥3⎥2⎦⎝⎦
2、函数f (x ) 和g (x ) 的定义域都是[-a , 0)⋃(0, a ](a >0)并且它们都是奇函数,对于定义域中的任意一个x ,都有g (x ) ≠0,则下列四个结论:
⑴f (x ) +g (x ) 是奇函数⑵f (x ) -g (x ) 是奇函数⑶f (x ) g (x ) 是奇函数⑷
其中正确的有( )个
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3、已知函数f (x ) =
f (x ) 是奇函数 g (x ) 1+a 是奇函数,则a = x 3-1
4、已知y =f (x ) 是定义在R 上的偶函数,且对任意的x ∈R 都有f (2+x ) =-f (x ) ,当
x ∈[0, 2]时,f (x ) =3x +2,则函数f (x ) 在区间[-4, 0]上的解析式为。
5、讨论下列函数的奇偶性
⎧+x , x ∈[0, 1]4-x 2
⑴f (x ) = ; ⑵ f (x ) =• ⎨x +3-3⎩-x , x ∈[-1, 0)
6、对于任意x , y ∈R ,函数f (x ) 均满足f (x +y ) =f (x ) +f (y ) 。证明f (x ) 是奇函数。
7、设函数f (x ) 和g (x ) 的定义域为R ,x 1, x 2是R 上任意两个实数,设
f (x 1) +f (x 2) ≥g (x 1) +g (x 2) 恒成立,且f (x ) 是奇函数,则判断g (x ) 的奇偶性并证明。
8、当a 取何值时,f (x ) =a 2-x 2
x +a +a ,为奇函数。