微观经济学计算题练习

河南 洛阳（平顶山）李恒运 微观经济学计算题

1.某君对消费品x 的需求函数为P =100-，分别计算价格P ＝60和P ＝40时的价格弹性系数。

解：由P =100-，得Q =(100-P ) 2，

E d =

dQ P P ⋅=2(100-P ) ⋅(-1) ⋅dP Q (100-P ) 2

这样，

=

-2P 100-P

P =60=

于是，E d

-2⨯60-120

==-3

100-6040-2⨯40-804

==-

100-40603

E d P =40=

即，当价格为60和40时的点价格弹性系数分别为-3和 -4/3。

2. 假设某商品的50％为75个消费者购买，他们每个人的需求弹性为-2，另外50％为25个消费者购买，他们每个人的需求弹性为-3，试问这100个消费者合计的弹性为多少? 解：设被这100个消费者购得的该商品总量为Q ，其市场价格为P 。

据题设，其中75人购买了其总量的一半，且他们每人对该商品的需求弹性为-2，这样，他们每人的弹性

E di =-2=

dQ i P dQ i Q ⋅, =-2⋅i , i =1, 2 , 75 dP Q i dP P

75

且 ∑Q i =Q /2

i =1

又，另外25人购买了其总量之另一半，且他们每人对该商品的需求弹性为-3，这样，他们每人的弹性

E dj =-3=

25

dQ j

Q j P dQ j

, =-3⋅, j =1, 2, , 25

dP Q j dP P

⋅

且 ∑Q j =Q /2

j =1

由此，这100个消费者合计的弹性为

dQ P d (∑Q i +∑Q j ) P E d =⋅=⋅

dP Q dP Q

7525dQ dQ P j =(∑i +∑) ⋅

Q i =1dP j =1dP 将式(1)、(3)代入，得

25Q j Q i P

E d =[∑(-2⋅) +∑(-3⋅)]⋅

P P Q i =1j =1

75

=[

-2-3P Q +Q ]⋅∑i P ∑j

P i =1Q j =1

7525

将式(2)、(4)代入，得

2Q 3Q P

⋅-⋅) ⋅P 2P 2Q

23Q P 5=(--) ⋅⋅=-

22P Q 2

E d =(-

3. 若无差异曲线是一条斜率是-b 的直线，价格为Px 、Py ，收入为M 时，最优商品组合是什么?

解：预算方程为：Px ·x+Py·y ＝M ，其斜率为-Px/Py MRSXY =MUX /MUY =-b

由于无差异曲线是直线，这时有角解。

当b>Px/Py时，角解是预算线与横轴的交点，如图3—19(a)所示。 这时，y ＝0

由预算方程得，x=M/Px 最优商品组合为(M/Px，0)

当b

由预算方程得，y=M/P 最优商品组合为(0，M/Py)

当b=Px/Py时，预算线上各点都是最优商品组合点。

4. 若需求函数为q=a-bp，a 、b>0，求：

(1)当价格为P1时的消费者剩余是多少?

(2)当价格由P1变到P2时消费者剩余变化了多少? 解：(1)由g ＝a-bP ，得反需求函数为P =

设价格为p1时，需求量为q1，q1=a-bP1

2

aq -a -q 2q () dq -p 1q 1=

q 1

b b 消费者剩余=⎰0

a 2b =-ap 1+p 12

2b 2

q 1

a -q

b

-p 1q 1

(2)设价格为p 2时，需求量为q 2，q 2＝a-bp 2 消费者剩余变化量

q 1a -q a -q

) dq -p 2q 2-[⎰() dq -p 1q 1]

00b b

2

aq -1a 2b 2q 2q =-p q -(-ap +p 1) 0221

b 2b 2

=⎰(

q 2

2aq 2-1a 2b q 2

-p 2q 2-(-ap 1+p 12) =

b 2b 2a 2b 2a 2b 2=-ap +p 2-(-ap 1+p 12) 2b 22b 2b 2b 2=p 2-p 1-ap 2+ap 1

22

5. X公司和Y 公司是机床行业的两个竞争者。这两家公司的主要产品的需求曲线分别为： 公司X ：Px ＝1 000-5Qx，公司Y ：Py ＝1 600-4Qy。 这两家公司现在的销售量分别为100单位X 和250单位Y 。 (1)求X 和Y 当前的价格弹性。

(2)假定Y 降价后，使Qy 增加到300单位，同时导致X 的销售量Qx 下降到75单位，试问X 公司产品X 的交叉价格弹性是多少? 解：(a)由题设，Qx ＝100，Qy=250，则 Px＝1 000-5Qx＝1 000-5×100＝500 Py＝1 600-4Qy＝1 600-4×250＝600 于是x 之价格弹性 E dx =

dQ x P x 16003

⋅=-⨯=- dP x Q y 42505

y之价格弹性 E dy =

dQ y dP y

⋅

16003=-⨯=- Q y 42505P y

(b)由题设，Q ’y ＝300，Q ’x ＝75 这样， P’y ＝1 600-4Q’y ＝1 600-4×300 =400 △Qx ＝Q'x-Qx ＝75-100 ＝-25 △Py=P'y-Py =400-600 =-200

于是，X 公司产品x 对Y 公司产品y 的交叉价格弹性

E xy ==

∆Q x (P y +P ' y ) /2⋅

∆y (Q x +Q ' x ) /2

-25(6000+400) /2

⨯-200(100+75) /2

11000=⨯8175125=175

=5/7

即交叉价格弹性为5/7。

6. 令消费者的需求曲线为p ＝a-bp ，a 、b>0，并假定征收 lOOt％的销售税，使得他支付的价格提高到P(1+t)。证明他损失的消费者剩余超过政府征税而提高的收益。 解：设价格为p 时，消费者的需求量为q1，由p=a-bq1，得 q 1=

a -p

b

a -(1+t ) P

b

又设价格为P(1+t)时，消费者的需求量为q2，由P ＝a-bq2 得 q 2=

消费者剩余损失

=⎰(a -bq ) dq -pq 1-[⎰(a -bq ) dq -P (1+t ) ⋅q 2]

q 1q 2

=⎰(a -bq ) dq +P (1+t ) ⋅q 2-pq 1

q 1

q 2

b 1

=(aq -q 2q q 2+(1+t ) pq 2-pq 1

2b b 2

=(aq 1q 12) -(aq 2-q 2) +(1+t ) pq 2-pq 1

22

政府征税而提高的收益=(1+t)pq2-pq 1 消费者剩余亏损一政府征税而提高的收益

b 2b 2q 1) -(aq 2-q 2) +(1+t ) pq 222

b

-pq 1-[(1+t ) pq 2-pq 1]=(aq 1-q 12)

2

b 2a (a -b ) b a -p 2

-(aq 2-q 2) =-⨯()

2b 2b

a [a -(1+t ) p ]b a -(1+t ) p 2-+⨯[]

b 2b 2tp +t 2p 2=

2b

2tp +t 2p 2

b , t , p >0∴>0

2b

=(aq 1-

因此，消费者剩余损失总是超过政府征税而提高的收益。

7. 假定效用函数为U ＝q 0.5+2M，q 为消费的商品量，M 为收入。求：(1)需求曲线；(2)反需求曲线；(3)p=0.05，q ＝25时的消费者剩余。 解：(1)根据题意可得，商品的边际效用 MU =

∂U

=0. 5q -0. 5 ∂q

单位货币的效用为λ=

∂U

=2 ∂M

若单位商品售价为P ，则单位货币的效用λ就是商品的边际效用除以价格，即λ=MU/P

0. 5q -0. 5∂U ∂U

=/P ，即2= 于是得，

P ∂M ∂q

进而得，q =

1

，这就是需求曲线。 2

16p

(2)由q =

11

p =，得，这就是反需求曲线。

16p 24q

(3)当p=0.05，q=25时， 消费者剩余=⎰

q

11

dq -pq =q 24q

1

q

11

-pq =q 2-pq =⨯252-0. 05⨯25=1. 25

22

11

8．若某消费者对X 、Y 的效用函数如下：

U （x ）=20X-X2，U （y ）= 40Y-4Y2，且Px=2元，Py=4元，现有收入24元，该消费者要花完全部现有收入并获得最大效用，应购买X 、Y 各多少？

⎧2x +4y =24⎧2x +4y ==24

⎪⎪

解： ⎨MU X MU Y ⎨20-2x 40-8y

=⎪P =P ⎪4⎩2Y ⎩X

⎧y =3

解得：⎨

⎩x =6

9. 某消费者的效用函数为U ＝XY ，Px ＝1元，Py ＝2元，M =40元，现在Py 突然下降到1元。试问：

(1)Y价格下降的替代效应使他买更多还是更少的Y?

(2)Y价格下降对Y 需求的收入效应相当于他增加或减少多少收入的效应? 收入效应使他买更多还是更少的Y?

(3)了价格下降的替代效应使他买更多还是更少的X? 收入效应使他买更多还是更少的X?Y 价格下降对X 需求的总效应是多少? 对Y 需求的总效应又是多少?

解：(1)先求价格没有变化时，他购买的X 和Y 的量。这时已知，Px ＝1，Py ＝2，U ＝XY ∵ MU x = ∴

∂U ∂U

=y , MU y =X ∂X ∂Y

MU x MU y Y X =, 即为= P x P y 12

预算方程为： X+2Y＝40

解 X+2Y=40

得（即图中0X1） Y=10（即图中0Y1）

再求购买20单位的X 、10单位的Y 在新价格下需要的收入。

M=Px·x+Py·y ＝1×20+1×10＝30(元)

最后，求在新价格和新收入(30元) 下他购买的X 和Y 的量。 ∵ Px=1，Py ＝1，MUx ＝Y ，MUy ＝X ∴ MUx/Px=MUy/Py 即为：Y/1=X/1 预算约束为：X+Y＝30

解 X+Y=30 得 Y=15

因此，Y 价格下降使他购买更多的y ，多购买(15-10)=5单位，在图中从OY1增加到OY2。 (2)先求y 价格下降后，他实际购买的X 和Y 的量。 ∵ Px=1，Py ＝1，M ＝40，MUx ＝Y ，MUy ＝X

MU x MU y

即为：Y/1=X/1 P x P y

预算方程为：X+Y＝40

解 X+Y=50 得 Y=20

可见，Y 价格下降的收入效应使他购买更多的Y 即在图中从 OY2增加到OY3，购买(20-15)=5单位。

由于在新价格和收入为30元时，他购买15单位的X 、15单位的Y 。在新价格下，要使他能购买20单位X 、20单位Y ，需增加 10元收入，即收入为40元。所以，要增购5单位Y 的话，必需增加 10元收入，即图中预算线上升到A'B 。

因此，Y 价格下降对Y 需求的收入效应相当于他增加10元收入的效应。

(3)Y的价格下降的替代效应使他买更少的X ，少买(20- 15)=5单位，即图中X 的购买量从Ox1降为Ox2。收入效应使他购买更多的X ，多买(20-15)＝5单位，即图中X 的购买量从Ox2恢复到OX1。Y 价格下降对X 需求的总效应为零。

y价格下降的替代效应使他多购买5单位Y ，收入效应使他也多购买5单位Y 。故Y 价格下降对Y 需求的总效应为10单位，即图中Y 1Y 3=Y1Y 2+Y2Y 3。

10. 已知生产函数为Q =2L 0. 6K 0. 2，请问： (a)该生产函数是否为齐次函数? 次数为若干? (b)该生产函数的规模报酬情况。

(c)假如L 与K 均按其边际产量取得报酬，当L 与K 取得报偿后，尚有多少剩余产值? 解：(a) Q =f (L , K ) =2L 0. 6K 0. 2

∴f (λL , λK ) =2(λL ) 0. 6(λK ) 0. 2

=2λ0. 6L 0. 6λ0. 2K 0. 2=2λL K =λ0. 8Q

0. 8

0. 6

0. 2

∴ 该生产函数为齐次函数，其次数为0.8。 (b)根据a) 题 f (λL , λK ) =λ0. 8Q

可知该生产函数为规模报酬递减的生产函数。 (c)对于生产函数Q =2L 0. 6K 0. 2

MPP L =2K 0. 2⨯0. 6L -0. 4=1. 2L -0. 4K 0. 2MPP K =2L ⨯0. 2K

0. 8

-0. 8

⨯0. 2K

-0. 8

=0. 4L K

0. 6-0. 8

这里的剩余产值是指总产量减去劳动和资本分别按边际产量取得报酬以后的余额，故 剩余产值＝Q-L ·MPP L -K ·MPP K

=2L 0. 6K 0. 2-L ⋅1. 2L -0. 4K 0. 2-K ⋅0. 4L 0. 6K -0. 8

=2L 0. 6K 0. 2-1. 2L 0. 6K 0. 2-0. 4L 0. 6K 0. 2

=0. 4L 0. 6K 0. 2=0. 2Q

11. 已知生产函数为Q =f (K , L ) =

10KL

K +L

(a)求出劳动的边际产量及平均产量函数。

(b)考虑该生产函数的边际技术替代率函数(MRTS)的增减性。 (c)考虑该生产函数劳动的边际产量函数的增减性。 解：(a)劳动的边际产量函数MPP L ＝dQ/dL

d 10KL () dL K +L

10K (K +L ) -10KL

= 2

(K +L )

=10K 2=

(K +L ) 2

劳动的平均产量函数APP L ＝Q/L

10KL 1

⋅

K +L L

10K =

K +L

=

(b)生产函数边际技术替代率指产量不变条件下一种生产要素增加的投入量与另一种生产要素相应减少的投入量之比，即 -△K/△L 或-dK/dL。为此，需要从生产函数中先求得K 和L 之间的关系，然后从这一关系中求得dK/dL。 由生产函数 Q=

10K

K +L

得 QK+QL＝1OKL K(Q-10L)＝-QL K =

-QL

Q -10L

则边际技术替代率MRTS=-dK/dL

d -QL () dL Q -10L

Q (Q -10L ) -QL ⨯(-10) =

(Q -10L ) 2=-

Q 2

=>0 (Q -10L ) 2

当dK/dL>0时，

dK/dL

所以该生产函数的边际技术替代率函数为减函数。

10K 2

(c) MPP L =

(K +L ) 2

d d ⎡10K 2⎤∴MPP L =⎢⎥dL dL ⎣(K +L ) 2⎦-10K 2⨯2(K +L )

=

(K +L ) 420K 2

=-

(K +L )

所以该生产函数的边际产量函数为减函数。

12. 某公司拟用甲、乙两厂生产同一种产品，如果用x 代表甲厂的产量，用y 代表乙厂的产量，其总成本函数为C ＝x +3y-xy

(a)求该公司在生产总量为30单位时使总成本最低的产量组合。

(b)如用拉格朗日函数求解(a)题，请解释λ的经济意义。 解：(a)这个约束最佳化问题的数学表达如下： minC ＝ x2 + 3y2 - xy S.t.x + y = 30 设拉格朗日函数为

X ＝ x2 + 3y2 – xy +λ(x +y -30) 分别对x 、y 及λ求偏导，得

∂X

=2x -y +λ=0⇒λ=y -2x ∂x

2

2

∂X

=6y -x +λ=0⇒λ=x -6y ∂y

∂X

=x +y -30=0 ∂λ

由(1)，(2)式得 y-2x=x-6y 3x＝7y x=7/3y 代入(3)式中， 7/3y+y=3。 y=9 x=7/3y＝21

(b)一般说来，任何拉格朗日函数λ都表明约束条件增减一个单位时对原始目标函数的边际影响。如在本题中，λ可视为总产量为30个单位时的边际生产成本，它表明如果该公司原先产量为 29单位，而现在增至30单位，则其总成本将增加33。这种边际关系对企业估价放宽某个约束条件可能得到的效益是十分重要的。

13. 已知生产函数为Q ＝min(3K，4L)

(a)作出Q=100时的等产量曲线。

(b)推导出边际技术替代率函数。

(c)讨论其规模报酬情况。

解：(a)生产函数Q ＝min(3K，4L) 表示定比生产函数，它反映了资本和劳动在技术上必须以固定比例投入的情况，本题Q ＝ 100时等产量曲线为如图所示的直角形式，资本与劳动的必要比例为K/L=4/3。且3K=4L=100。即K=100/3，L=25

（b ）由3K=4L，推出

K =4I 3

MRTS =-dK d 44=-(L ) =- dL dL 33

（c ） Q =f (L , K ) =min(3K , 4L )

∴f (λL , λK ) =min(3λK , 4λL )

=min λ(3K , 4L )

=λmin(3K , 4L )

=λQ

∴该生产函数为规模报酬不变。

14．若很多相同厂商的长期成本函数都是LTC ＝Q 3-4Q 2+8Q，如果正常利润是正的，厂商将进入行业；如果正常利润是负的，厂商将退出行业。

(1)描述行业的长期供给函数。

(2)假设行业的需求函数为Q D ＝2000-100P ，试求行业均衡价格，均衡产量和厂商的人数。

解：(1)已知LTC ＝Q 3-4Q 2+80则LAC ＝Q 2-4Q+8，欲求LAC 的最小值，只要令dLAC/dQ=0即20-4＝0 ∴ Q＝2这就是说，每个厂商的产量为Q ＝2时，长期平均成本最低，其长期平均成本为：LAC=22-4×2+8=4。当价格P 等于长期平均成本4时，厂商既不进入，也不退出，即整个行业处于均衡状态。故行业长期供给函数即供给曲线是水平的，行业的长期供给函数为P =4。

(2)已知行业的需求曲线为Q D ＝2 000-100P，而行业的供给函数为P ＝4，把P ＝4代入Q D ＝2 000-100P中可得：行业需求量Q D ＝2 000-100×4＝1 600

由于每个厂商长期均衡产量为2，若厂商有n 个，则供给量Qs =2n。行业均衡时，Q D ＝Qs ，即1 600＝2n ，∴ n＝800。故整个行业均衡价格为4，均衡产量为1 600，厂商有800家。

15. 假设利润为总收益减总成本后的差额，总收益为产量和产品价格的乘积，某产品总成本(单位：万元) 的变化率即边际成本是产量(单位：百台) 的函数C ’＝4+Q/4，总收益的变化率即边际收益也是产量的函数R ’=9-Q，试求：

(a)产量由1万台增加到5万台时总成本与总收入各增加多少?

(b)产量为多少时利润极大?

(c)已知固定成本FC ＝1(万元) ，产量为18时总收益为零，则总成本和总利润函数如何? 最大利润为多少?

解：(a)由边际成本函数C ’＝4+Q/4积分得

总成本函数c ＝40+1/8Q2+a(a为常数)

当产量由1万台增加到5万台时，

总成本增量△C=(4×5+25/8+a)-(4+1/8+a)

=19(万元)

由边际收益函数及R ’＝9-Q 积分得

总收益函数R=9Q-1/2Q2+b(b为常数)

当产量从1万台增加到5万台时，

总收益增量△R=(45-25/2+b)-(9-1/2+b)

＝24(万元) π=R -C

(b) ∴π' =R ' -C ' =9-Q -4-

5=-Q +54Q 4

令 π' =0

求得 Q＝4(万台)

∴ 当产量为4万台时利润最大。

(c)∵ 固定成本FC=1

即在(a)题中求得的总成本函数中常数a=1

1 ∴ 总成本函数C =Q 2+4Q +1 8

又 ∵ Q=18时，R ＝0

11 即R =9Q -Q 2+b =9⨯18-⨯182+b =0 22

求得b=0

总收益函数R=9Q-1/2Q2

π=R -C =9Q -Q 2-Q 2-4Q -1

则5=-Q 2+5Q -181218

又由(b)题的结论

当产量Q=4万台时利润极大

11 总成本C =Q 2+4Q +1=⨯42+4⨯4+1 88

=19(万元)

11 总收益R =9Q -Q 2=9⨯4-⨯42=32 (万元) 22

总利润π=R -C =32-19=13 (万元)

16. 完全竞争行业中某厂商的成本函数为STC ＝Q 3－6Q 2＋30Q ＋40，成本用美元计算，假设产品价格为66美元。

(1)求利润极大时的产量及利润总额。

(2)由于竞争市场供求发生变化，由此决定的新的价格为30美元，在新的价格下，厂商是否会发生亏损? 如果会，最小的亏损额为多少?

(3)该厂商在什么情况下才会退出该行业?

解：(1)已知厂商的短期成本函数为STC ＝Q 3-6Q 2+30Q +40则SMC=dSTC/dQ=3Q2-12Q+30，又知P=66美元。利润极大化的条件为P=SMC即66＝302—120+30，解方程得： Q=6，Q=2。

d 2TC d 2TR > 出现两个产量值时，可根据利润极大化的充分条件来判断，即根据来判断22dQ dQ

d 2TC d 2TC d 2TC =6Q -12，当Q ＝6时，=0而哪个产量水平使利润极大，=24；当Q ＝2时dQ dQ 2dQ 2

d 2TC d 2TC d 2TR =(66)' =0。只有当Q ＝6时，>，因此利润极大值为：π＝TR- TC＝222dQ dQ dQ

PQ-(Q3-6Q 2+30Q+40)=66×6-(63-6×62+30×6+ 40)＝176，即利润极大值为176美元。

(2)由于市场供求发生变化，新的价格为P ＝30美元，厂商是否会发生亏损? 仍要根据P ＝MC 所决定的均衡产量计算利润为正还是为负。不论利润极大还是亏损最小，均衡条件都为P ＝MC ，即30=3Q2-12Q+30，∴ Q=4 Q＝0(没有经济意义，舍去) 。一般来说，方程只有一个有经济意义的解时可以不考虑充分条件。需要验证是否满足充分条件也是可以的。当Q ＝4时，d 2TC d 2TC d 2TR >＝6×4 -12=12>0，即，故Q ＝4是利润最大或亏损最小的产量。利润πdQ 2dQ 2dQ 2

32＝TR-TC ＝PQ-(Q-6Q +30Q+40)=30×4-(43-6⨯42+30⨯4+40) =-8，可见，当价格为30元时，

厂商会发生亏损，最小亏损额为8美元。

(3)厂商退出行业的条件是P

17. 完全竞争行业中某厂商的成本函数为STC ＝Q 3－6Q 2＋30Q ＋40，成本用美元计算，假设产品价格为66美元。

(1)求利润极大时的产量及利润总额。

(2)由于竞争市场供求发生变化，由此决定的新的价格为30美元，在新的价格下，厂商是否会发生亏损? 如果会，最小的亏损额为多少?

(3)该厂商在什么情况下才会退出该行业?

解：(1)已知厂商的短期成本函数为STC ＝Q -6Q +30Q +40则SMC=dSTC/dQ=3Q-12Q+30，又知P=66美元。利润极大化的条件为P=SMC即66＝302—120+30，解方程得： Q=6，Q=2。

d 2TC d 2TR > 出现两个产量值时，可根据利润极大化的充分条件来判断，即根据来判断dQ 2dQ 2

d 2TC d 2TC d 2TC =6Q -12，当Q ＝6时，=0而哪个产量水平使利润极大，=24；当Q ＝2时22dQ dQ dQ 322

d 2TC d 2TC d 2TR =(66)' =0。只有当Q ＝6时，>，因此利润极大值为：π＝TR- TC＝dQ 2dQ 2dQ 2

PQ-(Q3-6Q 2+30Q+40)=66×6-(63-6×62+30×6+ 40)＝176，即利润极大值为176美元。

(2)由于市场供求发生变化，新的价格为P ＝30美元，厂商是否会发生亏损? 仍要根据P ＝MC 所决定的均衡产量计算利润为正还是为负。不论利润极大还是亏损最小，均衡条件都为P ＝MC ，即30=3Q2-12Q+30，∴ Q=4 Q＝0(没有经济意义，舍去) 。一般来说，方程只有一个有经济意义的解时可以不考虑充分条件。需要验证是否满足充分条件也是可以的。当Q ＝4时，d 2TC d 2TC d 2TR >＝6×4 -12=12>0，即，故Q ＝4是利润最大或亏损最小的产量。利润π222dQ dQ dQ

＝TR-TC ＝PQ-(Q3-6Q 2+30Q+40)=30×4-(43-6⨯42+30⨯4+40) =-8，可见，当价格为30元时，厂商会发生亏损，最小亏损额为8美元。

(3)厂商退出行业的条件是P

18. 若很多相同厂商的长期成本函数都是LTC ＝Q 3-4Q 2+ 8Q，如果正常利润是正的，厂商将进入行业；如果正常利润是负的，厂商将退出行业。

(1)描述行业的长期供给函数。

(2)假设行业的需求函数为Q D ＝2 000—100P ，试求行业均衡价格，均衡产量和厂商的人

数。

解：(1)已知LTC ＝Q 3-4Q 2+80则LAC ＝Q 2-4Q+8，欲求LAC 的最小值，只要令dLAC/dQ=0即20-4

＝0 ∴ Q＝2这就是说，每个厂商的产量为Q ＝2时，长期平均成本最低，其长期平均成本为：LAC=22-4×2+8=4。当价格P 等于长期平均成本4时，厂商既不进入，也不退出，即整个行业处于均衡状态。故行业长期供给函数即供给曲线是水平的，行业的长期供给函数为P =4。

(2)已知行业的需求曲线为Q D ＝2 000-100P，而行业的供给函数为P ＝4，把P ＝4代入Q D ＝2 000-100P中可得：行业需求量Q D ＝2 000-100×4＝1 600

由于每个厂商长期均衡产量为2，若厂商有n 个，则供给量Qs =2n。行业均衡时，Q D ＝Qs ，即1 600＝2n ，∴ n＝800。故整个行业均衡价格为4，均衡产量为1 600，厂商有800家。

19. 假设一个垄断厂商面临的需求曲线为P ＝10-3Q ，成本函数为TC ＝Q 2+2Q。

(1)求利润极大时的产量、价格和利润。

(2)如果政府企图对该垄断厂商采取限价措施迫使其达到完全竞争产业所能达到的产量水平，则限价应为多少?

(3)如果政府打算对该垄断厂商征收一笔固定的调节税，以便把该厂商所获得的超额利润都拿去，试问这笔固定税的总额是多少?

解：(1)已知P ＝10-3Q ，则MR ＝10-6Q 又知成本函数 TC＝Q 2+2Q ∴ MC＝(TC)’＝2Q+2利润极大化的条件是 MC=MR

即2Q+2＝10-6Q 得Q ＝1

把Q ＝1代入P ＝10-3Q 中得：P ＝10-3×1＝7

利润π＝TR-TC ＝PQ-(Q2+20)＝7×1-（12+2×1）＝4

(2)政府采取限价措施使垄断者达到完全竞争行业所能达到的产量水平。完全竞争条件下利润极大化的条件是P ＝MC 即10-3Q ＝20+2 ∴ Q＝1.6 把Q ＝1.6代入P ＝10-3Q 中得：P ＝10-3×1.6＝5.2。此时的利润π＝TR-TC ＝PQ-(Q2 +2Q)＝5.2×1.6-1.62+2×1.6）＝-2.56 说明在政府限价时，厂商亏损了。

(3)如果政府征收的固定调节税恰好是把该厂商的超额利润都拿走，则政府对该厂商征收的固定调节税就是4单位，征税后产量、价格都没有变，垄断厂商的超额利润为零。

20．假定行业需求曲线为Q ＝250－P ，每家厂商的边际成本为4。试求：

（1）两个厂商的古诺反应函数。

（2）古诺双寡头厂商的价格和产量。

（3）若厂商数目无限增大，古诺均衡价格和产量是多少？

解：（1）TR 1=[250-（Q 1+Q2）]Q1

MR 1=250-2Q1-Q 2

同理，MR 2=250-2Q2-Q 1

根据MR=MC，得到反应函数：

250-2Q 1-Q 2=4

250-2Q 2-Q 1=4

（2）解得：Q 1=Q2=82，P=250-（Q 1+Q2）=86

（3）若厂商数目无限增大，P=MC=4，Q=250-4=246

21. 假设一个垄断厂商面临的需求曲线为P ＝10-3Q ，成本函数为TC ＝Q 2+2Q。

(1)求利润极大时的产量、价格和利润。

(2)如果政府企图对该垄断厂商采取限价措施迫使其达到完全竞争{亍业所能达到的产量水平，则限价应为多少?

(3)如果政府打算对该垄断厂商征收一笔固定的调节税，以便把该厂商所获得的超额利润都拿去，试问这笔固定税的总额是多少?

(4)如果政府对该垄断厂商生产的每单位产品征收产品税1单位，新的均衡点如何? 解：(1)已知P ＝10-3Q ，则MR ＝10-6Q 又知成本函数 TC＝Q 2+2Q ∴ MC＝(TC)’＝2Q+2利润极大化的条件是 MC=MR

即2Q+2＝10-6Q 得Q ＝1

把Q ＝1代入P ＝10-3Q 中得：P ＝10-3×1＝7

利润π＝TR-TC ＝PQ-(Q2+20)＝7×1-（12+2×1）＝4

(2)政府采取限价措施使垄断者达到完全竞争行业所能达到的产量水平。完全竞争条件下利润极大化的条件是P ＝MC 即10-3Q ＝20+2 ∴ Q＝1.6 把Q ＝1.6代入P ＝10-3Q 中得：P ＝10-3×1.6＝5.2。此时的利润π＝TR-TC ＝PQ-(Q +2Q)＝5.2×1.6-1.6+2×1.6）＝-2.56 说明在政府限价时，厂商亏损了。

(3)如果政府征收的固定调节税恰好是把该厂商的超额利润都拿走，则政府对该厂商征收的固定调节税就是4单位，征税后产量、价格都没有变，垄断厂商的超额利润为零。

(4)如果政府对垄断厂商的每单位产品征收1单位的产品税，这种单位产品税是随着产量变化而变化的一项可变成本，它会导致垄断厂商的AC 曲线和MC 曲线向上移动，使原有的均衡位置发生变化。由于增加单位产品税如同增加MC ，故征税后均衡条件为：MC+1＝MR 即(2Q+2)+1＝10-60 ∴ Q＝7/8＝0.875

把Q ＝古代入P ＝10-328中得：P=7.375

征收单位产品税后的利润π＝TR-TC ＝PQ-(Q2+2Q)＝ 7.375×0.875-(0.8752+2×0.875) ＝3.9375

征收单位产品税之前，垄断厂商的均衡产量为1单位，制定的价格为7单位，利润为4单位。征收单位产品税后，均衡点位置发生了变化。垄断厂商新的均衡产量为0.875单位，制定价格为 7.375单位，利润π为3.9375单位。

22

22. 假定对劳动的市场需求曲线为D L ＝-10W+150，劳动的供给曲线为S L ＝20W ，其中S L 、D L 分别为劳动市场供给，需求的人数，W 为每日工资。问：

(a)在这一市场中，劳动与工资的均衡水平为多少?

(b)假如政府希望把均衡工资提高到6元/日，其方法是将钱直接补贴给企业，然后由企业给工人提高工资。为使职工平均工资由原来工资提高到6元/日，政府需补贴给企业多少? 新的就业水平是多少? 企业付给职工的总补贴将是多少?

(c)假如政府不直接补贴给企业，而是宣布法定最低工资为6元/日，则在这个工资水平下将需求多少劳动? 失业人数是多少?

解：据题设，DL ＝-10W+150，SL ＝20W

(a)均衡时有DL ＝SL ，-10W+150＝20W ，得W ＝150/30＝5 (元) ，QL ＝DL ＝SL ＝20×5＝100(人)

(b)如图9—9所示，当均衡工资提高到W' ＝6时，Q'L ＝S'L ＝6×20＝120，新的就业水平即为120人。

设政府给企业的单位劳动补贴为S 元，则补贴后的劳动需求曲线为

D'L＝-10(W'-s)+150

将W' ＝6，Q'L ＝120代入，得

S=W'+D'L/10-15=6+120/10-15=3

于是政府付给企业的补贴额为s ·Q'L ＝3×120＝360元，企业付给职工的补贴额为(W'-W)·Q'L ＝(6-5)×120＝120元

(c)若政府宣布法定最低工资为6元/日，则此时劳动需求 DL＝-10× 6+150＝90人，而劳动供给SL=20×6＝120人，故失业人数为SL-DL ＝120-90＝30人

23. 假设某国的总生产函数为Q=ALrs K 1-rs 。其中：Q 为实际国民生产总值，L 为劳动，K 为实物资本，r 为常数，s 为劳动力平均受教育年限。

(a)试导出劳动所得在国民收入中所占份额的表达式(即总产出中付给劳动工资的份额比重) ；(假定劳动市场为完全竞争市场)

(b)显示劳动力平均受教育年限的增加对劳动所得份额的影响；

(c)说明实物资本的积累对劳动所得份额的影响。

解：(a)设P 为一般物价水平，因劳动市场为完全竞争市场，故

w＝VMPL ＝P ·MPPL ＝P ·

于是劳动所得份额为 ∂Q ＝P ，rs ·A ·L rs -1⋅K 1-rs ∂L

WL P ⋅rs ⋅A ⋅L rs -1⋅K 1-rs ⋅L ==rs ρL =rs 1-rs PQ P ⋅AL K

(b)∂ρL ∂=(rs ) =r ，即劳动力平均受教育年限增加1％，劳动所得份额将增加r ％。 ∂s ∂s

∂ρL ∂=(rs ) =0，即实物资本的积累对劳动所得份额没有影响。 ∂K ∂K

0.50.5 (c)24. 假设一厂商在完全竞争的产品和要素市场上从事生产经营。其生产函数为Q=48LK ，

其中Q 为产品的年产出吨数，L 为雇佣的工人人数，K 为使用的资本单位数。产品的售价为每吨 50元，工人的年工资为14 400元，单位资本的价格为80元。在短期，资本为固定要素，该厂商共拥有3 600单位的资本。

(a)在短期，试计算：

(i)该厂商劳动需求曲线的表达式；

(ii)工人的均衡雇佣量；

(iii)短期均衡时该厂商对劳动的点需求弹性；

(iV)该厂商的年纯利润。

(b)在长期，设产品价格和劳动的工资率仍保持不变，该厂商所在行业具有成本递增性质，因为该行业扩张时资本价格会随之上涨。试计算：

(i)资本的长期均衡价格；

(ii)在长期该厂商雇佣的均衡工人数量。

解；(a)由生产函数及给定K ＝3 600，得 MPP L =∂Q =24L -0. 5⨯36000. 5=1440L -0. 5 ∂L

因产品和要素市场均为完全竞争，故均衡时有W=VMPL ＝ P×MPP L ，又由题设P ＝50，于是

W =VMP L =50⨯1440L -0. 5=72000L -0. 5

(i) L =720002W -2=5184⨯106W -2

(ii)将W ＝14 400代入已得到的劳动需求函数，得

L =5184⨯106⨯14400-2=25(人)

(iii)由(i)，得

dL =5184⨯106⨯(-2) ⨯W -3 dW

dL W W =-2 ⋅=(-2) ⨯5184⨯106W -3⨯6-2dW L 5184⨯10W 于是，短期均衡时的劳动点需求弹性为： ε=

(iV)将L ＝25，K=3 600代入生产函数，得

X =48⨯250. 5⨯36000. 5=48⨯5⨯60=14400

于是，总收益TR ＝PX ＝50×14 400＝72 000

总成本 TC＝TFC+TVC＝3 600× 80+25×14 400= 648 000

故该厂商年纯利润为

π＝TR-TC=720 000-648 000＝72 000(元)

(b)(i)设资本的价格为R ，因在长期资本与劳动一样也成了可变要素，故均衡时有： MPP L W = MPP K R

24L -0. 5K 0. 5K W == 0. 5-0. 5L R 24L K

故 K＝LWR -1

对劳动的需求曲线即为VMP L 曲线，即

W =VMP L =24L -0. 5K 0. 5P

将K ＝LWR -1代入上式，得

W =24L -0. 5L 0. 5W -0. 5R -0. 5P

再将给定P=50、W=14 400代入，得

14400=24⨯144000. 5⨯50R -0. 5 ⎛1200⎫=100(元) R = 0. 5⎪⎝14400⎭2

(ii) 由于给定生产函数呈现固定规模报酬，同时要素市场又是完全竞争的，故在长期厂商的LAC 是固定不变的，厂商的生产规模和雇佣的工人人数是不定的。

25. 假设劳动者每天的时间资源24小时用T 表示，24小时中提供劳动的时间用W 表示，自留自用的时间即闲暇用L 表示，劳动的单位价格即工资率用只表示，劳动的收入用y 表示，

劳动者从劳动收入和闲暇中获得的总效用函数为：U ＝48L+Ly-L2，试求劳动供给曲线，并证明：①当R ＝0时，他完全不劳动；②劳动供给W 随R 上升而增加；③不管工资率只有多高，劳动时间W 不超过12小时。

解：根据要素(劳动) 供给原则是闲暇边际效用与劳动收入边际效用之比等于工资率，即 dU

dL dU =R dy

∂U =48+y -2L ∂L 根据题意，

∂U =L ∂y

因此有：48+y -2L =R ……(1) L

而劳动收入y ＝WR ，…… (2)

闲暇L ＝T-W ……(3)

将上述收入与闲暇的关系式(2)和(3)代入(1)

48+WR-2(T-W)=R(T-W)，化简得； W =T (R +2) ……劳动供给函数 2(R +1)

证明：①当R ＝0时，由于人一天的时间资源T 为24小时，

因此，W =24(0+2) -48=0 2(0+1)

T ⋅2(R +1) -2T (R +2) +2⨯4896-2T 48工作时间随工==>0所以，4(R +1) 24(R +1) 24(R +1) 2 ②dW /dR =

资率提高而增加

③lim W =12 (因为W =R →∞TR +2T -48TR +48-48TR 24，当R →∞时，===22(R +1) 2R +22R +22+R

R →∞lim W =12，所以不管工资率有多高，他每天工作时间不超过12小时。

21