2014.11.3幂函数题型

幂函数题型归纳

一、求解析式

例1．已知函数

f (x )=(m 2-m -1)x -5m -3，当 m 为何值时，f (x )：

（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数； (0, +∞)上的增函数；

（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是简解：（1）m =2或m 变式训练： 已知函数

=-1（2）m =-1（3）m =-

42

（4）m =-（5）m =-1 55

f (x )=(m 2+m )x m

2

-2m -3

，当 m 为何值时，

f (x )在第一象限内它的图像是上升曲线。m ∈(-∞, -1)(3, +∞)

例2．已知幂函数y =x

m 2-2m -3

（m ∈Z ）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值．（m =0或

m =2）．

练、1、如果幂函数y ＝(m －3m ＋3) ·xm －m －2的图象不过原点，则m 的取值是( ) A ．－1≤m ≤2 B．m ＝1或m ＝2 C．m ＝2 D．m ＝1

22

2、函数f (x ) ＝(m －m －1) xm ＋m －3是幂函数，且当x ∈(0，＋∞) 时，f (x ) 是增函数；

求f (x ) 的解析式． 3、已知y ＝(m ＋2m －2) x

2

2

2

1

＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值． m －1

2

4、已知函数5、幂函数

f (x )=x -k

2

+k +2

(k ∈Z )满足f (2)

7+3t -2t 2

5

f (x ) =(t 3-t +1) x

是偶函数，且在(0,+∞) 上为增函数，求函数解析式.

1

6．幂函数y =f (x ) 的图象过点(4,) ，则f (8)的值为 .

2

7．比较下列各组数的大小： (a +2) a ； (5+a ) 5； 0.40.50.50.4.

2

32

32

-

23

-

23

8．幂函数的图象过点(2,

14

), 则它的单调递增区间是 ．

a

9．设x ∈(0, 1)，幂函数y ＝x 的图象在y ＝x 的上方，则a 的取值范围是 ． 5．函数y ＝x 在区间上 是减函数． 二、比较大小

4-3

例、比较0.8，0.9

故0.8

0.5

0.50.5

，0.9

-0.5

的大小．

12

练、1、比较大小：

（1）1.5,1.7 （2）(-1.2) ,(-1.25) （3）5.25,5.26,5.26（4）0.53,30.5,log 30.5

-1-1-233

解：（1）1.5(-1.25) （3）5.25>5.26>5.26 （4）log 30.5

1

2

33-1-1-2

1212

2、比较下列各组数的大小：（1）1.5，1.7，1； （2）

（－

-2

3

25

35

1313

2

）

-

23

，（－

107

），1.1

2

3

-

43

；

（3）3.8，3.9，（－1.8）； （4）3，5.

3

5

35

1.5

1.5

1.41.5

3、11、比较下列各组中两个数的大小：（1）1. 5，1. 7；（2）0.7，0.6；（3）(－1. 2)

3

5

35

32

2－3

，(－1. 25)

2

－3

－

23

．

－23

（1）1.5＜1.7，∴1. 5＜1. 7，（2）考查幂函数y ＝x 的单调性，同理0.71.5＞0.61.5． （3）(－1. 2) 三、求参数的范围

例1 已知幂函数y =x m -2(m ∈N ) 的图象与x ，y 轴都无交点，且关

于y 轴对称，求m 的值，并画出它的图象． 解： 当m =0时，函数为y =x ，图象如图1； 当m =2时，函数为y =x =1(x ≠0) ，图象如图2． 变式训练：

1、已知函数f (x )=m +m x

2

＞1. 25

．

-2

()

m 2-2m -3

，当 m 为何值时，f (x )在第一象限内它的图像是上升曲线。

m ∈(-∞, -1)(3, +∞)

2、已知幂函数y =x m -6(m ∈Z ) 与y =x 2-m (m ∈Z ) 的图象都与x 、y 轴都没有公共点，且 y =x m -2(m ∈Z ) 的图象关于y 轴对称，求m 的值．

3、y =x

a 2-4a -9

是偶函数，且在(0, +∞) 是减函数，则整数a 的值是 .

a

4、当x ∈（1，＋∞）时，函数）y ＝x 的图象恒在直线y ＝x 的下方，则a 的取值范围是

A 、a ＜1

a

B 、0＜a ＜1 C 、a ＞0 D 、a ＜0

5、若幂函数y =x 的图象在0

例1、已知函数y ＝415（1）求函数的定义域、值域； －2x －x ．（2）判断函数的奇偶性；（3）求函数的单调区间．

例2、求函数y ＝x ＋2x ＋4（x ≥－32）值域． ［3，＋∞）． 练．1、函数y ＝（x －2x ）

2

2

2

515

－

12

的定义域是（ ）

A ．{x |x ≠0或x ≠2} B ．（－∞，0） （2，＋∞） C．（－∞，0）］ ［2，＋∞］ D ．（0，2）答案：B 2．函数y ＝（1－x ）的值域是（ ）

A ．［0，＋∞］ B ．（0，1） C．（0，1） D．［0，1］ 答案：D 五、单调性 例、若(a +1)

-1

3

1

3，求实数

2

12

-

a 的取值范围．

练．1、已知函数y ＝415（1）求函数的定义域、值域； （2）判断函数的奇偶性； －2x －x 2．

（3）求函数的单调区间．（（1）定义域为［－5，3］，值域为［0，2］；（2）函数即不是奇函数，也不是偶函数；（3）（1，3］．）

2、函数y ＝x 的单调递减区间为（ ）A ．（－∞，1） B ．（－∞，0） C．［0，＋∞］D ．（－∞，＋∞）答案：B

六、解不等式 例、若a ＜a

1

2

－1225

，则a 的取值范围是（ ）

A ．a ≥1 B ．a ＞0 C．1＞a ＞0 D．1≥a ≥0 答案：C 练．1、已知2、若(a ＋1)

2

x 3

>

5x 3

，x 的取值范围为

1－2

－

12

＜(3a －2)

，则a 的取值范围是____；

B 、0＜x ＜1

3、8、使x 2＞x 3成立的x 的取值范围是 A 、x ＜1且x ≠0 C 、x ＞1 D 、x ＜1

4．一个幂函数y ＝f (x ) 的图象过点(3, 427), 另一个幂函数y ＝g (x ) 的图象过点(－8, －2),

(1)求这两个幂函数的解析式； （2）判断这两个函数的奇偶性； （3）作出这两个函数的图象，观察得f (x )

例、解方程x -4x +3=0 八、幂函数的图像

例、1若四个幂函数y ＝x ，y ＝x ，y ＝x ，y ＝x 在同一坐标系中的图象如右图，则a 、

b 、c 、d 的大小关系是 A 、d ＞c ＞b ＞a B 、a ＞b ＞c ＞d C 、d ＞c ＞a ＞b D 、a ＞b ＞d ＞c 例、2函数f (x ) =

a

b

c

d

2313

x +2

的对称中心是_______，在区间上是___函数（填“增”或“减”）. x +3

m

n

练、1、如图是幂函数y ＝x 与y ＝x 在第一象限内的图象，则( ) A、-1

C．－11 D．n 1

2、图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象，已知n 取±2，±1四个值，则相应于曲线c 1，c 2，c 3，c 4的n

2

依次是(92(6)3分) A. －2，－1, 1，2

22

11

B.2，, -，－2 C.－1，－2，2，1 D. 1，2，－2，－1

222222

3 4

九、幂函数定点问题

例、求y =(x +6) 4-3的定点 十、讨论函数性质

1

例1、讨论函数f (x ) =x m

2

+m +1

(m ∈N *) 的定义域、奇偶性和单调性．

∴函数f (x ) 的定义域为R ．

∴f (x ) 是R 上的奇函数．

+∞) 上单调递增． ∴函数f (x ) 在(-∞，

例2

、求函数

y =（其中a ≠0，n ∈N *）的定义域和值域，并讨论奇

偶性与单调性．

解：分两种情况讨论：

（1）当k 为偶数时，函数的定义域由x 2n -a 2n ≥0决定．故x 2n ≥a 2n ，得x ≥a ，即函数的定义域为

{x |x ≤-a ，或x ≥．

函数显然是偶函数，它在区间⎡+∞)；在区间(-∞，-a ⎦⎤上为减函数，+∞)上为增函数，所以y ∈[0，⎣a ，y ∈[0，+∞)．故函数的值域为[0，+∞)．

（2）当k 为奇数时，函数的定义域为R ．

+∞，在区间(-∞， 函数显然是偶函数，由于在区间[0，+∞)内函数为增函数，

所以y ∈⎡0]内函数为减函

⎣

+∞

，故其值域为⎡+∞． 数，所以y ∈⎡⎣⎣

)

))

例3 已知幂函数 （1）求函数

f (x ) =x

m 2-1

的图象与x ，y 轴都无交点，且关于原点对称．

f (x ) =x

m 2-1

的解析式；

b

的奇偶性． f (x )

（2

）讨论函数F (x ) = 解： f (x ) =x -1． （2

）F (x ) =b a a a =-bx F (-x ) =+bx -F (x ) =-+bx ， ．，x -1x x x

因此，F (x ) 的奇偶性，由参数a ，b 是否为零决定． ①当a ≠0，且b ≠0时，F (x ) 是非奇非偶函数；

②当a =0，且b ≠0时，F (x ) 是奇函数；③当a ≠0，且b ≠0时，F (x ) 是偶函数； ④当a =0，且b ≠0时，F (x ) 既是奇函数又是偶函数．

（1）若图象与x ，y 轴都无交点，则α≤0；（2）若图象过原点，则α>0；（3）若图象关于y 轴对称，则α为偶数；

（4）若图象关于原点对称，则α为奇数． 例4 已知x >x ，求x 的取值范围． 答案：x 的取值范围是x >1或

2

13

幂函数习题精选

一、选择题： 1．在函数

y =

1

, y =3x 2, y =x 2-x , y =x 0中，幂函数的个数为 ( ) 3x

D ．3

A ．0 B ．1 C ．2

2、幂函数的图象都经过点（ ）A ．（1，1） B ．（0，1） C ．（0，0）D ．（1，0）

5

2

3、幂函数

y =x

-

的定义域为（ ）A ．(0,+∞) B．[0,+∞) C．R D．(-∞，0)U (0,+∞)

4．若幂函数定 5．若a

f (x )=x a 在(0, +∞)上是增函数，则 ( ) A ．a >0

12

12

B ．a

D ．不能确

=1.1, b =0.9

-

，那么下列不等式成立的是 ( ) A ．a

D ．1

D ．不能确

6．若幂函数定 7．若点

f (x )=x m -1在(0，+∞)上是减函数，则 ( )A ．m >1 B ．m

C ．m =l

A (a , b )在幂函数y =x n (n ∈Q )的图象上，那么下列结论中不能成立的是

⎧a >0⎧a >0⎧a

A ．⎨ B ．⎨ Ｃ．⎨ D ．⎨

b >0b 0⎩⎩⎩⎩

8、使x 2＞x 3成立的x 的取值范围是 A 、x ＜1且x ≠0 B 、0＜x ＜1 C 、x ＞1 9、若四个幂函数y ＝x ，y ＝x ，y ＝x ，y ＝x 在同一坐标系中的图象如右图，则a 、b 、c 、d 的大小关系是 A 、d ＞c ＞b ＞a B 、a ＞b ＞c ＞d C 、d ＞c ＞a ＞b D 、a ＞b ＞d ＞c

10、当x ∈（1，＋∞）时，函数）y ＝x 的图象恒在直线y ＝x 的下方，则a 的取值范围是

A 、a ＜1

二、填空题： 12、若(a ＋1)

－1

2

a

a

b

c

d

D 、x ＜1

B 、0＜a ＜1 C 、a ＞0 D 、a ＜0

＜(3a －2)

1－2

，则a 的取值范围是____；13. 函数

y =x

-

32

的定义域为___________.

14. 设

f (x )=(m -2)x m +1，如果f (x )是正比例函数，则m=____ ,如果f (x )是反比例函数，则m=______,如果f(x)是幂函数，

则m=____．

15．若幂函数16、函数

y =(m 2-m -1) x m -2m -1在(0, +∞) 上是增函数， m =___________.。

x +2f (x ) =的对称中心是_______，在区间上是___函数（填“增”或“减”）.

x +3

2

2

三、解答题： 18. 已知函数f (x ) =(m

+2m ) x

m 2+m -1

，m 为何值时，f (x ) 是（1）正比例函数 （2）反比例函数 （3）二次函数 （4

）幂

函数

19、已知幂函数f （x ）＝x （x ）

13-p 2+p +22

（p ∈Z ）在（0，＋∞）上是增函数，且在其定义域内是偶函数，求p 的值，并写出相应的函数f