初中数学竞赛专题培训(6):代数式的求值

初中数学竞赛专题培训 第六讲 代数式的求值

代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切．许多代

所以

a+b+c=0或bc+ac+ab=0． 若bc+ac+ab=0，则

数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、约分、根式的性质等等，经过恒等变形，把代数式中隐含的条件显现出来，化简，进而求值．因此，求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合例题逐一介绍．

1．利用因式分解方法求值

因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求值中，经常被采用．

分析 x的值是通过一个一元二次方程给出的，若解出x 后，再求值，将会很麻烦．我们可以先将所求的代数式变形，看一看能否利用已知条件．

解 已知条件可变形为3x 2

+3x-1=0，所以 6x 4

+15x3

+10x2

=(6x4

+6x3

-2x 2

)+(9x3

+9x2

-3x)+(3x2

+3x-1)+1 =(3x2

+3x-1)(2z2

+3x+1)+1 =0+1=1．

说明 在求代数式的值时，若已知的是一个或几个代数式的值，这时要尽可能避免解方程(或方程组) ，而要将所要求值的代数式适当变形，再将已知的代数式的值整体代入，会使问题得到简捷的解答．

例2 已知a ，b ，c 为实数，且满足下式： a 2

+b2

+c 2=1，①

求a+b+c的值．

解 将②式因式分解变形如下

即

(a+b+c)2

=a2

+b2

+c2

+2(bc+ac+ab) =a2

+b2

+c2

=1，

所以 a+b+c=±1．所以a+b+c的值为0，1，-1． 说明 本题也可以用如下方法对②式变形：

即

前一解法是加一项，再减去一项；这个解法是将3拆成1+1+1，最终都是将②式变形为两个式子之积等于零的形式． 2．利用乘法公式求值

例3 已知x+y=m，x 3

+y3

=n，m ≠0，求x 2

+y 2

的值． 解 因为x+y=m，所以

m 3

=(x+y)3

=x3

+y3

+3xy(x+y)=n+3m·xy ，

所以

求x 2

+6xy+y2

的

值．

分析 将x ，y 的值直接代入计算较繁，观察发现，已知中x ，

y 的值正好是一对共轭无理数，所以很容易计算出x+y与xy 的值，

由此得到以下解法．

解 x2

+6xy+y2

=x2

+2xy+y2

+4xy =(x+y)2

+4xy

3．设参数法与换元法求值

如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数(也叫辅助未知数) ，以便沟通数量关系，这叫作设参数法．有时也可把代数式中某一部分式子，用另外的一个字母来替换，这叫换元法．

分析 本题的已知条件是以连比形式出现，可引入参数k ，用它表示连比的比值，以便把它们分割成几个等式．

x ＝(a-b)k ，y ＝(b-c)k ，z ＝(c-a)k ． 所以

x+y+z=(a-b)k ＋(b-c)k+(c-a)k=0．

u+v+w=1，①

由②有

把①两边平方得

u 2+v2+w2

+2(uv+vw+wu)=1， 所以u 2

+v2

+w2

=1， 即

两边平方有

所以

4．利用非负数的性质求值

若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用．

例8 若x 2-4x+|3x-y|=-4，求y x

的值．

分析与解 x ，y 的值均未知，而题目却只给了一个方程，似乎无法求值，但仔细挖掘题中的隐含条件可知，可以利用非负数

的性质求解．

因为x 2

-4x+|3x-y|=-4，所以 x 2

-4x ＋4＋|3x-y|=0， 即 (x-2) 2

+|3x-y|=0．

所以 yx

=62

=36．

例9 未知数x ，y 满足

(x2

＋y 2

)m 2

-2y(x+n)m+y2

+n2

=0， 其中m ，n 表示非零已知数，求x ，y 的值．

分析与解 两个未知数，一个方程，对方程左边的代数式进行恒等变形，经过配方之后，看是否能化成非负数和为零的形式． 将已知等式变形为

m 2

x 2

+m2y 2

-2mxy -2mny+y2

+n2

=0，

(m2x 2

-2mxy+y2

)+(m2y 2

-2mny+n2

)=0，即 (mx-y) 2

+(my-n) 2

=0．

5．利用分式、根式的性质求值

分式与根式的化简求值问题，内容相当丰富，因此设有专门

讲座介绍，这里只分别举一个例子略做说明． 例10 已知xyzt=1，求下面代数式的值：

分析 直接通分是笨拙的解法，可以利用条件将某些项的形式变一变．

解 根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为

3．已知a +b+c=3，a +b+c=29，a +b+c=45，求

零的式子，分式的值不变．利用已知条件，可将前三个分式的分

ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)的值．(改)

母变为与第四个相同．

3

3

3

2

2

2

3

3

3

2．已知x+y=a，x +y=b，求x +y的值．

2

2

2

4

4

(第一个分母改为x )

5．设a+b+c=3m，求(m-a) +(m-b) +(m-c) -3(m-a)(m-b)(m-c) 的

同理

8．已知13x -6xy+y-4x+1=0，求(x+y)^13·x^10的值．

1.383

2.(b+2ab -a )/2 3.42 4.2 5.0 6.2

分利用这种对称性，或称之为整齐性，来简化我们的计算．

7.8 8.8

4

22

4

2

2

值．

分析 计算时应注意观察式子的特点，若先分母有理化，计算反而复杂．因为这样一来，原式的对称性就被破坏了．这里所言的对称性是

同样(但请注意算术根！)

将①，②代入原式有

练习六