奥数第一讲 一元二次方程及其应用
第一讲 一元二次方程及其应用
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【课前热身】
1.若关于x 的方程(x -2)(x 2
-4x +m )=0有三个整数根,且这三个整数根恰好可以作为一个三角形的三条边的长,则m 的值是___________,此时这个三角形是 三角形。
2.若a 2
+3a +1=0. 求a 2
+1
a
2的值为。
3.y =9a 2+72a +2的最小值为y =-9a 2
+72a +2的最大值为。
4.已知x 2
-5x +1=0,那么x x 2
-x +1
= . 5.如果多项式p =a 2+2b 2
+2a +4b +2008,则p 的最小值是( )
A 、2005 B 、2006 C 、2007 D 、2008
6.设m 2+m -1=0,则m 3+2m 2
+2010=
7.如果对于任意两个实数a 、b ,“*”为一种运算,定义为a *b =a +2b ,则函数y =x 2
*(2x ) +2*4(-3≤x ≤3)的最大值与最小值的和为 .
8. 设x 1,x 2关于x 的一元二次方程x 2
+ax +a =2的两个实数根,则(x 1-2x 2)(x 2-2x 1)的最大值
为 。 【知识点链接】
1. 一元二次方程根的判别式:
关于x 的一元二次方程ax 2
+bx +c =0(a ≠0)的根的判别式为 .
(1)b 2
-4ac >0⇔一元二次方程ax 2
+bx +c =0(a ≠0)有两个 实数根,即
x 1, 2=(2)b 2
-4ac =0⇔一元二次方程有x 1=x 2=(3)b 2-4ac
+bx +c =0(a ≠0)实数根.
2. 一元二次方程根与系数的关系
若关于x 的一元二次方程ax 2
+bx +c =0(a ≠0) 有两根分别为x 1,x 2,那么x 1+x 2=,
x 1⋅x 2= .
3. 二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0) 的最值问题讨论如下:
2
+c =a (x 2
+b a x ) +c =a (x +b 22a ) 2+c -b 4a =a (x +b 24ac -b 2
ax +bx 2a ) +4a
①当a
0时, 二次三项式ax 2
+bx +c 在a =-b 4ac -b 2
2a 时有最大值4a
②当a
0时,二次三项式ax 2
+bx +c 在a =-b 4ac -b 2
2a 时有最小值4a
【典例精析】
例1 设实数a ,b 满足:3a 2
-10ab +8b 2
+5a -10b =0,求u =9a 2
+72b +2的最小值.
解:
例2 设m是不小于-1的实数,使得关于x的方程x2+2(m-2)x+m2
-3m+3=0有两个不相等的实数根x1,x2.
(1)若x22
1+x2=6,求m的值;(2)求的最大值.
解:
例3 边长为整数的直角三角形,若其两直角边长是方程x 2-(k +2) x +4k =0的两根,求k 的值 并确定直角三角形三边之长. 解:
【巩固练习】
1.如果方程x 2
+px +1=0(p >0)的两根之差是1,那么p 的值为( )
(A)2(B)4(C)(D)5
2.小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学,一天他在解方程x 2
=-1时,突发奇想:x 2
=-1在实数范围内无解,如果存在一个数i ,使i 2
=-1,那么若x 2=-1, 则x =±i ,从而x =±i 是方程x 2
=-1的两个根。据此可知:①i 可以运算,例如:i
3
=i 2⋅i =-1⨯i =-i ,则 i
2011
=x 2
-2x +2=0的两根为(根用i 表示)
3.已知方程a 2x 2
-(
3a 2
-8a )
x +2a 2
-13a +15=0(其中a 是非负整数),至少有一个整数根,那么a =___________。
4.规定符号[x ]表示不超过x 的最大整数,例[3.1]=3, ⎢⎡-7⎥⎤⎣3⎦
=-3, [6]=6,
求:方程2-x 2=[x ]大于-3的x 的解
解:2-x 2≤2, ∴[x ]≤2;又由x >-3, ∴[x ]≥-3,即:-3≤[x ]≤2
5. 已知关于x 的一元二次方程x 2+cx +a =0的两个整数根恰好比方程x 2
+ax +b =0的两个根都大1,求a +b +c 的值.
解:设方程x 2
+ax +b =0的两个根为α,β,其中α,β为整数,且α≤β,
则方程x 2
+cx +a =0的两根为α+1
,β+1,由题意得
6.试确定,对于怎样的正整数a ,方程5x 2-4(a +3) x +a 2-29=0有正整数解?并求出方程的所有正整数解.
解:将方程改写为 (x -6) 2+(a -2x ) 2=65, 由于65表成两个正整数的平方和,只有两种不同的形式:65=12
+82
=42
+72