用向量运算证明两条直线垂直或求两直线所成的角
用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角
编号:10 编制:王井雷 审核:刘红英 时间:2012.2.18
【学习目标】
1、掌握两条直线垂直的充要条件,知道直线夹角和其方向向量夹角的关系。 2、会用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角。 【重点难点】
教学重点:用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角。 教学难点:直线的方向向量。 【知识梳理】
1、两条直线l1与l2所成的角,两条直线l1、l2的方向向量v1,v2所成的
角v1,v2的范围 ,与v1,v2的关系是 。
变式训练1:.已知正方体ABCD-ABCD 中,点E,F分别是棱BB与面对角线B'D'的中点。求证:直线EF直线A'D
例2.已知三棱锥O-ABC,OA=4,OB=5,OC=3,∠AOB= ∠BOC=60o, ∠COA=90o,M、N分别是棱OA、BC的中点。求直线MN与AC所成的角(用反三角函数表示)。
变式训练2:已知四棱锥SABCD的高SO3,底面是边长为2,ABC60的棱形,O为
2、l1l2,cos【课前达标】
1、若异面直线l1、l2的方向向量分别是a0,2,1,b2,0,4,则异面直线l1与l2的夹
角的余弦值等于( ) A、
25
B、
25
C、
5
D
、
5
2、在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E,F分别CC1,AD的
中点,那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于( ) A
5
B
5
C、
45
D、
23
底面的中心,E,F分别为SA和SC的中点,求异面直线BF与DE所成的角
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【典型例题】
例1.已知正方体ABCD-ABCD 中,点M、N分别是棱BB与对角线CA的中点。 求证:MNBB;MN AC。
【巩固练习】
1.在正三棱柱A1B1C1-ABC中,若1,则AB1与C1B所成的角的大小为( )
6.在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是一直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=a,AD=2a,且PA⊥底面ABCD,PD与底面成30°角. (1)若AE⊥PD,E为垂足,求证:BE⊥PD; (2)求异面直线AE与CD所成角的余弦值.
7.如图所示,直三棱柱ABC—A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M、N分别是A1B1、A1A的中点.
(1)求BN的长(2)求cos
>的值; (3)求证:A1B⊥C1M.
A.60 B.90 C.105 D.75
2.A1B1C1-ABC是直三棱柱, BCA=90,点D1,F1分别是A1B1,A1C1的中点,若
BC=CA=CC1,则BD1与AF1所成角的余弦值是( )
A.
3010
B.
12
C.
3015
D.
10
3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是A1B1的中点,F是B1D1的中点,则BE与DF所成角的余弦值为__________.
4. 已知F是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1的中点,则异面直线A1C1与DF所成的角的余弦值为__________.
5. 在棱长为1的正方体中ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为DD1、BD的中点,G在CD上,且CG
=CD/4,H为C1G的中点,
⑴求证:EF⊥B1C;⑵求EF与C1G所成角的余弦值;⑶求FH的长。
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