第六章 近独立粒子的最概然分布(复习要点)

第六章 近独立粒子的最概然分布(复习要点) 一、粒子微观运动状态的描述： 1、粒子运动状态的经典描述：

①、相空间、自由度；广义坐标、广义动量；

粒子微观状态⇔(q 1, q 2, , q r , p 1, p 2, p r )。 ②、经典粒子的微观状态与μ空间体积元的对应关系： 对于经典系统，由于对坐标和动量的测量总存在一定的误差，假设∆q ∆p =h ，这时经典系统的粒子运动状态

不能用一个点表示，而必须用一个体积元表示，该体积元的大小δq δq

1

r

r

即经典系统中粒子的一个微⋅δp 1 δp r =h 0

观状态在 μ 空间所占的体积。这里h 由测量精度决定

的一个常数。经典理论上h

→0

l

l

将μ空间划分为许多体积元∆τ，以ε表示运动状态处在∆τ内的粒子所具有的能量，则体积元∆τ内粒子可

l

l

能的运动状态数为ω

l

=

∆τl r h 0

其中∆τl =(∆q 1 ∆q r ∆p 1 ∆p r ) l ; l =1, 2,... k

2、粒子运动状态的量子描述：

①、波粒二象性、波函数、量子力学中力学量的算符表示；薛定谔方程

粒子微观运动状态波函数一组量子数

这组量子数的数目等于粒子的自由度数（不考虑自旋，

考虑自旋时应乘2S +1，S 为自旋量子数）

②、微观体积下，微观粒子的运动状态由波函数确定或由r （r 为自由度数。空间自由度和一个自旋自由度）个量子确定。并且微观粒子能量值和动量值的分离性很显著。

③、宏观体积下，量子态与相体积的关系---半经典近似

如果粒子局域于宏观体积下运动，能量值和动量值是准连续的。若粒子的自由度为r ，一个量子态占据的相体积为h 。

r

在相体积元d τ=dq ∙ ∙dq dp ∙ ∙dp 内的可能微观量子态为

1

r

1

r

d τdq 1∙ ∙dq r dp 1∙ ∙dp r

=h r h r

x

y

z

考虑r=3的六维相空间，相体积元d τ=dxdydzdp dp dp 内的

微观量子态为d τ=

h

3

dxdydzdp x dp y dp z

h

3

二、系统微观运动状态的描述

1、全同粒子与近独立粒子系; ①、系统由具有完全相同属性（相同的质量、电荷、自旋等）的同类粒子组成。②、系统中，每个粒子（分子、原子、离子、电子、光子等）具有相同的各种可能状态，系统的一个微观状态就是体系的粒子在这些可能的状态中的一种具体分布。 2、全同近独立粒子系统微观运动状态的描述：

体系全部粒子的微观状态确定之后，系统的微观态

即已确定。无论那个粒子微观状态的改变，均将改变系统的微态。在一定的宏观条件下，系统所可能的微观状态的总数是确定的。由于碰撞粒子之间不断交换能量，系统的微观状态总在不断的变化。 ①、 系统微观运动状态的经典描述： 1）可分辨 （可跟踪的经典轨道运动）

2）描述方式：由N 个全同粒子组成的系统在某时刻的微观运动状态可以在μ空间中用N 个点表示，体系的一个微观状态就是这N 个点在μ空间一个具体分布。 注意：由于粒子的可区分性，交换两个代表点在μ空间的位置，相应的系统的微观状态是不同的。 ②、系统微观运动状态的量子描述： 1）不可分辨 （物质波的非轨道几率运动） 2）描述方式：

a. 玻耳兹曼系统的微观运动状态（即确定体系的粒子在各种可能的状态中的具体分布）：归结为确定每一个粒子的个体量子态。

b. 玻色系统、费米系统的微观状态归结为确定每一个体量子态上的粒子数。 三、分布与系统微观状态数 1、能级分布与状态分布：

①、能级分布：在 N ，U ，V 确定的系统中，分布各能

级上的粒子数。

②、状态分布：是指粒子如何分布在各量子态上。 3、分布与微观状态数

状态数及各分布出现的几率、最概然分布。

{a l }：

⎧∆τ1, ∆τ2, , ∆τl , ⎪ε, ε, , ε, ⎪12l ⎨

⎪ω1, ω2, , ωl , ⎪⎩a 1, a 2, , a l ,

l

（1）、与分布{a l }对应的微观状态数为Ω(a ) ①、 ②、

ΩM . B . (a l )=

N!

∏ωl a l a l ! l

l

③、 ④、

ΩF . D . (a l )=∏

l

ωl !

a ! (ωl -a l )!

(ω+a l -1)!

ΩB . E . (a l )=∏l

a ! (ωl -1)! l

l

Ωcl (a l )=

∆ τN !

∏ (r l ) a l ∏ a l ! l h 0

l

（2）、分布{a }要满足的条件是：

=N ⎫

⎪l

{a l } a ε=E ⎬⇒一般有多种分布

∑l l ⎪l ⎭

l

∑a

（3）、等概率原理：在 N ，U ，V 确定的系统中，系统总的微观状态数Ω

总

=∑Ω(a l )系统某时刻的微观状态只是其中

a l

的一个。在宏观短，微观长时间内（一瞬间）系统经历了所有的微观状态∑Ω(a )----各态历经假说。

l

a l

且各微观态出现的概率相等p =

1

Ωa l a l

①、分布{a }出现的概率p

l

a l

=p Ω(a l )=

Ω(a l ) Ωa l a l

②、 最概然分布：理论计算及实验检验表明

Ω=∑Ω(a )~Ω(a )

总

l

m an

lm

a l

在粒子数足够多的宏观体系中，可以用Ω(a )来近似代表

man

lm

所有的微观态数的总和 4、三种最概然分布

⎫

δln Ω(a l )=0⎪

⎪⎪

a =N ⎬⇒a lm ∑l

推导方法：l ⎪

a l εl =E ⎪∑⎪l ⎭

①、玻耳兹曼分布a

l

=ωl e -α-βεl

l

②、玻色-爱因斯坦分布a ③、费米-狄拉克分布a 四、解题指导

l

=

ωl

e α+βεl -1

=

ωl

e α+βεl +1

[例1]、对于二维自由粒子，在长度L 2内，求粒子在ε到

ε+d ε的能量范围内量子态数D (ε)d ε

。

方法一：解，量子力学方法:

边长为L 的正方形平面内，粒子哈密顿算符的能量本征

1ˆ2 2

方程为H ϕ=P X +P Y ϕ=εϕ

2m

()

设：ϕ(x , y )=X (x )Y (y ) 则

2⎛∂2∂2⎫1d 2X 1d 2Y 2m ε ⎪-+XY =εXY ⇒+=-22m X dx 2Y dy 2∂y 2⎪ 2⎝∂x ⎭

2

1d 2X 2m ε21d Y 222

=-k ; =-k ; 其中k +k =x y x y

X dx 2Y dy 2 2

i

(p x x +p y y )1i (k x x +k y y )1

()()()ϕx , y =X x Y y =e =e 解得：

A A

L L ⎫⎫⎛L ⎫⎛⎛L ⎫利用周期性边界条件：ϕ⎛ -, y ⎪=ϕ , y ⎪; ϕ x , -⎪=ϕ x , ⎪

⎝

2

⎭

⎝2

⎭

⎝

2⎭

⎝

2⎭

得：

p x =

2π 2π

n x ; p y =n y , n x ; n y =0, ±1, ±2 L L

x

y

由上式可知，量子数n ，n 完全决定了粒子的量子状态。以n ，n 为直角坐标轴，构成二维量子数空间，每一组数

x

y

(n ，n )对应一个点，它代表一个量子态，这种点成为代表

x

y

点，此空间中边长为1的一个正方形（面积为1）内有1个代表点，即相应于1个量子态。

12π2 2222

由ε=p x +p y =2n x +n y 2

2m mL

()(

)可知，在数空间中能量ε的等能

线为半径R =(n

mL 2ε

πR =

2π 2

2

2x

+n

122y

⎛mL ε⎫= 2π2 2⎪⎪⎝⎭

2

的圆，它所包围的面积为

，而单位面积对应1个量子态，所以粒子能量小

，所以粒子在ε到ε+d ε的能量范

mL 2ε

于ε的量子态数为ω(ε)=2

2π

d ω(ε)2πL 2

d ε=2md ε围内的量子态数D (ε)d ε=d εh

2πL 2

其中：D (ε)=2m 为态密度，显然此情况在数空间态密度

h

是均匀的。

方法二： 解，半经典方法:由ε=量空间中，等能线满足p

dxdydp x dp y

h 2

2

x

122

p x +p y

2m

(

)可知，在二维动

2

等能线为半径等于2m ε+p y =2m ε，

的圆，由此求得粒子能量小于ε的量子态数：

ω(ε)=⎰

A

2

p x +p 2y ≤2m ε

⎰

2πL 2

=2m ε h

所以粒子在ε到ε+d ε的能量范围内的量子态数

d ω(ε)2πL 2

D (ε)d ε=d ε=2md ε

d εh

[例2]：（1）假设某种类型分子的许可能级为0、ω、2ω、

3ω、……，若

0和ω两能级是非简并的，而2ω和3ω两个能

级分别是6度和10度简并，如果体系含有6个分子，问与总能量3ω相联系的是什么样的分布？并根据公式

ΩM.B =

N!

ωl a l

∏a l ! l

l

计算每种分布的微观态数Ω, 并由此确定各

D

种分布的几率（设各种微观态出现的几率相等）。 解：粒子的在各能级的分布可以描述如下：

能 级 ε, ε

1

2

, ε3，ε4,

能量值 0, ω, 2ω,3ω

10 , 简并度 1, 1, 6，

分布数 a , a , a

1

2

4,

分布{a }要满足的条件是：

l

∑a

l

l

=N =6， ∑a l εl =E =3ω

l

满足上述限制条件的分布可以有：

D 1:{a l }={5, 0, 0, 1, 0 }

D 2:{a l }={4, 1, 1, 0, 0 }

D 3:{a l }={3, 3, 0, 0, 0 }

则各分布所对应的微观态数为：

ΩD 1=

6!

⨯10=60 5!

ΩD 2=

6!

⨯6=180 4!

ΩD 3=

6!

⨯1=20 3!3!

所以此种情况下体系的总的微观状态数为

Ω总=Ω1+Ω2+Ω3=260

各分布的几率为：

P D 1=

ΩD 1Ω总

60==0. 230 260

P D 2=

ΩD 2Ω总ΩD 318020

==0. 69 2 P D 3===0. 07 7260Ω总260

[例3]：设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N 和N ’. 粒子间的相互作用很弱，可看作是近独立的。假设粒子可分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制。试证明，在平衡态下两种粒子的最概然分布分别为：

a l =ωl e -α-βεl 和a '

l

''

=ωl e -α-βεl

l

l

其中ε和ε'是两种粒子的能级，ω和ω'是能级简并度。

l

l

证：粒子A 能级，粒子数分布：ε—{a l }—简并度ω

l

l

粒子B 能级，粒子数分布：ε'—{a ’l }—简并度ω'

l

l

体系两种粒子分布要满足的条件为： ∑a

l

l

=N ，∑a l '=N ' ∑a l εl +∑a l 'εl '=E

l

l

l

1=

分布{a }，对应的微观状态数为Ω

l

N!

ωl a l

∏a l ! l

l

分布{a '}，对应的微观状态数为Ω

l

2

=

N '!

ωl 'a l ' ∏a l '! l

l

则系统的微观态数为Ω=Ω

1

⋅Ω2

上式表明：当第一类粒子的分布为{a l }，而同时第二类粒子的分布为{a ’l }时系统的微观态数。

在平衡下两种粒子的最可几分布是对应于在限制条件

∑a

l

l

=N ，∑a l '=N ' ∑a l εl +∑a l 'εl '=E 下使ln Ω=ln Ω1⋅Ω2为极大的

l

l

l

分布。利用斯特林公式可得：

ln Ω=ln Ω1⋅Ω2=N ln N -∑a l ln a l +∑a l ln ωl +N 'ln N '-∑a l 'ln a l '+∑a l 'ln ωl '

l

l

l

l

由

δln Ω1⋅Ω2=0，得

δln Ω1⋅Ω2=-∑ln

l

⎛a l ⎫⎛a l '⎫

⎪ ⎪δa -ln δa l '=0 ∑l ⎪ ⎪'l ⎝ωl ⎭⎝ωl ⎭

而由限制条件可得：

∑δa

l

l

=0，∑δa l '=0

l

∑εδa +∑ε'δa '=0

l

l

l

l

l

l

引入拉氏不定乘子α，α'，β，得

⎛a l ⎫⎛a l '⎫⎛⎫

⎪ ''''''δln Ω1⋅Ω2-α∑δa l -α∑δa l -β ∑εl δa l +∑εl δa l ⎪=-∑ ln +α+βεl ⎪δa l -∑ ln +α+βεl ⎪δa l '=0⎪ωl ωl 'l l l l ⎝l ⎝⎝l ⎭⎭⎭

根据拉格朗日未定乘子法原理，每个δa 及δa '的系数都等于

l

l

零，所以得：

⎫

+α+βεl =0⎪ωl ⎪⎧a l =ωl exp [-α-βεl ] ⎬⇒⎨

a '=ωl 'exp [-α'-βεl ']a '

ln l +α'+βεl '=0⎪⎩l

⎪ωl '⎭ln

a l

讨论：

（1）、上面的推导表明，两种粒子各自遵从玻耳兹曼分布，两分布的α，α'不同，但有共同的β，原因在于开始就假设两种粒子的粒子数和能量具有确定值，这意味着在相互作用中两粒子可以交换能量，但不会相互转化。从上述结果还可看出，由两个弱相互作用的子系统构成的系统达到平衡时，两子系统有相同的β

（2）、如果把每一种粒子看作是一个子系统，则总系统是由两个子系统组成，在热平衡时，两子系统的温度相等。由于在热平衡时，两子系统的温度相等。从上面打推导中可看出，在热平衡时，两子系统的β是相同的，由此可见，参数β是一个与温度有关的量。

[例4]：求一个一维线性谐振子，在ε→ε+d ε的能量范围内粒子可能的状态数g (ε) d ε。

解：方法一、用量子力学方法求：一维谐振子的能量本征

11

=(n +) ω，能级非简并 n =ε/ ω-. 故ε→ε+d ε能量

22

范围粒子可能的状态数 g (ε) d ε=dn =1d ε、 ∴g (ε) =1；

ω ω

值为ε

n

方法二，用相空间方法求

由测不准关系有∆x ∆p X =h ，即一个状态对应相空间面 积

元的面积为h 。一维谐振子、当能量为ε的相轨道为 P X 21ε=+m ω2X 2即 2m 2 P X 2

(2m ) 2+X 2(2ε/m ω) 22=1

在相空间中能量小于ε

π2m ε∙2ε/m ω2=2πε/ω

2π(ε+∆ε) /ω的相面积为，能量小于ε+dε的面积为；能量在ε→ε+∆ε的相面积为2π(ε+∆ε) /ω-2πε/ω=2π∆ε/ω，

由此得到ε→ε+∆ε能量范围的状态数为

g (ε) ∆ε=2π1∆ε=∆ε, h ω ω∴g (ε) =1 ω

[例5]：设有某种气体分子，其能量和动量的关系是ε=cp ，其中c 为常量。试求这种粒子的能量在ε→ε+d ε范围的状态数。

解首先计算粒子能量小于某一数值ε的状态数(p

14πV (ε) =...... dxdydzdp p dp =∑z y z 3⎰⎰h h 3ε⎰0p 2dp =4πV ε3() 33h c

在粒子能量ε→ε+d ε范围内的量子态数为

1∂∑(ε) 4πV ε2

g (ε) d ε=3=33d ε h ∂εc h