南京市四星高中2011届高三摸底试卷(一)(1)
2011届江苏省南京市四星高中高三数学
摸底试卷（一）
一、填空题：本大题共14小题，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上． 1．若复数(2+a ) -ai （i 为虚数单位) 是纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ． 2．若sin(
π
6
-α) =-
13
，则cos(
x
π
3
+α) =．
3．过原点作曲线y =e 的切线，则切线方程为． 4
．设集合A ={x
13
x
B ={x
x -1x
6. 已知扇形的半径为10㎝，圆心角为120°，则扇形的面积为 ______▲_______．
7. 将函数y =sin 2x 的图象向左平移式是______▲_______．
8. 把一根均匀木棒随机地按任意点拆成两段，则“其中一段长度大于另一段长度2倍”的概率为______▲_______．
9. 学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图2所示，其中支出在[50,60) 元的同学有30人，则n 的值为______▲_______． 10. 已知抛物线y =2px (p >0) 焦点F 恰好是双曲线x a
22
2
π
4
个单位, 再向上平移1个单位, 所得图象的函数解析
0.036 0.024 0.01
-
y b
22
=1的右焦点，且双曲线过点（
3a p
2
,
2b p
2
），则该双曲线
的渐近线方程为______▲_______．
⎧log 2(x +1), x >0,
11. 已知函数f (x ) =⎨2 若函数g (x ) =f (x ) -m 有3个零点，则实数m 的
⎩-x -2x , x ≤0.
取值范围是______▲_______． 12. 当0≤x ≤
12
时，|ax -2x 3|≤
12
恒成立，则实数a 的取值范围是
14
(a n +3), n ∈N +. , 若对一切n ∈N +都有a n +1>a n ，
2
13. 首项为正数的数列{a n }满足a n +1=
则a 1的取值范围是
14．已知函数f (x ) =x -1，关于x 的方程f 2(x ) -f (x ) +k =0，给出下列四个命题：
① 存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ② 存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③ 存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④ 存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根. 其中真命题的序号为______▲_______．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分14分）已知A 、B 、C 为∆A B C 的三个内角，且其对边分别为a 、b 、c ，且2cos
2
A 2
+cos A =0．（1）求角A 的值； （2
）若a =b +c =4，求∆A B C
的面积．
16、如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA=AB=1，AD=3，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．
（1）求三棱锥E －PAD 的体积；
（2）点E 为BC 的中点时，试判断EF 与平面PAC 的位置 关系，并说明理由；
（3）证明：无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF ．
17. 某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为k 米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为8k 元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x 米时，相邻两座位之间的
钢管和其中一个座位的总费用为⎣
100
⎤
假设座位等距离分布，
且至少+2⎥k 元。
⎦
有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为y 元。 （1）试写出y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（2）当k =100米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？
18. 已知椭圆P 的中心O 在坐标原点，焦点在x
坐标轴上，且经过点A (0,, 离心率为
12
（1）求椭圆P 的方程：（2）是否存在过点E （0，－4）的直线l 交椭圆P 于点R ，T ，且
16满足O R ⋅O T =．若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
7
2
19. 数列{a n }满足：a n +1=3a n -3a n ，n =1, 2, 3, . （Ⅰ）若数列{a n }为常数列，求a 1的
值； （Ⅱ）若a 1=减.
|x |
20. 已知函数f (x )=a +
12
，求证：
23
34
；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求证：数列{a 2n }单调递
2a
x
(a >0, a ≠1)，
（1）若a >1，且关于x 的方程f (x )=m 有两个不同的正数解，求实数m 的取值范围；
（2）设函数g (x )=f (-x ), x ∈[-2, +∞)，g (x )满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与a 无关. 试求a 的取值范围．
2011届江苏省南京市四星高中 高三数学摸底试卷（一）
1、-2 j37 2、-
6、
1003
13
3、y =ex 4、{x -1
2
π㎝
2
7、y =2cos 2x 9、100
8、3 10
、y =±
4
x 11、(0,1) 12、-
12≤a ≤
32
13、03 14、①②③④ 15、（本小题满分14分） 解：（1）由2cos
2
A 2
+cos A ＝0，得1+cos A +cos A ＝0，即cos A =-
23
12
, ……4分
A 为∆A B C 的内角，∴A =π. …………………………………7分
（2）由余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc cos A ⇒a 2=(b +c ) 2-bc …………………9分
即12=42-bc ⇒bc =4 …………………………………………………12分 又S ∆ABC =
12
bc sin A =
3. ……………………………………………14分
16、（本小题满分14分） （1）解：∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥AD ，
∴三棱锥E －PAD
的体积为V = （2）当点E 为BC 的中点时，
EF 与平面PAC 平行. ∵在△PBC 中， E 、F 分别为BC 、PB 的中点， ∴EF//PC 又EF ⊄平面PAC ，
而PC ⊂平面PAC ∴EF//平面PAC.…9分
（3）证明：∵PA ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ，
∴EB ⊥PA. 又EB ⊥AB ，AB ∩AP=A，AB ，AP ⊂平面PAB ，
∴EB ⊥平面PAB ，
13
S ∆PAD ⋅AB =
11⋅⋅11=…………4分 326
又AF ⊂平面PAB ，∴AF ⊥BE.
又PA=AB=1，点F 是PB 的中点，∴AF ⊥PB ，
又∵PB ∩BE=B，PB ，BE ⊂平面PBE ，∴AF ⊥平面PBE.
∵PE ⊂平面PBE ，∴AF ⊥PE.……………………14分
17、（本小题满分15分）
解：（1）设摩天轮上总共有n 个座位，则x =
k
k n
即n =
k x
，
⎤⎛1020⎫k ⎡+20) x 2
， y =8k +⎢+2⎥k =k +⎪ ⎪x x ⎣100100⎦⎝x ⎭
定义域⎨x 0
⎩
⎧
k k ⎫
, ∈Z ⎬； ……………………6分 2x ⎭
（2）当k =
100时，令y =100
⎝
1000x
⎛1000
x
⎫
+20⎪
⎭
f (x ) =+
f '(x ) =-
1000x
2
+512
3
=
-1000+512x 2
x
3
2
=0，
2
∴x 2=
125
25⎛125⎫3
，（10分） ⇒x = =⎪
6416⎝64⎭
2516
) 时，f '(x )
2516
) 上单调减，
当x ∈(0,当x ∈(
2516
, 50) 时，f '(x ) >0，即f (x ) 在x ∈(2516
2516
, 50) 上单调增，
y m in 在x =
时取到，此时座位个数为
1002516
=64个。……………………15分
18、（本小题满分15分） 解：（1）设椭圆P 的方程为
x a
c
22
+
12
y b
22
=1(a >b >0)
由题意得
b=e =a
…………………………………………2分
a =2c, b ＝a -c =3c ∴
c ＝4, c =2, a =4………………………………………………… 5分
2
2222
∴椭圆P 的方程为：
x
2
16
+
y
2
12
=1 …………………………………………………… 7分
（2）假设存在满足题意的直线L. 易知当直线的斜率不存在时, OR ⋅OT
故设直线L 的斜率为k , R(x 1, y 1), T(x 2, y 2) .
1616 O R ⋅O T =, ∴x 1x 2+y 1y 2=. ………………………………………………8分
77
⎧y =kx -4
⎪22
由⎨x 2y 2得(3+4k ) x -32kx +16=0. ……………………………………9分
+=1⎪
⎩1612由∆>0得,(-32k ) -4(3+4k ) ⋅16>0解得k >∴x 1+x 2=
32k 3+4k
22
2
2
14
. . ……………………①
, x 1⋅x 2=
163+4k
2
2
. ……………………………………………11分
∴y 1⋅y 2=(kx 1-4)(kx 2-4) =k x 1x 2-4k (x 1+x 2) +16. ………………………12分
故x 1x 2+y 1y 2=
163+4k
2
+
16k
22
3+4k
-
128k
22
3+4k
+16=
167
. . 解得k =1. …②
2
由①、②解得k =±1.
∴直线 l 的方程为y =±x -4. ……………………………………………………14分
故存在直线 l :x +y +4=0或x -y -4=0满足题意. ……………………15分
19、（本小题满分16分）
解：（Ⅰ）因为数列{a n }为常数列，
所以a n +1=
a n ，a n =
23
解得a n =0或a n =
23
由n 的任意性知，a 1=0或a 1=所以a =0， 或a =
23
.
. ………………… 3 分
23
34
（Ⅱ）用数学归纳法证明
.
① 当n =1时，a 2=
34
，
符合上式. ………………… 4 分
② 假设当n =k (k ≥1) 时，
2391623
34
23
34
，
因为
，
23
916
23
所以
≤3a 2k -3a 2k
2
，即
≤a 2k +1
.
189256
从而
34
2
189256
，即
.
因为
189256
23
34
所以，当n =k +1时，
23
34
成立.
由①，②知，
. ………………… 9分
222 （Ⅲ）因为 a 2n -a 2n -2=3(3a 2n -2-3a 2n -2) -3(3a 2n -2-3a 2n -2) -a 2n -2
=-27a 2n -2+54a 2n -2-36a 2n -2+8a 2n -2 (n ≥2) ，
432
432
所以只要证明-27a 2n -2+54a 2n -2-36a 2n -2+8a 2n -2
由（Ⅱ）可知，a 2n -2>0，
32
所以只要证明-27a 2n -2+54a 2n -2-36a 2n -2+8
32
即只要证明27a 2n -2-54a 2n -2+36a 2n -2-8>0. …………………12分
令f (x ) =27x -54x +36x -8，
32
222
f '(x ) =27⨯3x -54⨯2x +36=9(9x -12x +4) =9(3x -2) ≥0，
所以函数f (x ) 在R 上单调递增. ………………… 14分
23
34
因为
，
23
32
所以f (a 2n -2) >f () =0，即27a 2-54a 2n -2+36a 2n -2-8>0成立. n -2
故a 2n
所以数列{a 2n }单调递减. ………………… 16分
20、（本小题满分16分）
20．解：(1)令a x =t ，x >0，因为a 同的正数解等价于关于t 的方程t +
2
>1，所以t >1，所以关于x 的方程f (x )=m 有两个不
2t
=m 有相异的且均大于1的两根，即 关于t 的方程
t -mt +2=0有相异的且均大于1的两根，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2
分
⎧∆=m 2-8>0, ⎪⎪m
所以⎨>1, ，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分
⎪2
⎪12-m +2>0⎩
解得
的取值范围为区间3) . „„„„„„„„„„„6分 (2)g (x ) =a |x |+2a x , x ∈[-2, +∞) ①当a >1时，
a ) x ≥0时，a x ≥1，g (x ) =3a x ，所以 g (x ) ∈[3,+∞) ， b ) -2≤
x
1a
2
≤a
2(a
x
x -x
+2a ，所以
x
g '(x ) =-a
-x
ln a +2a ln a =
x
)
x
2
-1
a
ln a „„8分
ⅰ当
1a
2
>
1
∀x ∈(-2, 0) ，g '(x ) >0，所以 g (x ) 在[-2, 0) 上递增，
所以 g (x ) ∈[a 2+
1a
2
2a
2
2
, 3) ，综合a ) b ) g (x ) 有最小值为a +
2a
2
与a 有关，不符合„„10分
ⅱ
当
≤
即a ≥
12
时，由g ' (x ) =0得x =-
1
1
log a 2，且当-2
12
log a 2]上递减，在
g ' (x )
1
log a 20，所以 g (x ) 在[-2, -
[-
⎛1⎫
log a 2, 0]上递增，所以g (x ) min =g -log a 2⎪=，综合a ) b ) g (x
) 有最小值为2⎝
2⎭
a 无关，符合要求．„„„12分
②当0
a ) b )
x ≥0时，0
x
x
-2≤x x
1a
2
，g (x ) =a -x +2a x ，
2(a
x
所以 g '(x )=-a -x ln a +2a x ln a=所以 g (x ) ∈(3,a 2+
2a
)
x
2
-1
a
ln a
]，综合a ) b ) g (x ) 有最大值为a +2
2
2a
2
与a 有关，不符合„„„14分
综上所述，实数a
的取值范围是a ≥
16分