中考中以正方形为背景的旋转问题
正方形探索题
1、如图1，正方形ABCD中对角线AC、BD相交于O，E为AC上一点，AG⊥EB交EB于G，AG交BD于F。
(1)说明OE=OF的道理；
(2)在（1）中，若E为AC延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于G，AG、BD的延长线交于F，其他条件不变，如图2，则结论：“OE=OF”还成立吗？请说明理由。 图1
图2
2、用两个全等的正方形ABCD和CDFE拼成一个矩形ABEF，把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边AF的中点D重合，且将直角三角尺绕点D按逆时针方
H
向旋转。
图3
A B
F A B
F E
图4
C C
G
（1）当直角三角尺的两直角边分别与矩形ABEF的两边BE，EF相交于点G，H时，如图3，通过观察或测量BG与EH的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论。 （2）当直角三角尺的两直角边分别与BE的延长线，EF的延长线相交于点G，H时（如图4），你在图3中得到的结论还成立吗？简要说明理由。
3、如图，将一把三角尺放在正方形ABCD上，并把它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B,另一边与射线OC相交于点Q，探究： ⑴当点Q在DC上时（图5），线段PQ与线段PB有怎样的大小关系？试说明你观察到的结论 ⑵当点Q在DC的延长线上时（图6），⑴中观察到的结论还成立吗？说明理由。
图6 图5
4、如图7，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。
解答下列问题：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°。 ①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图8，线段CF、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 。
②当点D在线段BC延长线上时，如图9，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动时。试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由。（画图不写作法）（初二）
图7 图8 图9
（3）若AC
＝BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．（初三） 解：（1）①CF与BD位置关系是 垂 直、数量关系是相 等； ②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立． 由正方形ADEF得 AD=AF ，∠DAF=90º．
∵∠BAC=90º，∴∠DAF=∠BAC ， ∴∠DAB=∠FAC， 又AB=AC ，∴△DAB≌△FAC ， ∴CF=BD
∠ACF=∠ABD．
∵∠BAC=90º， AB=AC ，∴∠ABC=45º，∴∠ACF=45º， ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即 CF⊥BD （2）画图正确
当∠BCA=45º时，CF⊥BD（如图丁）．
理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG 可证：△GAD≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45º ∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º． 即CF⊥BD （3）当具备∠BCA=45º时，
过点A作AQ⊥BC交BC的延长线于点Q，（如图戊） ∵DE与CF交于点P时， ∴此时点D位于线段CQ上，
∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4．设CD=x ，∴ DQ=4—x，
CPx
容易说明△AQD∽△DCP，∴CP=CD ， ∴=，
4-x4DQAQx21
∴CP=-+x=-(x-2)2+1．
44
∵0＜x≤3 ∴当x=2时，CP有最大值1．
F
B
G
D
图丁
E
C
F
A
E
QBDC
P
图戊
5、(2008黑龙江黑河)已知：正方形
中，
，
绕点
顺时针旋转，
它的两边分别交（或它们的延长线）于点． 当绕点旋转到时（如图1），易证（1）当绕点旋转到时（如图2），线段的数量关系？写出猜想，并加以证明． （2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段量关系？请直接写出你的猜想．
． 和和
之间有怎样
之间又有怎样的数
. 解：（1）如图，把
绕点
成立． 顺时针
，得到
，
则可证得证明过程中， 证得：证得：
（2）
三点共线（图形画正确）