高考数学专题讲座(四)

2008年高考数学专题讲座（四）

——化归与转化

谢金怀

（浙江省上虞市上虞中学 312300）

解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”。

化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化。一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程。数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。

转化有等价转化和非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。在不得已的情况下，进行非等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证, 它能带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。

我们结合几个例子来谈谈化归与转化的思想方法在解题中的重要作用。

例1．设集合M ={(x , y ) |x 2+y 2=1N ={(x , y )|x 2-y =0，x ∈R ，y ∈R |}，，x ∈R ，y ∈R |}，

则集合M N 中元素的个数为（ ）

A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

（2）设A 、B 、I 均为非空集合，且满足A ⊆B ⊆I ，则下列各式中错误的是（ ） A . (C I A ) B =I

C . A (C I B ) =φB . (C I A ) (C I B ) =I D . (C I A ) (C I B ) =C I B

解析：（1）将集合M N 中元素个数的符号语言转化为与之等价的文字语言：圆x 2+y 2=1与抛物线x 2-y =0交点的个数。因此在同一坐标系内作出圆x 2+y 2=1和抛物线y =x 的图象，观察可得选B ；

（2）将题设条件转化为图形语言，即构造图2，由图形逐一验证，得B 项不正确，故应选B 。 2

I

B

图2 A

点评：对于许多集合问题，通过转化，将不熟悉和难解的集合问题转化为熟知的易解的问题，将抽象的问题转化为具体的直观的问题，便于将问题解决。

例2．设f (x ) =2cos 2x +cos x -1(0

解析：令cosx=t,t ∈(-1, 1) , 则由f (x ) =k (cosx -2) 得2t 2+(1-k ) t +2k -1=0, (1) 方程f (x ) =k (cosx -2) 中的cosx 有两个不同的符号，等价于关于t 的方程(1)在t ∈(-1, 1) 有

⎧g (0) 0, 由此可得

⎪g (1) >0⎩

0

点评：在此例中，原表述让人有曲折难懂之感，因此采取了转化问题表述的策略，将问题作等价形式的转化，从而使问题思路明朗化。

2例3．若不等式x +px >4x +p -3对一切0≤p ≤4均成立，试求实数x 的取值范围。

22解析： x +px >4x +p -3 ∴(x -1) p +x -4x +3>0

2令g (p ) =(x -1) p +x -4x +3，则要使它对0≤p ≤4均有g (p ) >0，只要有

⎧g (0)>0 ∴x >3或x 0

点评：在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元，由于思维定势的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的。但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题中的地位，就能使问题迎刃而解。本题中，若视x 为主元来处理，既繁且易出错，实行主元的转化，使问题变成关于p 的一次不等式，使问题实现了从高维向低维转化，解题简单易行。

2222例4．（1）已知a ，b ∈R ，且a +b ≤1，求证：a +2ab -b ≤2；

证明：设a =r cos θ，b =r sin θ，其中r ≤1，θ∈0，2π

2222222 则a +2ab -b =r cos θ+2r sin θcos θ-r sin θ [)

=r 2cos 2θ+r 2sin 2θ

π⎫⎛=2r sin 2θ+⎪≤⎝4⎭2

22 ∴a +2ab -b ≤

原不等式得证。

点评：三角换元法：把代数形式转化为三角形式，利用三角函数的性质解决。

（2）若0

A ．a

π4 ，sin α+cos α=a ，sin β+cos β=b ，则（ ） B ．a >b D ．ab >2 C ．ab

解析：若直接比较a 与b 的大小比较困难，若将a 与b 大小比较转化为a 2与b 2的大小比较就容易多了。

因为a 2=1+sin 2α，b 2=1+sin 2β

又因为0

2

22 所以sin 2α

又因为a ，b >0，所以a

故选（A ）。

点评：体现在三角函数中是切割化弦、统一角、统一函数名称、换元等手段处理求值（域）、最值、比较大小等问题。

例5．某厂2001年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，问全年总利润m 与全年总投入N 的大小关系是 （ ）

A. m>N B. m

解析：每月的利润组成一个等差数列{an }，且公差d ＞0，每月的投资额组成一个等比数列{bn }，且公比q ＞1。a 1=b 1，且a 12=b 12，比较S 12与T 12的大小。若直接求和，很难比较出其大小，但注意到等差数列的通项公式a n =a1+（n-1）d 是关于n 的一次函数，其图象是一条直线上的一些点列。等比数列的通项公式b n =a1q n-1是关于n 的指数函数，其图象是指数函数上的一些点列。

在同一坐标系中画出图象，直观地可以看出a i ≥b i 则S 12＞T 12，即m ＞N 。

点评：数列是一种特殊的函数，动态的函数观点是解决数列问题的有效方法。数列的项

可看作定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数。把一个原本是求和的问题，退化到各项的逐一比较大小，而一次函数、指数函数的图象又是每个学生所熟悉的。在对问题的化归过程中进一步挖掘了问题的内涵，通过对问题的反思、再加工后，使问题直观、形象，使解答更清新。

例6．（1）如果，三棱锥P —ABC 中，已知PA ⊥BC ，PA=BC=l，PA ，BC 的公垂线ED=h．求证三棱锥P —ABC 的体积V =12l h ． 6

解析：如视P 为顶点，△ABC 为底面，则无论是S △ABC 以及高h 都不好求．如果观察图形，换个角度看问题，创造条件去应用三棱锥体积公式，则可走出困境．

如图，连结EB ，EC ，由PA ⊥BC ，PA ⊥ED ，ED ∩BC=E，可得PA ⊥面ECD ．这样，截面ECD 将原三棱锥切割成两个分别以ECD 为底面，以PE 、AE 为高的小三棱锥，而它们的底面积相等，高相加等于PE+AE=PA=l，所以

V P －ABC =VP －ECD +VA －ECD =1111112S △ECD •AE+S △ECD •PE=S △ECD •PA=•BC ·ED ·PA=V =l h ． 333326

评注：辅助截面ECD 的添设使问题转化为已知问题迎刃而解．

（2）如图，在三棱锥S-ABC 中，S 在底面上的射影N 位于底面的高CD 上，M 是侧棱SC 上的一点，使截面MAB 与底面所成角等于∠NSC 。求证：SC 垂直于截面MAB 。（83年全国高考）

分析：由三垂线定理容易证明SC ⊥AB ，再在平面SDNC 中利用平面几何知识证明SC ⊥DM 。 证明：由已知可得：SN ⊥底面ABC ，AB ⊥CD ，CD 是斜线SC 在底面AB 的射影，

∴ AB⊥SC 。

∵ AB⊥SC 、AB ⊥CD ∴ AB⊥平面SDNC

∴ ∠MDC 就是截面MAB 与底面所成的二面角

由已知得∠MDC ＝∠NSC

又∵ ∠DCM ＝∠SCN ∴ △DCM ≌△SCM

∴ ∠DMC ＝∠SNC ＝Rt ∠ 即 SC⊥DM

所以SC ⊥截面MAB 。

点评：立体几何中有些问题的证明，可以转化为平面几何证明来解决，即考虑在一个平面上的证明时运用平面几何知识。

例7．在(x +3x +2) 的展开式中x 的系数为( )．

(A)160 (B)240 (C)360 (D)800 25

解析：本题要求(x 2+3x +2) 5展开式中x 的系数，而我们只学习过多项式乘法法则及二项展开式定理，因此，就要把对x 系数的计算用上述两种思路进行转化：

思路1：直接运用多项式乘法法则和两个基本原理求解，则(x 2+3x +2) 5展开式是一个关于x 的10次多项式，(x 2+3x +2) 5 =(x+3x+2) (x+3x+2) (x+3x+2) (x+3x+2) (x+3x+2)，它的展开式中的一次项只能从5个括号中的一个中选取一次项3x 并在其余四个括号中均选

14择常数项2相乘得到，故为C 5·(3x)·C 4·2=5×3×16x=240x，所以应选(B)． 422222

思路2 利用二项式定理把三项式乘幂转化为二项式定理再进行计算，∵x +3x+2=x+ (3x+2)=(x+2)+3x=(x+3x)+2=(x+1)(x+2)=(1+x)(2+x)，∴这条思路下又有四种不同的化归

5与转化方法．①如利用x +3x+2=x+(3x+2)转化，可以发现只有C 5(3x+2)中会有x 项，即225

2241(x+2)+3x进行转化，则只C 5 (x+2) ·3x C 54(3x)·24=240x，故选(B)；②如利用x 2+3x+2= 2222

1中含有x 一次项，即C 5·3x ·C 4·2=240x；③如利用x2+3x+2=(x2+3x)+2进行转化，就只44

4有C 5·(x+3x)·2中会有x 项，即240x ；④如选择x +3x+2=(1+x)(2+x)进行转化，242

(x 2+3x +2) 5=(1+x ) 5×(2+x ) 5展开式中的一次项x 只能由(1+x)5中的一次项乘以(2+x)5展开式中的常数项加上(2+x)展开式中的一次项乘以(1+x)展开式中的常数项后得到，即为

4515510x ·C 52+C 5•2•x •C 5•1=160x+80x=240x，故选(B)． C 555

评注：化归与转化的意识帮我们把未知转化为已知。

例8．若f （x ）和g （x ）都是定义在实数集R 上的函数，且方程x －f ［g （x ）］＝0有实数解，则g ［f （x ）］不可能是（ ）

（A ）x 2＋x －1111 （B ） x 2＋x ＋ （C ）x 2－ （D ）x 2＋ 5555

解析：本题直接解不容易，不妨令f （x ）＝x ，则f ［g （x ）］＝g （x ），g ［f （x ）］＝g （x ），x －f ［g （x ）］＝0有实数解即x －g （x ）＝0有实数解。这样很明显得出结论，B 使x －g （x ）＝0没有实数解，选B

这种从抽象到具体再到抽象，使学生从心理上感到非常轻松，象这样常见抽象函数式还有一次函数型f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ）＋m ，对数函数型f （xy ）＝f （x ）＋f （y ），幂函数型f （xy ）＝f （x ）f （y ）。

点评：把抽象问题具体化是在数学解题中常有的化归途径，它是对抽象问题的理解和再认识，在抽象语言与具体事物间建立联系，从而实现抽象向具体的化归。

例9．在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有＿＿＿＿个。

解析：不能被5整除的数要分类讨论，情况较多，这时我们不妨换一个角度，从反面入手考虑。注意到不能被5整除实质上是末位数字不是0，也不是5。用间接法。

3所有四位数有A 1⋅A 55＝300个，

末位为0时有A 3

5＝60个，

2末位为5时有A 1

4⋅A 4＝48个，

∴满足题意的数共有300－60－48＝192个。

点评：一些数学问题，如果从条件出发，正面考虑较难较繁，不妨调整思考方向，从问题的结论入手，或从问题的条件与结论的反面入手进行思考，迂回地得到解题思路，这叫做“正难则反”。“正难则反”是一种重要的解题策略，灵活用之，能使许多难题、趣题和生活中的问题获得巧解。 B

例10．某区有7条南北向街道，5条东西向街道（如图）

（1）图中共有多少个矩形？（2）从A 点走向B

解析：该题也可创设排列组合这一解题情境即

（1）7条竖线中任选2条，5条横线中任选2条，这样4条线可组成一个矩形，故可组成

22的矩形有C 7C 5=210种

（2）每条东西向的街道被分为6段，每条南北向的街道被分为4段，从A 到B 的最短走法一定包括10段，6段东西，4段南北，每种走法即从10段中选出6段为走东西方向的，

64共有C 10=C 10=210种

点评：这个比较的抽象、新颖的题目，我们通过化归，运用已知的排列组合知识解决的巧妙而轻松。以后解题中碰到新颖或难度较大的题目，一定要巧创一定的解题情境，化归为用已知知识可以解决的问题。

例11．把一块钢板冲成上面是半圆形，下面是矩形的零件，其周长是P ，怎样设计才能使冲成的零件面积最大？并求出它的最大面积。

分析：这个实际问题可以转化成一个函数的最值问题来解决。

解析：如图，设矩形的一边长为x, 则半圆的周长为πx 2

1πx 2P -(π+2) x ) =矩形的另一边长为AB =(P -x - 224

设零件的面积为S ，则

S=1π22P -(π+2) x π+42P ∙x +x ∙x +x =-24482

b 2P P =∵a ＜0 ∴当x =-时，S 有最大值，这时AB=。 2a π+4π+4

P 2

∴当矩形的两邻边AB 与BC 之比为1︰2时，S max =。 8+2π

点评：实际问题转化为数学问题，用数学结果解释最终的实际问题。 1x 2y 2

例12．设椭圆C 1的方程为2+2=1(a ＞b ＞0) ，曲线C 2的方程为y =，且曲线C 1x a b

与C 2在第一象限内只有一个公共点P . （1）试用a 表示点P 的坐标；（2）设A 、B 是椭圆C 1的两个焦点，当a 变化时，求△ABP 的面积函数S (a ) 的值域；（3）记min{y 1, y 2, „„, y n }为y 1, y 2, „„, y n 中最小的一个. 设g (a ) 是以椭圆C 1的半焦距为边长的正方形的面积，试求函数f (a )=min{g (a ), S (a )}的表达式.

1x 21解析：（1）将y =代入椭圆方程，得2+22=1 x a b x

化简，得b 2x 4–a 2b 2x 2+a 2=0

由条件，有Δ=a 4b 4–4a 2b 2=0，得ab =2

解得x =a a a 2或x =–（舍去）故P 的坐标为(). , 222a

(2)∵在△ABP 中，｜AB ｜=2a 2-b 2，高为2, a

∴S (a ) =124⋅2a 2-b 2⋅=2(1-4) 2a a

224 ∴a ＞, 即a ＞2, 得0＜4＜1 a a a ∵a ＞b ＞0, b =

于是0＜S （a ）＜2，故△ABP 的面积函数S (a ) 的值域为(0,2)

(3)g (a )=c2=a 2–b 2=a 2–4442 解不等式g (a ) ≥S (a ) ，即a –≥2(1-) 224a a a

整理，得a 8–10a 4+24≥0，即(a 4–4)(a 4–6) ≥0 解得a ≤2（舍去）或a ≥6.

⎧24a -2(2

⎪2(1-4) (a

点评：将难以下手的题目转化为自己熟练掌握的基本问题，是应用化归思想的灵魂. 要求必须将各知识的内涵及关联做到转化有目标、转化有桥梁、转化有效果。第（1）问中将交点个数转化为方程组解的个数，易出现计算错误，不能借助Δ找到a 、b 的关系；第（2）问中考生易忽略a ＞b ＞0这一隐性条件；第（3）问中将min{g (a ), S (a )}转化为解不等式g (a ) ≥S (a ).

通过以上分析我们知道，在解题时，如我们能巧妙地运用化归和转化的方法和手段将问题朝我们熟悉的或有利的解题背景中转化，往往能使解题思路明朗，解题方法明确，最终使问题得到很好的解决。熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系。“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙。

最后，还必须说明，化归思想是中学数学解题的重要思想方法，但并非万能的方法，即并不是所有的问题都可以通过化归而得到解决的。化归思想的成功应用是以“数学发现”为前提的。因此，我们不能只停留在化归的分析，而必须有创新的精神，不断地进行新的研究，在研究中获得新方法、新理论。