平稳时间序列检验

第２８卷　第３期２０１０年７月

沈阳师范大学学报（自然科学版）

ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｈｅｎｙａｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ）

Ｖｏｌ畅２８，Ｎｏ．３文章编号：１６７３－５８６２（２０１０）０３－０３５７－０３

时间序列平稳性检验

刘罗曼

（沈阳师范大学数学与系统科学学院，辽宁沈阳　１１００３４）

摘　　　要：对于一个时间序列的分析首先要判断是否是平稳时间序列，即看它的均值和方差是否随时间的变化而变化，且自相关函数是否与时间间隔有关而与所处的时刻无关。通常，大多数时间序列是非平稳的。因此，首先要检验平稳性，然后再将非平稳时间序列转化成平稳时间序列。在时间序列分析中，为检验序列的平稳性，经常要用到一阶差分，二阶差分，有时为选择一个合适的时间序列模型还要对时间序列数据进行对数转换或平方根转换等。从时间序列数据和时间序列模型２方面来阐述时间序列平稳性的检验，共介绍４种检验法。在实际中可以将这些方法与实际背景相结合来判断时间序列的平稳性。

关　键　词：时间序列数据；时间序列模型；平稳性；检验法中图分类号：Ｏ２１２　　　文献标识码：Ａｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７３－５８６２．２０１０．０３．０１０

０　引　　言

时间序列分析是统计学的重要组成部分，其应用遍及经济学，工程学等各个领域［１－１０］。时间序列分析是建立在序列平稳性基础上的。因此，检验序列的平稳性至关重要。本文介绍几种简单的平稳性检

验方法。

１　利用时间序列数据检验平稳性

该种检验只需利用时间序列数据。

数据为１９８３年１１月至１９８９年１２月我国电风扇月销售量（共７４个数据）。变量：ｄａｔｅ（月份），ｓａｌｅｓ（电风扇销售量：万台）。１．１　逆序检验法

１）该序列共有７４个数据，分为Ｍ＝１２段，前１０段每段６个数据，后２段每段７个数据。每段按时间平均的均值序列如下：

ｙ１～ｙ５

ｙ６～ｙ１０ｙ１１～ｙ１２

１８．８６６７１９４．０６６７１２３．５７１４

７６．６６６７

６９．５８３３２０９．８５７１

１１

６２．５１６７

２５７．２８３３１７５．８５００

７４．８０００６４．２５００

３９３．６５００

２）计算均值序列逆序总数Ａ＝

Ａｉ

１１

６

９

４

７

ｉ＝１

钞

Ａｉ，其中Ａｉ（ｉ＝１，２，…，１１）为ｙｉ的逆序数。

３

５

１

３

０

１

Ａ＝

１１ｉ＝１

钞

Ａｉ＝５０

３）计算统计量进行统计检验

收稿日期：２００９－０８－１７

基金项目：辽宁省教育厅高等学校科学研究项目（２００６０８４２）。作者简介：刘罗曼（１９７７－），女，辽宁沈阳人，沈阳师范大学教师，硕士。

２Ｅ（Ａ）＝Ｍ（Ｍ－１）＝３３，Ｄ（Ａ）＝１７＝５３．

４７２

Ａ＋－Ｅ（Ａ）

Ｚ＝３９９９＝２．

Ｚ近似服从Ｎ（０，１）分布，当显著性水平α＝０畅０５时，查正态分布表可知，若｜Ｚ｜＜１畅９６，则认为序列无明显的趋势，是平稳序列，否则为非平稳序列。

因为Ｚ＝２畅３９９９＞１畅９６因此，该序列是非平稳的。１．２　游程检验法

设序列均值为１４４畅０４３２，序列中比均值小的记为“－”，比均值大的记为“＋”，得到符号序列，其中每一段连续相同的符号序列称为一个游程，该数据共有１１个游程。

游程检验：

序列长度Ｎ＝７４，Ｎ＝Ｎ１＋Ｎ２＝２４＋５０，Ｎ１，Ｎ２分别为“＋”，“－”出现的次数。游程总数ｒ＝１１，

则统计量Ｚ＝近似服从Ｎ（０，１）分布，其中Ｅ（ｒ）＝＋１，Ｄ（ｒ）＝

。

２（Ｎ－１）

计算得Ｅ（ｒ）＝３３畅４３２４，Ｄ（ｒ）＝１３畅９６４８，进而Ｚ＝－６，在显著性水平α＝０畅０５下，｜Ｚ｜＝６＞１畅９６，因此序列是非平稳的。

２　利用时间序列模型检验平稳性

１）特征根检验法

该方法是先拟合序列的适应性模型，然后求由模型参数组成的特征方程的特征根，若所有特征根都满足平稳性条件，即｜λｉ｜＜１，则可以认为序列是平稳的，否则序列是非平稳的。

现有一个对某序列拟合的适应性模型：

Ｘｔ－２Ｘｔ－１＋１畅２Ｘｔ－２－０畅２Ｘｔ－３＝ａｔ－０畅６ａｔ－１－０畅５ａｔ－２，检验该序列的平稳性。特征方程为：Ｘ３－２Ｘ２＋１畅２Ｘ－０畅２＝０，λ１＝１是方程的一个特征根，因此不满足平稳条件，则该序列是非平稳的。

２）参数检验法系统的平稳性条件既可以用特征根表示，也可以用模型的自回归参数表示。首先利用自回归参数构造表１。

表１　参数表

行１２３４５６…２ｎ－３

参　　　　　　　　数

φ０φｎａ０ａｎ－１ｂ０ｂｎ－２…ｌ１

φｎ－１ａ１ａｎ－２ｂ１ｂｎ－３…ｌ２

φ１

φｎ－２ａ２ａｎ－３ｂ２ｂｎ－４…ｌ３

φ２

…………………

φｎφ０

ａｎ－１ａ０

ｂｎ－２ｂ０

…

其中φ０＝－１，φｉ（ｉ＝１，２，…，ｎ）为模型中自回归参数。

ａ０ａｎ－１－ｉφ０φｎ－ｉ

ａｉ＝，ｂｉ＝，（ｉ＝０，１，…，ｎ－２），依次类推，直到第２ｎ－３行只剩下３

ａｎ－１ａｉφｎφｉ

个元素。平稳条件当且仅当同时满足下面３个条件：

１）φ１＋φ２＋…＋φｎ＜１；

２）－φ１＋φ２－φ３＋…＋（－１）φｎ＜１；

ｎ

３）｜φｎ｜＜｜φ０｜，｜ａｎ－１｜＜｜ａ０｜，｜ｂｎ－２｜＜｜ｂ０｜，…，｜ｌ１｜＜｜ｌ０｜。对上述模型检验如下：

φ１＝２，φ２＝－１畅２，φ３＝０畅２，ｎ＝３

ａ０＝ａ１＝ａ２＝

可构造列阵如表２。

表２　数值表

行１２３

－１０．２０．９６

参　　　　　　数２

－１．２－１．７６

－１．２

２０．８

０．２

１

φ０　φｎφ０φｎφ０φｎ

φｎφ０φｎ－１φ１φｎ－２φ２

＝＝＝

φ０φ３φ０φ３φ０φ３

φ３φ０φ２φ１φ１φ２

＝＝＝

－１０．２－１０．２－１０．２

０．２

＝０畅９６，－１

２－１．

＝－１畅７６，２

２

＝０畅８。１．２－

检验条件：１）φ１＋φ２＋φ３＝１，不满足平稳条件，则该序列是非平稳的。

３　小　　结

文中主要从数据和模型２方面介绍时间序列平稳性的检验方法，都比较简单实用。在实际操作中，

应根据数据背景和实际经验选择合适的方法。参考文献：

［１］卢纹岱．Ｓｐｓｓ统计分析［Ｍ］．３版．北京：电子工业出版社，２００３．［２］顾　岚．时间序列分析预测与控制［Ｍ］．北京：中国统计出版社，１９９９．［３］王振龙．时间序列分析［Ｍ］．北京：中国统计出版社，１９９９．

［４］苏树军，裴青萍．基于ＡＲＭＡ模型的新疆旅游市场趋势预测［Ｊ］．新疆职业大学学报，２００９，１７（５）：１８－２１．［５］栗　然，王　粤，肖进永．基于经验模式分解的风电场短期风速预测模型［Ｊ］．中国电力，２００９，４２（９）：７７－８１．［６］涂雄苓，徐海云．ＡＲＩＭＡ与指数平滑法在我国人口预测中的比较研究［Ｊ］．统计与决策，２００９，２５（１）：２１－２３．［７］宋令勇，宋进喜，张文静．西安地区降水时空分布及变化规律分析［Ｊ］．干旱区资源与环境，２０１０，２４（１）：８５－８９．［８］张　可，刘小兰，朱建国．中部地区资本投入与经济增长相关性研究［Ｊ］．资源开发与市场，２００９，２５（９）：８１１－８１４．［９］贺兴东，刘　凯，邵伟如．基于谱估计的中国物流业发展周期测定［Ｊ］．交通运输系统工程与信息，２００９，９（４）：１５－

１９．

［１０］刘罗曼．时间序列分析中指数平滑法的应用［Ｊ］．沈阳师范大学学报：自然科学版，２００９，２７（４）：４１６－４１８．

ＣｈｅｃｋｉｎｇｏｆＴｉｍｅＳｅｒｉｅｓＳｔａｔｉｏｎａｒｉｔｙ

（ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＳｙｓｔｅｍＳｃｉｅｎｃｅ，ＳｈｅｎｙａｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈｅｎｙａｎｇ１１００３４，Ｃｈｉｎａ）

ＬＩＵＬｕｏ－ｍａｎ

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｉｍｅｓｅｒｉｅｓａｎａｌｙｉｓｆｉｒｓｔｊｕｄｇｅｓｉｔｓｓｔａｔｉｏｎａｒｉｔｙ，ｎａｍｅｌｙｊｕｄｇｅｓｉｆｉｔｓｍｅａｎｓａｎｄｖａｒｉａｎｃｅｃｈａｎｇｅｗｈｅｎｔｉｍｅｃｈａｎｇｅｓ．

Ｕｓｕａｌｌｙ，ｍｏｓｔｔｉｍｅｓｅｒｉｅｓａｒｅｎｏｔｓｔａｔｉｏｎａｒｙ．Ｗｅｍｕｓｔｔｒａｎｓｆｏｒｍｎｏｎｓｔａｔｉｏｎａｒｉｔｙｔｏｓｔａｔｉｏｎａｒｉｔｙ．Ｗｅｕｓｕａｌｌｙｕｓｅｆｉｒｓｔ－ｏｒｄｅｒｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅａｎｄｓｅｃｏｎｄ－ｏｒｄｅｒｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｄｕｒｉｎｇｔｈｅｃｈｅｃｋｉｎｇ．Ｓｏｍｅｔｉｍｅｓｗｅｎｅｅｄｌｏｇａｒｉｔｈｍｏｒｓｑｕａｒｅｒｏｏｔｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ．Ｔｈｅｐａｐｅｒｄｉｓｃｕｓｓｅｓｄｉｆｆｅｒｅｎｔｍｅｔｈｏｄｓｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙｆｏｒｓｔａｔｉｏｎａｒｙｃｈｅｃｋｉｎｇｆｒｏｍｓｅｒｉｅｓｄａｔａａｎｄｍｏｄｅｌ．Ｔｈｅｒｅａｒｅｆｏｕｒｃｈｅｃｋｉｎｇｍｅｔｈｏｄｓ．Ｗｅｃａｎｃｏｎｓｉｄｅｒｔｈｅｓｅｍｅｔｈｏｄｓａｎｄｐｒａｃｔｉｃａｌｂａｃｋｇｒｏｕｎｄｔｏｊｕｄｇｅｔｉｍｅｓｅｒｉｅｓｓｔａｔｉｏｎａｒｉｔｙ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｔｉｍｅｓｅｒｉｅｓｄａｔａ；ｔｉｍｅｓｅｒｉｅｓｍｏｄｅｌ；ｓｔａｔｉｏｎａｒｉｔｙ；ｃｈｅｃｋｉｎｇｍｅｔｈｏｄｓ