2015.5北京朝阳初三数学一模试卷及答案

朝阳区2015年初三数学试卷一模

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． ．．

1. 据亚洲开发银行统计数据，2010年至2020年，亚洲各经济体的基础设施如果要达到世界平均水平，至少

需要8 000 000 000 000美元基建投资．将8 000 000 000 000用科学记数法表示应为 A ．0.8×1013

B ．8×1012

C ．8×1013 D ．80×1011

2. 如图，下列关于数m 、n 的说法正确的是

A ．m ＞n B ．m =n C ．m ＞－n D ．m =－n

3．如图，直线a ，b 被直线c 所截，a ∥b ，∠2=∠3，若∠1=80°，则∠4等于

A ．20° B ．40° C ．60° D ．80°

4．下列计算正确的是

A ．2a +3a =6a B. a 2+a 3=a 5 C. a 8÷a 2=a 6 D. (a 3) 4= a7 5．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是

A B C D

6．为筹备班级联欢会，班干部对全班同学最爱吃的水果进行了统计，最终决定买哪种水果时，班干部最关心

的统计量是

A ．平均数 B ．中位数 C ．众数 D ．方差

7．下表是某种抽奖活动中，封闭的抽奖箱中各种球的颜色、数量，以及它们所代表的奖项：

为了保证抽奖的公平性，这些小球除了颜色外，其他都相同，而且每一个球被抽中的机会均相等，则该抽奖活动抽中一等奖的概率为

A.

1 6

B.

311

C. D.

1025

1

8. 若正方形的周长为40，则其对角线长为

A ．100 B

． C

． D ．10

9．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P ，在 近岸取点Q 和S ，使点P ，Q ，S 在一条直线上，且直线PS 与河 垂直，在过点S 且与PS 垂直的直线a 上选择适当的点T ，PT 与过点Q 且与PS 垂直的直线b 的交点为R ．如果QS =60 m， ST =120 m，QR =80 m，则河的宽度PQ 为

A ．40 m B ．60 m C ．120 m D ．180 m

10．甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中，甲、乙两人的距离y （米）与乙出发的时间t （秒）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是

A. 乙的速度是4米/秒

B. 离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米 C. 甲从起点到终点共用时83秒 D. 乙到达终点时，甲、乙两人相距68米 二、填空题（本题共18分，每小题3分）

1

有意义，则x 的取值范围是 ． x -2

22

12．分解因式：3m -6mn +3n

11．若分式

13．如图，⊙O 的直径CD 垂直于弦AB ，∠AOC =40°，则∠CDB 的度数为．

14．请写出一个图象从左向右上升且经过点（－，2）的函数，所写的函数表达式是． 15．为了缓解城市拥堵，某市对非居民区的公共停车场制定了不同的收费标准（见下表）.

如果小王某次停车3小时，缴费24元，请你判断小王该次停车所在地区的类别是 （填“一类、二类、三类”中的一个）． 16．一组按规律排列的式子：

51726210

，-2，3，-4，5，…，其中第7个式子是 ，第n 个式

a a a a a

子是 （用含的n 式子表示，n 为正整数）． 三、解答题（本题共30分，每小题5分）

17．已知：如图，E 是BC 上一点，AB =EC ，AB ∥CD ， BC =CD ．

求证：AC =ED ．

⎛1⎫0

18

．计算：+ -⎪-2sin 45︒+(π-2015) ．

⎝3⎭

-1

2

⎧2x >x -2，⎪

19．解不等式组：⎨

2x +1⎪>x . ⎩3

20．已知x

21．已知关于x 的一元二次方程x -6x +k +3=

0有两个不相等的实数根

(1)求k 的取值范围；

(2)若k 为大于3的整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．

22．列方程或方程组解应用题：

为了迎接北京和张家口共同申办及举办2020年冬奥会，全长174千米的京张高铁 于2014年底开工. 按照设计，京张高铁列车从张家口到北京最快用时比最慢用时少18 分钟，最快列出时速是最慢列车时速的

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

23. 如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D

作DE ∥AC 且DE=于点F ．

（1）求证：OE =CD ；

（2）若菱形ABCD 的边长为2，∠ABC=60°，求AE 的长．

24．为防治大气污染，依据北京市压减燃煤相关工作方案，2014年全市燃煤数量比2012年

压减450万吨，到2015年、2017年要比2012年分别压减燃煤800万吨、1300万吨．以下是根据相关

数据绘制的统计图的一部分：

（1）据报道，2012年全市燃煤由四部分组成，其中电厂用煤920万吨，则2012年全市

燃煤数量为 万吨；

3

2

2

+x -5=0，求代数式(x -1) 2-x (x -3) +(x +2)(x -2) 的值．

29

倍，求京张高铁最慢列车的速度是多少？ 20

1

AC ，连接 CE 、OE ，连接AE 交OD 2

（2）请根据以上信息补全2012-2017年全市燃煤数量的折线统计图，并标明相应数据； （3）某地区积极倡导“清洁空气，绿色出行”，大力提升自行车出行比例，小颖收集了

该地区近几年公共自行车的有关信息（如下表），发现利用公共自行车出行人数与 公共自行车投放数量之间近似成正比例关系.

2012-2015年公共自行车投放数量与利用公共自行车出行人数统计表 年份 2012 2013 2014 2015

根据小颖的发现，请估计，该地区2015年利用公共自行车出行人数（直接写出结果， 精确到0.1）

25. 如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，点D 在⊙O 上，过点D 作⊙O 切线与AC 的延长线交于点E ，ED ∥BC ，连接AD 交BC 于点F . （1）求证：∠BAD =∠DAE ； （2）若AB =6，AD =5，求DF 的长.

26．阅读下面材料：

小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC 中，∠ACB =90°，BE 是AC 边上的中线，点D 在BC 边上，CD ：BD =1：2，AD 与BE 相交于点P ，求

公共自行车投放数量（万辆）

1.4 2.5 4 5

利用公共自行车出行人数（万人）

约9.9 约17.6 约27.6

约

AP

的值． PD

小昊发现，过点A 作AF ∥BC ，交BE 的延长线于点F ，通过构造△AEF ，经过推理和 计算能够使问题得到解决（如图2）． 请回答：

AP

的值为 PD

．

图1 图2 图3

参考小昊思考问题的方法，解决问题：

4

如图 3，在△ABC 中，∠ACB =90°，点D 在BC 的延长线上，AD 与AC 边上的中线BE 的延长线交于点P ，DC ：BC ：AC =1：2：3 ． （1）求

AP

的值； PD

（2）若CD=2，则BP = ．

五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27．如图，将抛物线M 1:

y =ax 2+4x 向右平移3个单位，

再向上平移3个单位，得到抛物线M 2，直线y =x 与M 1

的一个交点记为A ，与M 2的一个交点记为B ，点A 的 横坐标是－3.

（1）求a 的值及M 2的表达式；

（2）点C 是线段AB 上的一个动点，过点C 作x 轴的

垂线，垂足为D ，在CD 的右侧作正方形CDEF . ①当点C 的横坐标为2时，直线y =x +n 恰好经过 正方形CDEF 的顶点F ，求此时n 的值；

②在点C 的运动过程中，若直线y =x +n 与正方形CDEF 始终没有公共点，求n 的 取值范围（直接写出结果）.

28．在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，点D 在射线BC 上（不与点B 、C 重合），连接AD ，将AD 绕点D 顺时针旋

转90°得到DE ，连接BE . （1）如图1，点D 在BC 边上.

①依题意补全图1；

②作DF ⊥BC 交AB 于点F ，若AC =8，DF =3，求BE 的长；

（2）如图2，点D 在BC 边的延长线上，用等式表示线段AB 、BD 、BE 之间的数量关系

（直接写出结论）.

5

图1 图2

29．定义:对于平面直角坐标系xOy 中的线段PQ 和点M ，在△MPQ 中，当PQ 边上的高为2时，称M 为PQ

的“等高点”，称此时MP +MQ 为PQ 的“等高距离”． （1）若P (1，2) ，Q (4，2) ．

①在点A (1，0) ，B (

5

，4) ，C （0，3）中，PQ 的“等高点”是 ； 2

②若M （t ，0）为PQ 的“等高点”，求PQ 的“等高距离”的最小值及此时t 的值.

（2）若P (0，0) ，PQ =2，当PQ 的“等高点”在y 轴正半轴上且“等高距离”最小时，直接

写出点Q 的坐标．

6

北京市朝阳区九年级综合练习（一）

数学试卷答案及评分参考 2015.5

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

二、填空题 （本题共18分，每小题3分） 11.

x ≠2

12.

3(m -n ) 2

13. 20° 14.

y =x +3（答案不惟一）

15. 二类

502

16.

n +1a 7，(-1) ⋅n +1a

n （第一个空1分，第二个空2分） 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17. 证明：∵AB ∥CD ，

∴∠B=∠DCE . …………………………………………………………………1分 在△ABC 和△ECD 中，

⎧⎪

AB =EC -----------------------------------------------2分

⎨∠B =∠DCE

⎪⎩

BC =CD -----------------------------------------------3分∴△ABC ≌△ECD . ……………………………………………………………4分 ∴AC ＝ED . ……………………………………………………………………5分

18. 解：原式 ＝

2-3-2⨯

2

2

+1………………………………………………………4分 ＝-2.…………………………………………………………………………5分

⎧19. ⎪2x >x -2，① ⎨2x +1

⎪⎩3

>x . ②

解：解不等式①，得x >-2. ………………………………………………………………2分

解不等式②，得x ＜1. ………………………………………………………………4分

∴不等式组的解集是-2

20. 解：(x -1) 2

-x (x -3) +(x +2)(x -2)

＝x 2-2x +1-x 2+3x +x 2-4 …………………………………………………3分 ＝x 2+x -3. ……………………………………………………………………4分 ∵x 2+x -5=0， ∴x

2

+x =5.

∴原式＝5－3＝2. ……………………………………………………………………5分 21. 解：（1）∆=(-6)

2

-4(k +3) ………………………………………………………1分

=36-4k -12

=-4k +24

∵原方程有两个不相等的实数根，

7

∴-4k 解得

（2）∵k

+24>0.

k

∴k =4或5. ………………………………………………………………………3分 =4时，方程x 2-6x +7=0的根不是整数.

∴k =4不符合题意. ………………………………………………………… 4分

① 当k ② 当k ∴k

=5时，方程x 2-6x +8=0根为x 1=2，x 2=4均为整数. =5符合题意. ……………………………………………………………5分

综上所述，k 的值是5.

22. 解：设京张高铁最慢列车的速度是x 千米/时. …………………………………………1分

17417418

-=. ……………………………………………2分

x x 60

20

解得 x =180. ……………………………………………3分 经检验，x =180是原方程的解，且符合题意. ………………………………4分

由题意，得

答：京张高铁最慢列车的速度是180千米/时. ……………………………………5分

四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23. （1）证明：在菱形ABCD 中，OC=

∴DE=OC． ∵DE ∥AC ，

∴四边形OCED 是平行四边形．…………………………………………1分 ∵AC ⊥BD ，

∴平行四边形OCED 是矩形． …………………………………………2分 ∴OE =CD ．…………………………………………………………………3分

（2）在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，

∴AC=AB=2． ∴在矩形OCED 中， CE =

1AC . 2

………………4分

在Rt △ACE 中，

24. （1）2300. ………………1分

（2）如图. …………… 3分 （3）35.0±0.5. ……………5分

8

=………………………………………………………5分

25. 解：（1）连接OD ，

∵ED 为⊙O 的切线，

∴OD ⊥ED ．……………………………………………………………………………1分 ∵AB 为⊙O 的直径，

∴∠ACB =90°. ………………………………………………………………………… 2分 ∵BC ∥ED ,

∴∠ACB =∠E =∠EDO . ∴AE ∥OD . ∴∠DAE =∠ADO . ∵OA =OD , ∴∠BAD =∠ADO .

∴∠BAD =∠DAE . ………………………………3分 （2）连接BD ， ∴∠ADB =90°. ∵AB =6，AD =5， ∴BD

=.……………………………………………………………4分

∵∠BAD =∠DAE =∠CBD ， ∴tan ∠CBD = tan∠BAD

=. 在Rt △BDF 中， ∴DF =BD ·tan ∠CBD =11

5

. ……………………………………………………………5分 26. 解：

AP PD 的值为3

2

. …………………………………………………………………1分

解决问题：

（1）过点A 作AF ∥DB ，交BE 的延长线于点F ，……………………………………2分

设DC ＝k ， ∵DC ︰BC ＝1︰2， ∴BC ＝2k .

∴DB ＝DC ＋BC ＝3k . ∵E 是AC 中点， ∴AE ＝CE . ∵AF ∥DB ， ∴∠F ＝∠1. 又∵∠2＝∠3，

∴△AEF ≌△CEB . ……………………………………………………………3分 ∴AF ＝BC ＝2k . ∵AF ∥DB ， ∴△AFP ∽△DBP .

9

AP AF

=. PD DB AP 2

=. …………………………………………………………………4分 ∴

PD 3

∴

（2） 6. ……………………………………………………………………………5分

五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27. 解：（1）∵ 点A 在直线y =x ，且点A 的横坐标是－3，

∴ A (－3，－3) . ………………………………………………………………1分 把A (－3，－3) 代入∴M 1 :

y =ax 2+4x ，

解得a =1. … …………………………………………………………………2分

y =x 2+4x ，顶点为(－2，－4) .

y =x 2-2x . …………3分

∴M 2的顶点为(1，－1) . ∴M 2的表达式为

（2）①由题意，C (2，2) ，

∴F (4，2) . ………………………………4分 ∵直线y =x +n 经过点F ，

∴2=4+n .

解得n =－2. ………………………5分 ②

28. 解：（1）①补全图形，如图1所示. ………………………1分

②由题意可知AD =DE ，∠ADE =90°. ∵DF ⊥BC ， ∴∠FDB =90°.

∴∠ADF =∠EDB . ……………………………………2分 ∵∠C =90°，AC =BC ， ∴∠ABC =∠DFB =90°. ∴DB =DF .

∴△ADF ≌△EDB . ……………………………………3分 ∴AF =EB .

在△ABC 和△DFB 中， ∵AC =8，DF =3， ∴AC

=n ＞3，n ＜－6. …………… …7分

图1

，DF

=. ………………………………………………………………4分

AF =AB －

BF=

10

即BE

=（2

29. 解:（1）A 、B ……………………………………………………………………………2分

（2）如图，作点P 关于x 轴的对称点P ′，连接P ′Q ，P ′Q 与x 轴的交点即为“等高点”M ，此时“等

高距离”最小，最小值为线段P ′Q 的长. ………………………3分

∵P (1，2) ，

∴ P′ (1，－2).

设直线P ′Q 的表达式为

根据题意，有 . …………………………………………………………………………5分 =BE +AB. ……………………………………………………………………7分 y =kx +b ，

4⎧k =⎪⎧k +b =-23. ，解得⎨⎨10⎩4k +b =2⎪b =-3⎩

∴直线P ′Q 的表达式为y =410x -. ……………4分 33

当y =0时，解得x =

=5. 2即t 5. ………………………………………………………………………5分 2

=PP ' 2+PQ 2=5. 根据题意，可知PP ′＝4，P Q ＝3， P Q ⊥PP ′， ∴P ' Q

∴“等高距离”最小值为5. …………………………………………………6分

11

（3）Q （ 42452，）或Q （-，）. ………………………………8分 5555

12