二次函数与平行四边形

二次函数与平行四边形的综合

前言：纵观历年中考题我们发现二次函数与平行四边形的综合是一个重点，但是考生们往往不知道如何下手去做这部分题。世上无难事，只怕有心人。

1、 重点：中考压轴题的重点在于分析问题，解决问题的思路和方法。能应对这部分题的关键需要熟练几

部分知识点：（1）二次函数与一次函数，反比例函数（2）勾股定理（3）四边形（4）相似三角形和三角形全等（5）锐角三角函数（6）轴对称和中心对称

2、 难点：知识点同学们一般都能掌握，可是拿到具体题中去运用就是一个难点了。尤其是遇到求坐标应

该用什么方法，遇到求线段长度用什么方法等等。这些都是令学生苦恼的问题，所以说善于归类总结至关重要。

3、 易错点：线段长度和坐标混淆导致错误答案，坐标漏找或错找，坐标在不在二次函数的图像上。这些

都是在考试中容易失分的地方。；

4、 切入点：例如：根据已有条件求坐标，首先要想到平面直角坐标系与锐角三角函数的联系，尤其是正

切的运用。这样直观的可以求出坐标（前提必须建立直角三角形），如果不是直角三角形可以想法构建直角三角形，这是求坐标的最好方法，此方法不通的情况下可以运用勾股定理进行求解，很少运用相似求。掌握了求解方法再做题的时候就知道如何下手了。

（例题分析）

（崇文）例题1．已知：在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y =-x +bx +c 的图象与x 轴交于A 、B

两点，点A 在点B 的左侧，直线y =kx +3与该二次函数的图象交于D 、B 两点，其中点D 在y 轴上，点B 的坐标为（3，0）.

（1）求k 的值和这个二次函数的解析式；

（2）设抛物线的顶点为C ，点F 为线段DB 上的一点，且使得∠DCF =∠ODB ，求出此时点F 的坐标； （3）在（2）的条件下，若点P 为直线DB 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E . 问：是否存在这样的点P ，使得以点P 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由.

2

（1） 综合了二次函数、一次函数的知识，巧妙利用了二次函数求坐标的方法，难度不是很大，但技巧

性特别强。涉及到函数的综合首先要先明确目的性，根据求二次函数解析式的方法。先观察再求解。此题恰恰利用观察法看交点的位置在哪，利用求系数的方法只要找到两个点的坐标即可。已知一点坐标先求一次函数解析式是必走路线（将点B 坐标代入），利用一次函数的解析式求出另一点D 的坐标，进而利用B ，D 两点的坐标求二次函数解析式。

（2） 巧妙地结合了二次函数与坐标轴的交点进行分析，首先由第一问可得交点坐标，然后观察由坐标

得到的线段长度具有什么特点，能否得到进一步的信息（学生必须第一时间考虑的问题）。三角形BOD 是等腰直角三角形，故∠ODB=45°，∠DCF 的度数必须和∠ODB 的度数相等，因此要先确定点F 的位置。此部分是难点，但是对于此类题必然有特殊之处，所以说认真分析调整好心态是关键。由对称性可知线段CD 与对称轴的夹角恰好是45°，因此已知中得到的45°就是一个很好的突破口。点F 在直线DB 上又在对称轴上故点F 是两直线的交点。问题很巧妙的就解决了。

（3） 第三问往往会分析不全面，找不好点的坐标位置。可能同学们会四处找点画图，这样就会让思路

更加乱，因此找方法是做题的关键。遇到这类题有一个很简便的方法就是同学们自己去演练的。已知的三个点构成一个三角形，以其中的一点做对边的平行线，依次做出三条线。然后再找到什么就是同学们自己要去寻找的答案了。

点评：★★★★

适合层次：此题的第一问和第二问对于中等及中等偏上的学生较适用，基础相对比较好的学生第三问需要去做。

归纳总结：每一种题的方法都是可以总结的，因此同学们在做此类型题时要学会总结，把方法运用到实际中。以后再遇到此种类型题自然就能找到方法，这样既节省了时间又能很好的将题掌握牢固。 （08崇文）

1．解：（1）∵ 直线y =kx +3经过点B （3，0），

∴ 可求出k =-1. ………………1分

由题意可知， 点D 的坐标为（0，3）. ∵ 抛物线y =-x +bx +c 经过点B 和点D ， ∴ ⎨

2

⎧0=-9+3b +c ,

⎩3=c .

解得 ⎨

⎧b =2,

⎩c =3.

∴ 抛物线的解析式为y =-x 2+2x +3.

（2）在线段DB 上存在这样的点P ，使得∠DCP =∠ODB .

如图，可求顶点C 的坐标为（1，4）. 由题意，可知∠ODB ＝45°. 过点D 作此抛物线对称轴的垂线DG ，可知DG =CG =1,

所以此时∠DCG =45°, 点P 的坐标为（1，2）. ……………5分

（3）存在这样的点P ，使得以点P 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形.

由题意知PE ∥CF ，

∴ 要使以点P 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形只要满足PE =CF =2即可. ∵ 点P 在直线DB 上，

∴ 可设点P 的坐标为 （x , -x +3）. ∵ 点E 在抛物线 y =-x 2+2x +3上， ∴ 可设点E 的坐标为 （x , -x 2+2x +3）. ∴ 当-x +3-(-x 2+2x +3) =2时，解得

x =

2

； 当-x +2x +3-(-x +3) =2时，解得 x 1=1, x 2=2.

x =1不合题意，舍去.

∴ 满足题意的点P

的横坐标分别为x 1=

3+3x 2=x 3=2. 22

1．（辽宁省阜新市）如图，⊙M 与x 轴相切于点A （－23，0），⊙M 交y 轴正半轴于B ，C 两点，且BC ＝4．

（1）求⊙M 的半径；

（2）求证：四边形ACBM 为菱形；

2

（3）若抛物线y ＝ax ＋bx ＋c 经过O ，A 两点，且开口向下，当它的顶点不在直线AB 的上方时，求a 的取值范围．

2．（山东省烟台市）如图，抛物线y ＝ax ＋bx －3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且经过点（2，

－3a ），对称轴是直线x ＝1，顶点是M ．

（1）求抛物线对应的函数表达式；

（2）经过C ，M 两点作直线与x 轴交于点N ，在抛物线上是否存在这样的点P ，使以点P ，A ，C ，N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设直线y ＝－x ＋3与y 轴的交点是D ，在线段BD 上任取一点E （不与B ，D 重合），经过A ，B ，E 三点的圆交直线BC 于点F ，试判断△AEF 的形状，并说明理由； （4）当E 是直线y ＝－x ＋3上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）

3．（山东省枣庄市）如图，抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B ． （1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上求点M ，使△MOB 的面积是△AOB 面积的3倍；

（3）连结OA ，AB ，在x 轴下方的抛物线上是否存在点N ，使△OBN 与△OAB 相似？若存在，求出N 点的坐标；若不存在，说明理由．

4．（广西柳州市）如图，已知抛物线y ＝ax －2ax －b （a ＞0）与x 轴的一个交点为B (－1，0) ，与y 轴的负半轴交于点C ，顶点为D ．

（1）直接写出抛物线的对称轴及抛物线与x 轴的另一个交点A 的坐标； （2）以AD 为直径的圆经过点C ．

①求抛物线的解析式；

②点E 在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上，且以B ，A ，F ，E 四点为顶点的四边形为平行

四边形，求点F 的坐标．

5．（广西贵港市）如图所示，抛物线y ＝ax ＋bx ＋c (a ≠0) 的图象交x 轴于点A 和点B (－2，0) ，与y 轴的负半轴交于点C ，且线段OC 的长度是线段OA 的长度的2倍，抛物线的对称轴是直线x ＝1． （1）求该抛物线的解析式；

（2）若过点(0，－5) 且平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点，以线段MN 为一边，抛物线上与

M 、N 不重合的任意一点P (x ，y ) 为顶点作平行四边形，若平行四边形的面积为S ，请你求出S 关于点P 的纵坐标y 的函数解析式； （3）当0＜x ≤

10

时，（2）中平行四边形的面积是否存在最大值？若存在，请求出来；若不存在，请说3

明理由．

6．（广西河池市）如图，已知抛物线y ＝x ＋4x ＋3交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，•抛物线的对称轴交x 轴于点E ，点B 的坐标为(－1，0) ．

（1）求抛物线的对称轴及点A 的坐标；

（2）在平面直角坐标系xO y 中是否存在点P ，与A 、B 、C 三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连结CA 与抛物线的对称轴交于点D ，在抛物线上是否存在点M ，使得直线CM 把四边形DEOC 分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM 的解析式；若不存在，请说明理由．

124

x －x －10与x 轴的交点为A ，与y 189

轴的交点为点B ，过点B 作x 轴的平行线BC ，交抛物线于点C ，连结AC ．现有两动点P ，Q 分别从O ，C 两点同时出发，点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动，点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动，点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动．线段OC ，PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交CA 于点E ，射线QE 交x 轴于点F ．设动点P ，Q 移动的时间为t (单位：秒) （1）求A ，B ，C 三点的坐标和抛物线的顶点坐标；

（2）当t 为何值时，四边形PQCA 为平行四边形？请写出计算过程； 7．（湖北省黄冈市）如图，在平面直角坐标系xo y 中，抛物线y ＝

9

时，△PQF 的面积是否总为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由； 2

（4）当t 为何值时，△PQF

（3）当0＜t ＜

8．（湖北省黄石市）正方形ABCD 在如图所示的平面直角坐标系中，A 在x 轴正半轴上，D 在y 轴的负半

2

轴上，AB 交y 轴正半轴于E ，BC 交x 轴负半轴于F ，OE ＝1，抛物线y ＝ax ＋bx －4过A 、D 、F 三点． （1）求抛物线的解析式；

（2）Q 是抛物线上D 、F 间的一点，过Q 点作平行于x 轴的直线交边AD 于M ，交BC 所在直线于N ，

3

S △FQN ，则判断四边形AFQM 的形状； 2

（3）在射线DB 上是否存在动点P ，在射线CB 上是否存在动点H ，使得 AP ⊥PH 且AP ＝PH ，若存在，请给予严格证明，若不存在，请说明理由．

若S 四边形AFQM ＝

9．（辽宁省辽阳市）如图，矩形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴和y 轴上，A （－3，0），过点C 的直线y ＝－2x ＋4与x 轴交于点D ，二次函数y ＝－

12

x ＋bx ＋c 的图象经过B 、C 两点． 2

（1）求B 、C 两点的坐标； （2）求二次函数的解析式；

（3）若点P 是CD 的中点，求证：AP ⊥CD ；

（4）在二次函数的图象上是否存在这样的点M ，使以A 、P 、C 、M 为顶点的四边形为矩形？若存在，求

出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

10．（2008年江苏省盐城市中考数学试题）

y =

如图，直线

1y =x 2+b

3沿x 轴作左右平移，经过点

B(，2) ，且与x 轴交于点A ．将抛物线

记平移后的抛物线为C ，其顶点为P ．

（1）求∠BAO 的度数；

（2）抛物线C 与y 轴交于点E ，与直线AB 交于两点，其中一个交点为F ． 当线段EF ∥x 轴时，求平移后的抛物线C 对应的函数关系式；

y =

（3）在抛物线

12

x

3平移过程中，将△PAB 沿直线AB 翻折得到△DAB ，点D 能否落在抛物线C 上？

如能，求出此时抛物线C 顶点P 的坐标；如不能，说明理由．

第27题图

备用图

11．（崇明县2009年初三学业考试模拟考）

2

y =ax +bx +3与y 轴交于点C ，与x 轴交于A 、B 两点， 如图，抛物线

1

3，S ∆ABC =6．

（1）求点B 的坐标；

（2）求抛物线的解析式及顶点坐标；

（3）设点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，如果A 、C 、E 、F 构成平行四边形，请写出点E 的坐标（不必书写计算过程）．

tan ∠OCA =

12．（2008学年度第二学期普陀区初三质量调研）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为原点，点A 、C 的坐标分别为（2，0）、（1，3）. 将△AOC 绕AC 的中点旋转180°，点O 落到点B 的位置，

2

y =ax -2x 经过点A ，点D 是该抛物线的顶点. 抛物线

（1）求证：四边形ABCO 是平行四边形；

（2）求a 的值并说明点B 在抛物线上；

（3）若点P 是线段OA 上一点，且∠APD=∠OAB ， 求点P 的坐标；

(4) 若点P 是x 轴上一点，以P 、A 、D 为顶点作 平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y 轴 上，写出点P 的坐标.

13．（2008学年第二学期徐汇区）

2

0），y =ax +bx +c 与y 轴正半轴交于点C ，与x 轴交于点A (1, 0) 、B （4，如图，抛物线

∠OCA =∠OBC ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在直角坐标平面内确定点M ，使得以点M 、A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M 的坐标；

（3）如果⊙P 过点A 、B 、C 三点，求圆心P 的坐标．

14．（09江西中考）如图，抛物线y =-x 2+2x +3与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D .

（1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；

（2）连接BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF ∥DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ；

①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？ ②设△BCF 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式.

16．（10年陕西中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线A （-1,0），B （3,0）C （0，-1）三点。 （1）求该抛物线的表达式；

（2）点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上，要使Q 、P 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形求所有满足条件点P 的坐标。

2

y =ax +bx +c (a ≠0) 的顶点坐 17．（10年遵义中考）如图，已知抛物线

标为Q (2, -1)，且与y 轴交于点C (0, 3)，与x 轴交于A 、B 两 点（点A 在点B 的右侧），点P 是该抛物线上一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动（点P 与A 不重合），过点P 作PD ∥

y 轴，

交AC 于点D ．

(1)求该抛物线的函数关系式；

(2)当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标；

(3)在问题(2)的结论下，若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上， 问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？若存在， 求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．

2y =x +bx +c 的图象与x 轴交于A 、B 18．(10年恩施中考) 如图11，在平面直角坐标系中，二次函数

两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于C （0，-3）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点.

（1）求这个二次函数的表达式．

//

（2）连结PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP C ， 那么是否存在点P ，使四边形POP C 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）当点P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积.

图11

19．（2010年益阳中考）如图9，在平面直角坐标系中，已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A （－2，0），B （6，0），C （0，3）.

(1)求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；

(2)过Ｃ点作CD 平行于x 轴交抛物线于点D ，写出D 点的坐标，并求AD 、BC 的交点E 的坐标；

(3)若抛物线的顶点为Ｐ，连结ＰC 、ＰD ，判断四边形CEDP 的形状，并说明理由.

y

P

D C

E

1 A B

o 1 1x

20、（2011•兰州）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的边长为2cm ，点A 、C 分别在y 2轴的负半轴和x 轴的正半轴上，抛物线y=ax+bx+c经过点A 、B 和D 错误！未找到引用源。．

（1）求抛物线的解析式．

（2）如果点P 由点A 出发沿AB 边以2cm/s的速度向点B 运动，同

时点Q 由点B 出发沿BC 边以1cm/s的速度向点C 运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运

22动．设S=PQ（cm ）

①试求出S 与运动时间t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围；

②当S 取错误！未找到引用源。时，在抛物线上是否存在点R ，使得以P 、B 、Q 、R 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R 点的坐标；如果不存在，请说明理由．

（3）在抛物线的对称轴上求点M ，使得M 到D 、A 的距离之差最大，求出点M 的坐标．

21．(本题满分9分) 如图11，已知抛物线y =x -4x +3与x 轴交于两点A 、B ，其顶点为C ． 2

(1)对于任意实数m ，点M （m ，-2）是否在该抛物线上? 请说明理由；

(2)求证:△ABC 是等腰直角三角形；

(3)已知点D 在x 轴上，那么在抛物线上是否存在点P ，使得以B 、C 、D 、P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

图11

22、（2011•湛江）如图，抛物线y=x2+bx+c的顶点为D （﹣1，﹣4），与y 轴交于点C （0，﹣3），与x 轴

交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接AC ，CD ，AD ，试证明△ACD 为直角三角形；

（3）若点E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F ，使以A ，B ，E ，F 为顶点的的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．