大一高等代数试卷5
一，填空（3分＊10＝30分）………..07-08年
1．f (x ) =2x 4-3x 3+4x 2-5x +6, g (x ) =x 2-3x +1，则g (x ) 除f (x ) 的商式为（ ），余式为（ ）。
2．行列式x -11
x 3x 3+x +1=（ ）。
3. 排列1 3 5 …（2n-1） 2 4 6 … 2n 的反序数为（ ）。
21-51
4. 行列式1-30-6
02-12＝（ ）。
14-76
5.t ＝（ ）使f (x ) =x 3-3x 2+tx -1有重根。
11 1
6. 范德蒙行列式a 1a 2 a n
=（
a n -1a n -1n -1
12 a n
⎧λx 1+x 2+2x
7. 当λ满足( ) 时，齐次线性方程组⎪3=0
⎨x 1+λx 2-x 3=0只有0解。
⎪⎩λx 3=0
⎛ k 111⎫
8. 设矩阵A = 1k 11⎪
⎪
11k 1⎪，且秩（A ）＝３，则k=( ) 。
⎝111k ⎪⎪⎭
⎛11a ⎫⎛
9. 设矩阵A ＝ 1a 1⎪⎪，β= 1⎫⎪
1⎪，已知线性方程组AX =β有解但不惟一，则a ＝（
⎝a 11⎪⎭ ⎝-2⎪⎭
a 123
10．设b -101
c 023，求第1列各元素余子式之和的值（ ）。
d 1-1-二、选择：（3分＊5＝15分）
1. 设f (x ) ∈F [x ],如果对任何g (x ) ∈F [x ], 都有g (x ) f (x ) , 则( )
（A ）f (x ) 是零多项式 （B ）f (x ) 是零次多项式
（C ）f (x ) 是不可约多项式 （D ）f (x ) 是任意多项式
1 。 ）。 ）
2. 若齐次线性方程组有非零解，则（ ）
（A ）其系数行列式＝0 （B ）方程的个数小于未知数的个数
（C ）系数矩阵的秩≠增广矩阵的秩 （D ）增广矩阵的秩小于未知数的个数
3. 对线性方程组施行初等变换，方程组的解集( )
(A)不会扩大 (B)不会缩小 (C)不变 (D)不确定
⎧a 11x 1+ +a 1n x n =b 1⎪4. 如果线性方程组⎨
⎪a x + a x =b mn n m ⎩m 11
有无数多解，则( )
(A) m≥n (B) m≤n (C) m=n (D)与 m,n的大小无关
5. n阶行列式D ＝0的充分条件是（此题为多选题） ( )
（A ）D 中的一行元素全为零 （B ）D 中多于n -n 个元素为零
（C ）D 中n －1个元素全为零 （D ）D 中有两行对应元素成比例。
三、计算：（10＊4＝40分）
1．a , b ∈R . f (x ) =x 3+2x 2+ax +b 有根-1+i 2，求a,b 及f(x)在复数中的其它根。 2
⎧x 1+x 2+kx 3=4⎪22. 线性方程组⎨-x 1+kx 2+x 3=k 中的k 为何值时，无解，有惟一解，有无穷多解？
⎪x -x +2x =-423⎩1
1
2
3. 计算行列式：22222 2223 2.
22
121 n 1
1
1＝0 1-x 1 12-x 4. 解方程D n =
1 1 11(n -1) -x
四、证明：
1． 证明:次数>0且首项系数为1的多项式f(x)是一个不可约多项式的方幂的充分必要条件为:对任
意的多项式g(x)必有(f(x),g(x))=1,或者有某一正整数m 使f (x ) g (x ) 。（10分）
2．设f (x ) ∈R [x ],f (x ) 的次数是奇数，试证f (x ) 在R 中有根。（5分）
2 m
3