高中数学定积分

（一）. 关于原函数与不定积分概念的几点说明

1. 原函数与不定积分是两个不同的概念，它们之间有着密切的联系。对于定义在某个区间上的函数f （x ），若存在函数F （x ），使得该区间上的每一点x 处都有

F /（x ）=f（x ），则称F （x ）是f （x ）在该区间上的原函数。而表达式F （x ）+C（C 为任意常数）称为f （x ）的不定积分。

2. f（x ）的原来函数若存在，则原函数有无限多，但任意两个原函数之间相差某个常数。因此求f （x ）的不定积分∫f （x ）dx 时，只需求出f （x ）的一个原函数F （x ），再加上一个任意常数C 即可，即∫f （x ）dx = F（x ）+C。

3. 原函数F （x ）与不定积分∫f （x ）dx 是个体与全体的关系，F （x ）只是f （x ）的某个原函数，而∫f （x ）dx 是f （x ）的全部原函数，因此一个原函数只是加上任意常数C 后，即F （x ）+C才能成为f （x ）的不定积分。例如x 2 + 1，x 2-3，x 2+12都是2x 的原函数，但都不是2x 的不定积分，只有x 2 + C才是2x 的不定积分（其中C 是任意常数）。

4. f（x ）的不定积分∫f （x ）dx 中隐含着积分常C ，因此计算过程中当不定积分号消失后一定要加上一个任意的常数C 。

5. 原函数存在的条件：如果函数f （x ）在某区间上连续，则在此区间上f （x ）的原函数一定存在。由于初等函数在其定义域区间上都是连续的，所以初等函数在其定义区间上都有原函数，值得注意的是，有些初等函数的原函数很难求出来，甚至不能表为初等函数，例如下列不定积分

∫ dx ∫

都不能“积”出来，但它们的原函数还是存在的。

（二）换元积分法的几点说明

换元积分法是把原来的被积表达式做适当的换元，使之化为适合基本积分公式表中的某一形式，再求不定积分的方法。

1. 第一换元积分法（凑微分法）：

根据一阶微分形式的不变性，若

dF（u ）=f（u ）du

则

dF（u （x ））=f（u ）du

利用不定积分与微分的互逆关系，可以把它转化为不定积分的换元公式：

∫f[u（x ）]du（x ）= ∫f （u ）du （ 令u = u（x ））

= F（u ）+ C （ 求积分）

= F（u （x ））+ C （ 令 u = u（x ））

在具体问题中，凑微分要根据被积函数的形式特点灵活运用。

2. 第二换元积分法：令x=φ（x ），常用于被积函数含

或 等形式。

3. 同一个不定积分，往往可用多种换元方法求解，这时所得结果在形式可能不一致，但实质上仅相差一常数，这可通过对积分结果进行导运算来验证。

（三）关于积分形式不变性

如果∫f （x ）dx=F（x ）+C，那么有∫f （u ）du=F（u ）+C，其中

u =Φ（x ）是x 的可微函数。这个道理说明：

（1）. 积分变量x 无论是自变量，还是中间变量，积分公式的形式不变，这一特性叫做积分形式不变性。

（2）. 根据这个定理，基本积分公式中的x 既可以看作是自变量，也可以看作是函数（可微函数），因此基本积分公式中的公式应用范围就扩大了。

（四）分部积分法

设u=u（x ），v=v（x ）是可微函数，且u /（x ）v （x ）或u （x ）v /（x ）有原函数，则有分部积分公式：

∫u （x ）v /（x ）dx=u（x ）v （x ）-∫v （x ）u /（x ）dx

或 ∫udu = uv - ∫vdu

当被积分函数是两个函数的乘机形式时，如果用以前的方法都不易计算，则可考虑用分部积分法求解。显然，用分部积分法计算不定积分时，关键是如何恰当的选择谁做u ，谁做v /。如果选择不当，就有可能求不出积分的结果或者计算很困难，一般说来选择u 和v /的原则是：

1. 根据v /容易求出v ；

2. ∫vu /dx 要比∫u v/dx 容易计算。

（五）关于定积分的定义

由定积分的定义可以看出，定积分是一个数值，这个数值与被积函数f （x ）及积分区间

[a，b]有关，与区间[a，b]的分法和点的取法无关，而且与积分变量用什么字母也无关，所以有

f（x ）dx= f（t ）dt = f（u ）du

函数f （x ）在[a，b]上可积的条件与f （x ）在[a，b]上连续或可导的条件相比是最弱的条件，即f （x ）在[a，b]上有以下关系：

可导 连续 可积

反之都不一定成立。

（六）有关定积分的性质

在定积分的性质中，除了类似于不定积分的线性性质以外，还要记住下列基本公式：

f（x ）dx = - f（x ）dx

f（x ）dx=0

1dx = b- a

定积分关于积分的区间的 可加性是一个很重要并且在计算定积分时常用的性质，即，

f（x ）dx + f（x ）dx = f（x ）dx

（七）关于牛顿- 莱布尼茨公式

牛顿-莱布尼茨公式不仅在定积分这部分内容中，而且在整个微积分学中都是一个重要的结论，主要表现在以下方面：

1. 当被积函数连续时定积分的计算可通过求原函数来进行：

若F （x ）是f （x ）的一个原函数，则

f （x ）dx =F（b ）- F（a ）

因此这个公式揭示了定积分与不定积分的本质联系。这种本质的联系还可以由下列两个公式来阐明：

f（x ）dx = f（x ）

f（t ）dt = f（x ）