七年级数学导学案
七年级数学导学案
第22章 一元二次方程
22.1 一元二次方程
1.只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是__2__的整式方程,叫做一元二次方程.
2.判断一个方程是否是一元二次方程,必须满足下列条件:(1)是__整式__方程;(2)只含有一个未知数;
(3)未知数的最高次数是__2__;(4)二次项系数不能为__0__.
3.关于x 的一元二次方程的一般形式是ax2+bx +c =0(a,b ,c 是已知数,a≠0),其中__a__是二次项系数,__b__是一次项系数;__c__是常数项.注意:“a≠0”是一元二次方程一般形式的一个重要组成部分.
知识点1:一元二次方程的概念
1.下列方程中是关于x 的一元二次方程的是(C)
A .x2+=1
B .ax2+bx +c =0
C .(x-1)(x+2) =5
D .x(2x-1) +3=2x2
2.方程(m-2)x2+mx +1=0是关于x 的一元二次方程,则m 的值为(C)
A .任何实数 B .m≠0
C .m≠2D.m≠-2
知识点2:一元二次方程的一般形式
3.一元二次方程x2-=3x 的一般形式为__x2-3x -=0__,其二次项系数、一次项系数、常数项分别为__1,-3,-__.
4.一元二次方程(x+1)2+(x-2)(x+2) =2的一般形式为__2x2+2x -5=0__,其中二次项的系数为__2__,一次项是__2x__,常数项是__-5__.
5.一元二次方程5x2=6x -8的二次项系数、一次项系数、常数项分别是(C)
A .5,6,-8B .5,-6,-8
C .5,-6,8D .6,5,-8
6.下列一元二次方程中,不含一次项的是(D)
A .x(3x-4) =0B .5x2=x(1-2x)
C .(2x+1)(1-x) =0D .x(1-x) =x
知识点3:一元二次方程的根
7.已知x =2是一元二次方程x2+mx +2=0的一个解,则m 的值是(A)
A .-3 B.3 C.0 D.0或3
8.(1)(2014·哈尔滨) 若x =-1是关于x 的一元二次方程x2+3x +m +1=0的一个解,则m 的值为__1__;
(2)若-1是方程ax2+bx +c =0的一个根,则a -b +c =__0__.
知识点4:根据实际问题列一元二次方程
9.(2014·海南) 某药品经过两次降价,每瓶零售价由100元降为81元,已知两次降价的百分率都为x ,那么x 满足的方程是(B)
A .100(1+x)2=81B .100(1-x)2=81
C .100(1-x%)2=81D .100x2=81
10.某广场准备修建一个面积为200平方米的矩形草坪,它的长比宽多10米,设草坪的宽为x 米,则可列方程为(D)
A .x(x-10) =200B .2x +2(x-10) =200
C .2x +2(x+10) =200D .x(x+10) =200
11.根据下列问题,列出关于x 的方程,并将其化为一般形式.
(1)正方体的表面积为36,求正方体的边长x ;
(2)两个相邻偶数的积为328,求其中较小的偶数x.
解:(1)6x2=36,一般形式为:6x2-36=0
(2)x(x+2) =328,一般形式为x2+2x -328=0
12.若方程(m-1)x2+x =1是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是(C)
A .m≠1 B.m≥0
C .m≥0且m≠1D.m 为任意正实数
13.目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系,某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元,今年上半年发放了438元.设每半年发放的资助金额的平均增长率为x ,则下面列出的方程中正确的是(B)
A .438(1+x)2=389B .389(1+x)2=438
C .389(1+2x) =438D .438(1+2x) =389
14.(2014·菏泽) 已知关于x 的一元二次方程x2+ax +b =0有一个非零根-b ,则a -b 的值为(A)
A .1 B.-1 C.0 D.-2
15.在一幅长为80cm ,宽为50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示,如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为xcm ,那么x 满足的方程是(B)
A .x2+130x -1400=0
B .x2+65x -350=0
C .x2-130x -1400=0
D .x2-65x -350=0
16.已知关于x 的一元二次方程的一个根是1,写出一个符合条件的方程:__答案不唯一,如x(x-1) =0__.
17.已知关于x 的方程(m-3)x|m|-1+(m-2)x =5是一元二次方程,则m =__-3__.
18.直角三角形的三边是三个连续整数,求三边的长.若设较长的直角边为x ,则根据题意可列方程为__(x-1)2+x2=(x+1)2__.
19.把下列关于x 的一元二次方程化为一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)2x2=5x -3;
解:一般形式是2x2-5x +3=0,二次项系数是2,一次项系数是-5,常数项是3
(2)-7x2+2x =x +1;
解:一般形式是7x2-x +1=0,二次项系数是7,一次项系数是-1,常数项是1
(3)(x+3)(x-3) +2x =9.
解:一般形式是x2+2x -18=0,二次项系数是1,一次项系数是2,常数项是-18
20.根据问题,列出关于x 的方程:在圣诞节到来之际,九(3)班所有的同学准备送贺卡相互祝贺,所有同学送完后共送了1640张,求九(3)班有多少同学?
解:设九(3)班有x 名同学,根据题意,得x(x-1) =1640
21.k 为何值时,关于x 的方程(k+3)(k-1)x2+(k-1)x +5=0.
(1)是一元一次方程?
解:∵(k+3)(k-1) =0且k -1≠0,∴k =-3. 即当k =-3时,原方程是一元一次方程
(2)是一元二次方程?
解:∵(k+3)(k-1)≠0,∴k≠-3且k≠1.即当k≠-3且k≠1时,原方程是一元二次方程
22.已知k 是方程x2-2015x +1=0的一个不为0的根,不解方程,你能求出k2-2014k +的值吗?如果能,请写出解答过程;如果不能,请说明理由.
解:∵k 是方程x2-2015x +1=0的一个根,∴k2-2015k +1=0,∴k2+1=2015k ,∵k≠0,∴k +=2015,∴原式=k -1+=2015-1=2014
22.2 一元二次方程的解法
22.2.1 直接开平方法和因式分解法
第1课时 用直接开平方法和因式分解法解较简单的一元二次方程
1.利用__平方根__的定义直接开平方求一元二次方程的解叫做直接开平方法.
2.解一元二次方程,实质上是把一个一元二次方程“__降次__”,转化为两个__一元一次__方程.
3.当p≥0时,x2=p 的解为__x=±__.
4.当把一元二次方程的一边化为0,而另一边易分解成两个一次因式的乘积时,可令每个因式分别等于0,得到两个__一元一次方程__,从而实现降次求解的目的,这种解法叫做因式分解法.
知识点1:用直接开平方法解方程的条件
1.一元二次方程x2=c 有解的条件是(D)
A .c>0 B.c0D .b2-4ac0,所以x ===-2±,解得x1=-2+,x2=-2-
18.如图,在Rt △ABC 中,∠B =90°,AB =6cm ,BC =3cm ,点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s的速度移动,点Q 从点B 开始沿BC 边向C 以2cm/s的速度移动.如果P ,Q 分别从A ,B 同时出发,几
秒钟后P ,Q 两点的距离等于4cm?
解:设x 秒后,P ,Q 两点的距离等于4cm ,则由题意,得AP =x ,PB =6-x ,BQ =2x ,在Rt △PBQ 中,PQ2=PB2+BQ2,所以(4)2=(6-x)2+(2x)2,所以5x2-12x +4=0,解得x1=,x2=2,因为当x =2时,BQ =2×2=4>3,所以x =2不符合题意,应舍去,所以经过秒钟后P ,Q 两点的距离等于4cm
综合练习 一元二次方程的解法
1.利用求根公式求方程3x2+=7x 的根时,a ,b ,c 的值分别是(C)
A .3,,7 B.3,7,
C .3,-7,D .3,-7,-
2.用配方法解方程x2-2x -5=0时,原方程应变形为(C)
A .(x+1)2=6B .(x+2)2=9
C .(x-1)2=6D .(x-2)2=9
3.一元二次方程x(x-2) =2-x 的根是(D)
A .-1 B.2 C.1和2 D.-1和2
4.(2014·陕西) 若x =-2是关于x 的一元二次方程x2-ax +a2=0的一个根,则a 的值为(B)
A .1或4B .-1或-4
C .-1或4D .1或-4
5.要使分式的值等于零的x 是(A)
A .6B .-1或6
C .-1D .-6
6.若x2+20与3x2-20x +5互为相反数,则x 的值是(D)
A .3B .2
C .2.5,-2.5D .2.5
7.若方程x2-x =0的两个根为x1,x2(x10,∴A>B
17.阅读下面的例题:
解方程x2-|x|-2=0.
解析:(1)当x≥0时,原方程化为x2-x -2=0.
解得x1=2,x2=-1(不合题意,舍去) .
(2)当x0时,方程有__两个不相等的__实数根;
(2)当Δ=0时,方程有__两个相等的__实数根;
(3)当Δ0.∴此方程有两个不相等的实数根
知识点3:由一元二次方程根的情况确定方程中字母系数的取值
7.(2014·广东) 关于x 的一元二次方程x2-3x +m =0有两个不相等的实数根,则实数m 的取值范围为(B)
A .m>B.m1B .m =1
C .m__时,方程没有实数根.
11.如果关于x 的方程x2-x +k =0(k为常数) 有两个实数根,那么k 的取值范围是__k≤__.
12.(2014·宁波) 已知命题“关于x 的一元二次方程x2+bx +1=0,当b -1B .k -1且k≠0
14.关于x 的一元二次方程x2-mx +(m-2) =0的根的情况是(A)
A .有两个不相等的实数根
B .有两个相等的实数根
C .没有实数根
D .无法确定
15.若关于x 的一元二次方程nx2-2x -1=0无实数根,则一次函数y =(n+1)x -n 的图象不经过(C)
A .第一象限B .第二象限
C .第三象限D .第四象限
16.(2014·贺州) 已知关于x 的方程x2+(1-m)x +=0有两个不相等的实数根,则m 的最大整数值是__0__.
17.关于x 的方程(a-5)x2-4x -1=0有实数根,则a 满足的条件是__a≥1__.
18.已知a ,b ,c 为三角形的三边长,且关于x 的一元二次方程(b-c)x2+2(a-b)x +b -a =0有两个相等的实数根,那么这个三角形一定是__等腰__三角形.
19.(2014·扬州) 已知关于x 的方程(k-1)x2-(k-1)x +=0有两个相等的实数根,求k 的值.
解:∵关于x 的方程(k-1)x2-(k-1)x +=0有两个相等的实数根,∴Δ=0,∴[-(k-1)]2-4(k-1)×=0,整理得k2-3k +2=0,即(k-1)(k-2) =0,解得k =1(不符合一元二次方程定义,舍去) 或k =2,∴k =2
20.已知关于x 的一元二次方程ax2+bx +1=0(a≠0)有两个相等的实数根,求的值.
解:∵ax2+bx +1=0(a≠0)有两个相等的实数根,∴b2-4a =0,b2=4a ,∴原式==4
21.已知关于x 的一元二次方程x2+2x +2k -4=0有两个不相等的实数根.
(1)求k 的取值范围;
(2)若k 为正整数,且该方程的根都是整数,求k 的值.
解:(1)Δ=4-4(2k-4) =20-8k. ∵方程有两个不相等的实数根,∴Δ>0.即20-8k>0,∴k0,∴方程有两个不相等的实数根 (2)∵方程有两个不相等的实数根,∴AB =AC 不成立.∴要使△ABC 是等腰三角形,则AB 与AC 其中一条边与BC 相等,即方程必有一根为5,∴52-5(2k+1) +k2+k =0,解得k =4或k =5. 经检验k =4或k =5均符合题意.即k 的值为4或5
22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系
1.若一元二次方程x2+px +q =0的两根为x1,x2,则x1+x2=__-p__,x1x2=__q__.
2.一元二次方程在应用根与系数的关系时应注意两个条件:(1)方程必须是__一般__形式;(2)Δ__≥__0.
3.若一元二次方程ax2+bx +c =0(a≠0)的两根为x1,x2,则x1+x2=__-__,x1x2=____.
知识点1:一元二次方程根与系数的关系
1.(2014·昆明) 已知x1,x2是一元二次方程x2-4x +1=0的两个根,则x1·x2等于(C)
A .-4 B.-1 C.1 D.4
2.下列一元二次方程两实数根的和为-4的是(D)
A .x2+2x -4=0B .x2-4x +4=0
C .x2+4x +10=0D .x2+4x -5=0
3.已知方程x2-5x +2=0的两个解分别为x1,x2,则x1+x2-x1·x2的值为(D)
A .-7B .-3C .7D .3
4.方程x2=1-2x 的两根的和等于__-2__.
5.不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积:
(1)x2+3x +=0;
解:x1+x2=-3,x1·x2=
(2)3x2-2x -1=0;
解:x1+x2=,x1·x2=-
(3)2x2+3=7x2+x ;
解:x1+x2=-,x1·x2=-
(4)5x-5=6x2-4.
解:x1+x2=,x1·x2=
知识点2:一元二次方程根与系数的运用
6.已知一元二次方程x2-3x -1=0的两个根分别是x1,x2,则x12x2+x1x22的值为(A)
A .-3B .3C .-6D .6
7.若关于x 的一元二次方程x2-4(m+1)x +4m -1=0两根互为相反数,则m 的值是(D)
A .m =-B .m>
C .m>-且m≠0D.m =-1
8.已知关于x 的方程x2+mx -6=0的一个根为2,则这个方程的另一个根是__-3__.
9.已知关于x 的方程x2-mx +n =0的两个实根是0和-3,则m =__-3__,n =__0__.
10.(2014·莱芜) 若关于x 的方程x2+(k-2)x +k2=0的两根互为倒数,则k =__-1__.
11.若一元二次方程x2-(a+2)x +2a =0的两个实数根分别是3,b ,则a +b =__5__.
12.已知x1,x2是方程x2-3x -2=0的两个实根,不解方程,求下列代数式的值;
解:由根与系数的关系得x1+x2=3,x1x2=-2.
(1)+;
解:原式==-
(2)x12+x22;
解:原式=(x1+x2)2-2x1x2=9+4=13
(3)+;
解:原式==-
(4)x12-3x1x2+x22;
解:原式=(x12+x22) -3x1x2=13-3×(-2) =19
(5)(x1-2)(x2-2) .
解:原式=x1x2-2(x1+x2) +4=-2-6+4=-4
13.(2014·攀枝花) 若方程x2+x -1=0的两实根为α,β,那么下列说法不正确的是(D)
A .α+β=-1 B.αβ=-1
C .α2+β2=3D. +=-1
14.(2014·来宾) 已知一元二次方程的两根分别是2和-3,则这个一元二次方程是(D)
A .x2-6x +8=0B .x2+2x -3=0
C .x2-x -6=0D .x2+x -6=0
15.如果关于x 的一元二次方程x2+4x +a =0的两个不相等实数根x1,x2满足x1x2-2x1-2x2-5=0,那么a 的值为(B)
A .3 B.-3 C.13 D.-13
16.(2014·呼和浩特) 已知m ,n 是方程x2+2x -5=0的两个实数根,则m2-mn +3m +n =__8__.
点拨:∵m ,n 是方程的两个实数根,∴mn =-5,m +n =-2,∵m2+2m -5=0,∴m2=5-2m ,原式=(5-2m) -mn +3m +n =10+m +n =10-2=8
17.在解某个二次项系数为1的方程时,甲看错了一次项系数,得出的两个根为-9,-1;乙看错了常数项,得出的两根为8,2. 则这个方程为__x2-10x +9=0__.
18.若关于x 的一元二次方程x2-4x +k -3=0的两个实数根为x1,x2,且满足x1=3x2,试求出方程的两个实数根及k 的值.
解:由根与系数的关系,得又∵x1=3x2③,联立①、③,解方程组,得∴k =x1x2+3=3×1+3=6. 答:方程两根为x1=3,x2=1,k =6
19.关于x 的一元二次方程x2+2x +k +1=0的实数根是x1和x2.
(1)求k 的取值范围;
(2)如果x1+x2-x1x2-2,又k≤0,且k 为整数,∴k =-1或0
20.已知关于x 的一元二次方程x2+(2m-1)x +m2=0有两个实数根x1和x2.
(1)求实数m 的取值范围;
(2)当x12-x22=0时,求m 的值.
解:(1)由题意有Δ=(2m-1)2-4m2≥0,解得m≤.即实数m 的取值范围是m≤ (2)由x12-x22=0得(x1+x2)(x1-x2) =0. 若x1+x2=0,即-(2m-1) =0,解得m =. ∵>,∴m =不合题意,舍去,若x1-x2=0,即x1=x2,∴Δ=0,由(1)知m =. 故当x12-x22=0时,m =
21.已知关于x 的一元二次方程x2-(2k+1)x +k2+2k =0有两个实数根x1,x2.
(1)求实数k 的取值范围;
(2)是否存在实数k 使得x1·x2-x12-x22≥0成立?若存在,请求出k 的值;若不存在,请说明理由. 解:(1)∵原方程有两个实数根,∴[-(2k+1)]2-4(k2+2k)≥0,∴4k2+4k +1-4k2-8k≥0,∴1-4k≥0,∴k≤,∴当k≤时,原方程有两个实数根 (2)假设存在实数k 使得x1·x2-x12-x22≥0成立,∵x1,x2是原方程的两根,∴x1+x2=2k +1,x1·x2=k2+2k. 由x1·x2-x12-x22≥0,得3x1·x2-(x1+x2)2≥0.∴3(k2+2k) -(2k+1)2≥0,整理得:-(k-1)2≥0,∴只有当k =1时,上式才能成立,又∵由(1)知k≤,∴不存在实数k 使得x1·x2-x12-x22≥0成立
22.3 实践与探索
第1课时 用一元二次方程解决简单的应用问题
1.列一元二次方程解决实际问题时,与应用一元一次方程一样,一般步骤为:(1)审题,找等量关系;(2)设__未知数__;(3)列__方程__;(4)解__方程__;(5)检验并作答.
2.构建一元二次方程来解决实际问题时,必须验证方程的解是否符合__实际意义__.
3.几何图形问题常根据__面积(或体积)__公式列出一元二次方程.
4.若设每次的平均增长(或降低) 率为x ,原来的基数为a ,则第一次增长(或降低) 后的数量为__a(1±x)__,第二次增长(或降低) 后的数量为__a(1±x)2__.
知识点1:用一元二次方程解决几何问题
1.一个面积为35m2的矩形苗圃,它的长比宽多2m ,则这个苗圃的长为(C)
A .5m B.6m C.7m D.8m
2.等腰梯形面积为160cm2,上底比高多4cm ,下底比高多20cm ,这个梯形的高为(B)
A .20cmB .8cm
C .8cm 或20cmD .非以上答案
3.一个正方形的边长增加了3cm ,面积相应增加了39cm2,则原来这个正方形的边长为__5__cm.
4.如图,在一块长为22米,宽为17米的矩形地面上,要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行) ,剩余部分种上草坪,使草坪面积为300平方米.若设道路宽为x 米,则根据题意可列方程为__(22-x)(17-x) =300__.
5.如图是一个矩形花园,花园的长为100米,宽为50米,在它的四角各建一个同样大小的正方形观光休息亭,四周建有与观光休息亭等宽的观光大道,其余部分(图内阴影部分) 种植的是不同花草.已知种植花草部分的面积为3600平方米,那么花园各角处的正方形观光休息亭的边长为多少米?
解:设正方形观光休息亭的边长为x 米.依题意,有(100-2x)(50-2x) =3600. 整理,得x2-75x +350=0. 解得x1=5,x2=70. ∵x2=70>50,不合题意,舍去,∴x =5. 答:矩形花园各角处的正方形观光休息亭的边长为5米
知识点2:用一元二次方程解决增长率问题
6.某药品经过两次降价,每瓶零售价由168元降为128元.已知两次降价的百分率相同,每次降价的百分率为x ,根据题意列方程得(B)
A .168(1+x)2=128B .168(1-x)2=128
C .168(1-2x) =128D .168(1-x2) =128
7.某企业五月份的利润是25万元,预计七月份的利润将达到36万元.设平均月增长率为x ,根据题意所列方程是__25(1+x)2=36__.
8.(2014·随州) 某小区2013年绿化面积为2000平方米,计划2015年绿化面积要达到2880平方米.如果每年绿化面积的增长率相同,那么这个增长率是__20%__.
知识点3:用一元二次方程解决其他问题
9.若两个连续整数的积是42,那么这两个整数的和是(C)
A .13B .-13
C .13或-13D .12或-14
10.一个两位数等于它的个位数的平方,且个位数比十位数大3,则这个两位数是(C)
A .25B .36
C .25或36D .-25或-36
11.一球以15m/s的速度竖直向上弹出,它在空中的高度h(m)与时间t(s)近似满足关系式:h =15t -5t2,则小球在什么时刻的高度为10m?
解:由题意知,10=15t -5t2,解得t =1或t =2,所以小球在1秒或2秒时的高度为10m
12.某机械厂七月份生产零件50万个,第三季度生产零件196万个.设该厂八、九月份平均每月的增长率为x ,那么x 满足的方程是(C)
A .50(1+x2) =196
B .50+50(1+x2) =196
C .50+50(1+x) +50(1+x)2=196
D .50+50(1+x) +50(1+2x) =196
13.如图,在宽为20m ,长为32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分) ,余下的部分种上草坪.要使草坪的面积为540m2,求道路的宽.如果设小路宽为xm ,根据题意,所列方程正确的是(A)
A .(20-x)(32-x) =540
B .(20-x)(32-x) =100
C .(20+x)(32-x) =540
D .(20-x)(32+x) =540
14.有一间长20m ,宽15m 的会议室,在它的中间辅一块地毯,地毯子的面积是会议室面积的一半,四周未铺地毯的留空宽度相同,则留空宽度为__2.5_m__.
15.(2014·丽水) 如图,某小区规划在一个长30m ,宽20m 的长方形ABCD 上修建三条同样宽的通道,使其中两条与AB 平行,另一条与AD 平行,其余部分种花草,要使每一块花草的面积都为78m2,那么通道的宽应设计成多少?设通道的宽为xm ,由题意列方程__(30-2x)(20-x) =6×78__.
16.某商场今年2月份的营业额为400万元,3月份的营业额比2月份增加10%,5月份的营业额达到633.6万元.求3月份到5月份营业额的月平均增长率.
解:设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x ,根据题意,得400×(1+10%)(1+x)2=633.6,解得x =0.2=20%,x2=-2.2(不舍题意,舍去) .答:3月份到5月份营业额的月平均增长率为20%
17.据报道,我省农作物秸秆的资源巨大,但合理利用量十分有限,2013年的利用率只有30%,大部分秸秆被直接焚烧了.假定我省每年产出的农作物秸秆总量不变,且合理利用量的增长率相同,要使2015年的利用率提高到60%,求每年的增长率.(取≈1.41)
解:设我省每年产出的农作物秸秆总量为1,合理利用量的增长率是x ,由题意,得1×30%·(1+x)2=1×60%,解得x1≈0.41,x2≈-2.41(不合题意,舍去) .答:我省每年秸秆合理利用量的增长率约是41%
18.(2014·新疆) 如图,要利用一面墙(墙长为25米) 建羊圈,用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈,求羊圈的边长AB ,BC 各为多少米?
解:设AB 的长度为x ,则BC 的长度为(100-4x) 米.根据题意得(100-4x)x =400,解得x1=20,x2=5,则100-4x =20或100-4x =80. ∵80>25,∴x2=5舍去,即AB =20,BC =20. 答:羊圈的边长AB ,BC 分别是20米,20米
19.如图,要设计一幅宽20cm ,长30cm 的矩形图案,其中两横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为2∶3,如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一,应如何设计每个彩条的宽度?
解:设每个横彩条的宽为2x ,则每个竖彩条的宽为3x ,根据题意,得(20-6x)(30-4x) =(1-)×20×30. 整理,得6x2-65x +50=0,解方程,得x1=,x2=10(不合题意,舍去) .则2x =,3x =. 答:每个横、竖彩条的宽度分别为cm ,cm
第2课时 用一元二次方程解决复杂的应用问题
1.对于较复杂的实际问题,要先理清题目中的__等量关系__,求出直接列方程可得到的结果,再解决题目中拓展的问题.
2.利润=(__销售单价__-__成本单价__)×__销售量__.
知识点1:用一元二次方程解决复杂的几何问题
1.(2014·牡丹江) 现有一块长80cm ,宽60cm 的矩形钢片,将它的四个角各剪去一个边长为xcm 的小正方形,做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子,根据题意列方程,化简可得__x2-70x +825=0__.
2.已知如图所示的图形的面积为24,根据图中的条件,可列出的方程是__答案不唯一,如(x+1)2=25__.
3.王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈,用于饲养家兔.已知第一条边为a 米,由于受地势限制,第二条边只能比第一条边长的2倍多2米.
(1)请用a 表示第三条边长;
(2)问第一条边长可以为7米吗?为什么?请说明理由,并求出a 的取值范围;
(3)能否使得围成的小圈是直角三角形形状,且各边长均为整数?若能,说明你的围法;若不能,请说明理由.
解:(1)第一条边为a ,第二条边为2a +2,第三条边为30-a -(2a+2) =28-3a (2)不可以是7,理由:∵a =7时,2a +2=16,28-3a =7,7+7<16,不满足三角形三边之间的关系,∴不能构成三角形.根据三角形三边不等式关系,得2a +2-a700,符合题意.则该单位这次共有30名员工去旅游
12.如图,某中学准备在校园里利用围墙的一段,再砌三面墙,围成一个矩形花园ABCD(围墙MN 最长可利用25m) ,现在已备足可以砌50m 长的墙的材料,试设计一种砌法,使矩形花园的面积为300m2.
解:设AB =xm ,则BC =(50-2x)m ,根据题意可得,x(50-2x) =300. 解得x1=10,x2=15,当x =10,BC =50-10-10=30>25(不合题意舍去) ,故x =15. 答:可以围成AB 的长为15米,BC 的长为20米的矩形
13.某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望.为了加快资金周转,房地产开发商对价格经过两次下调后,决定以每平方米4050元的均价开盘销售.
(1)求平均每次下调的百分率;
(2)某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子.开发商还给予以下两种优惠方案以供选择:①打9.8折销售;②不打折,送两年物业管理费.物业管理费是每平方米每月1.5元.请问哪种方案更优惠?
解:(1)设平均每次降价的百分率是x ,依题意得5000(1-x)2=4050,解得:x1=10%,x2=(不合题意,舍去) .答:平均每次降价的百分率为10%
(2)方案①的房款是:4050×100×0.98=396900(元) ,另外需要两年内付物业管理费:1.5×100×12×2=3600(元) 方案②的房款是:4050×100=405000(元) ,故在同等条件下方案①需付房款:396900+3600=400500(元) .∵400500<405000,∴选方案①更优惠
14.将一根长为20cm 的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.
(1)要使这两个正方形面积之和等于17cm2,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?
(2)两个正方形面积之和可能等于12cm2吗?若能,求出这两段铁丝的长度;若不能,请说明理由.
解:(1)设剪成两段后其中一段为xcm ,则另一段为(20-x)cm. 由题意,得()2+()2=17,解得x1=16,x2=
4. 当x =16时,20-x =4;当x =4时,20-x =16. 故这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm 和16cm (2)不能.理由:由()2+()2=12,整理,得x2-20x +104=0. ∵202-4×104=-16
15.某商店购进600个旅游纪念品,进价为每个6元,第一周以每个10元的价格售出200个,第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个,但商店为了适当增加销量,决定降价销售(根据市场调查,单价每降低1元,可多售出50个,但售价不得低于进价) ,单价降低x 元销售一周后,商店对剩余旅游纪念品清仓处理,以每个4元的价格全部售出,如果这批旅游纪念品共获利1250元,问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元?
解:由题意,得200×(10-6) +(10-x -6)(200+50x) +(4-6)[600-200-(200+50x)]=1250. 即x2-2x +1=0. 解得x1=x2=1. ∴10-1=9. 答:第二周的销售价格为9元
16.如图,已知A ,B ,C ,D 为矩形的四个顶点,AB =16cm ,AD =6cm ,动点P ,Q 分别从点A ,C 同时出发,点P 以3cm/s的速度向点B 移动,一直到点B 为止,点Q 以2cm/s的速度向D 移动.问:
(1)P,Q 两点出发多长时间时,四边形PBCQ 的面积是33cm2;
(2)P,Q 两点出发多长时间时,点P 与点Q 间的距离是10cm?
解:(1)设P ,Q 两点从出发开始到xs 时,四边形PBCQ 的面积是33cm2,则AP =3x ,PB =16-3x ,CQ =2x ,由梯形的面积公式,得=33. 解得x =5. 即P ,Q 两点从出发开始到5s 时,四边形PBCQ 的面积为33cm2