现代信号处理教程-胡广书(清华)

第8章 M通道滤波器组

8．1 M通道滤波器组的基本关系

图8.1.1是一个标准的M通道滤波器组。

X(. . ˆ(z) .

图8.1.1 M通道滤波器组

由第五章~第七章的讨论，我们不难得到图中各处信号之间的如下相互关系： Xk(z)X(z)Hk(z) (8.1.1)

1

Vk(z)

M 

1M

M1l0

X

l0

k

(WMz)

lM

l

1M

M1

X(W

z)Hk(WMz) (8.1.2)

lM

1M

l

1M

1

及 Uk(z)Vk(z)

M

M

M1l0

X(zW

)Hk(zWM) (8.1.3)

l

滤波器组的最后输出

ˆ(z)G(z)U(z)Xkk

k0

M1



1

M

M1l0

X(zWM)Hk(zWM)Gk(z) (8.1.4)

l

l

k0

M1

- 230 -

1

令 Al(z)

M

M1l0

M1k0

H

k

(zWM)Gk(z) (8.1.5)

l

ˆ(z)A(z)X(zWl) (8.1.6) 则 XlM

ˆ(z)是X(zW)的加权和。由于 这样，最后的输出XM

l

X(zWM)

l

zej

X(ej(2l/M)) (8.1.7)

ˆ(ej)是X(ej)及其移位的加权和。由上一章的讨在l0时是X(ej)的移位，因此，X

论可知，在l0时，X(ej(2l/M))是混迭分量，应想办法去除。显然，若保证

Al(z)0 l1~M1 (8.1.8)

则可以去除图8.1.1所示滤波器组中的混迭失真.

再定义

1T(z)A0(z)

M

M1k0

H

k

(z)Gk(z) (8.1.9)

ˆ(z)是否对X(z)产生幅显然，T(z)是在去除混迭失真后整个系统的转移函数。这时，X

j

，度失真和相位失真就取决于T(z)的性能。若T(z)是全通的，也即T(e)那么滤波器组可避免幅度失真，若T(z)再具有T(z)cz

k

的形式，那么滤波器组又将消

除相位失真。因此，（8.1.9）式的T(z)和（7.2.4）式的T(z)一样，都称为“失真函数”。

由（8.1.5）式，A1(z)~AM1(z)能否为零取决于Hk(z)，Gk(z)，k0~M1的性质。将该式写成矩阵形式，有

H1(z)HM1(z)G0(z)A0(z)H0(z)

G(z)A(z)H(zW)H(zW)H(zW)01M11 (8.1.10) M1



M1M1M1H(zW)H(zW)H(zW)A(z)G(z)1M1M10M1

令

t(z)[MA0(z),0,,0], g(z)[G0(z),,GM1(z)] (8.1.11)

并令（8.1.10）式右边的矩阵为H(z)，则在去除混迭失真的情况下，有

t(z)H(z)g(z) (8.1.12)

- 231 -

T

T

式中H(z)的第一行是H0(z),,HM1(z)，第二至第M-1行分别是由这M个滤波器的依次移位所构成。因此，H(z)又称“混迭分量（Alias Component，AC）矩阵”。它等效于两通道情况下由（7.2.8a）式给出的矩阵Hm。

由（8.1.12）式，我们有

g(z)H1(z)t(z) (8.1.13)

为保证去除混迭失真，可选t(z)[MA0(z),0,,0]T[c'zk,0,,0]。这样，若H(z)已知，即可求出综合滤波器组g(z)。且整个的M通道滤波器组还具有PR性质。但（8.1.13）式在实际应用中有一系列的问题，这是因为：

g(z)

adj H(z)

t(z) (8.1.14)

detH(z)

式中adj H(z)是H(z)的伴随矩阵。

（1） 若H(z)是FIR的，显然detH(z)也是FIR的，这时g(z)将变成IIR的； （2） 若选择detHz()cz0t

n

z(，)这时g(z)可保证是FIR的，但由于

g(z)adHj z，因此(g(z)的阶次将远大于H(z)；

（3） 若H(z)有零点在单位圆上，g(z)的幅度将会产生较大的失真。

此外，由（8.1.13）式或（8.1.14）式并不容易找出H(z)、g(z)的关系以及H(z)自身应具有的特点，因此，我们需要采用多相结构的方法来研究如何去除混迭失真及探讨实现PR的途径。

8．2 M通道滤波器的多相结构

仿照（7.6.9）和（7.6.10）式，在多通道情况下的分析滤波器组可表为：

M1l0

Hk(z)zlEk,l(zM) (8.2.1)

写成矩阵形式，有

M

E0,1(zM)E0,M1(zM)1H0(z)E0,0(z)

1H(z)E(zM)MM

E(z)E(z)11,01,11,M1z (8.2.2) 



MMM(M1)H(z)E(z)E(z)E(z)M1,0zM1M1,1M1,M1

记 h(z)[H0(z),H1(z),,HM1(z)], e(z)[1,z,,z

- 232 -

T1(M1)T

] (8.2.3)

并记（8.2.2）式右边的矩阵为E(zM)，则

h(z)E(zM)e(z) (8.2.4)

E(zM)称为多相矩阵，而h(z)是由上一节的AC矩阵H(z)的第一列构成的。同理，对综合滤波器组Gk(z)按第二类多相结构展开，有

Gk(z)z(M1l)Rl,k(zM) (8.2.5)

l0M1

写成矩阵形式：

(M1)(M2)z,z,,1G0(z),G1(z),,GM1(z) 

R0,0(zM)R0,1(zM)R0,M1(zM)MMM

R(z)R(z)R(z)1,11,M1 (8.2.6) 1,0MMMR(z)R(z)R(z)M1,1M1,M1M1,0

记该式右边的多相矩阵为R(z)，则（8.2.6）式可写为如下更简洁的形式：

M

(z)R(zM) (8.2.7) gT(z)z(M1)e

(z)[e(z1)]T。利用（8.2.2）和（8.2.6）式，图8.1.1式中g(z)已在（8.1.11）式中定义，e

的M通道滤波器组可改为图8.2.1(a)的形式。再利用恒等变换，又可改成图（b）和（c）的形式。

在图（c）中，

P(z)R(z)E(z)

该图的得到过程与图7.6.1和图7.6.2的导出过程相类似。因此，对整个滤波器组的分析可集中到矩阵E(z)和R(z)的分析，或简单的P(z)的分析。若P(z)为单位阵，我们可以想象，那么该滤波器组一定可以实现准确重建。

至此，我们已讨论了M通道滤波器组的两种表示形式，一是用（8.1.10）式的AC矩阵表示的形式，二是用（8.2.2）式表示的多相形式。在深入讨论E(z)、R(z)的性能对整个系统PR性能的影响之前，我们先讨论一下，AC矩阵H(z)和多相矩阵E(z)的关系。

由（8.2.3）式对h(z)的定义及（8.1.10）式对E(z)的定义，我们有 H(z)[h(z),h(zW),,h(zW由（8.2.2）式，H(z)又可表为

TT

M1

)] (8.2.8)

HT(z)[E(zM)e(z),E(zM)e(zW),,E(zM)e(zWM1)] E(z)[e(z),e(zW),,e(zW

- 233 -

M

M1

)]

X(z)

(a)

ˆ(z) X(z)

(b)

ˆ(z) X(z)

v0(n)

u0(n)

(c)

ˆ(z) 图8.2.1 M通道滤波器组的多相结构； (a)直接表示； (b)利用恒等变换后的表示； (c)进一步的简化表示

111

1WM1

W

记 W

M1(

W(M1)M1W

D(z)diag[1,z,,z

- 234 -

1

(M1)





 (8.2.9) 1)

] (8.2.10)

则 HT(z)E(zM)D(z)W* (8.2.11a) 或 H(z)WHD(z)ET(zM) (8.2.11b) （8.2.11）式即是混迭分量矩阵H(z)和多相矩阵E(zM)的关系。

8．3 混迭抵消和PR条件的多相表示

我们在8.1节已指出，若A1(z),,AM1(z)全为零，则可实现混迭抵消。进一步，若T(z)为全通函数，或T(z)czk，则M通道滤波器组可以实现准确重建。现在我们讨论这些条件的多相表示。

定理8.1 一个M通道最大抽取滤波器组混迭抵消的充要条件是多相矩阵

P(z)R(z)E(z)

为伪循环矩阵。

所谓的伪循环矩阵，它是由一个循环矩阵

PP2(z)P0(z)1(z)

P(z)P(z)P(z)

01M1

PM2(z)PM1(z)P0(z)



P2(z)P3(z)1(z)P

1

PM1(z)

PM2(z)PM3(z)



P0(z)

PM1(z)

PM2(z)PM3(z)



P0(z)

将其主对角线以下的元素都乘以z所得到的矩阵，即

PP2(z)P0(z)1(z)

z1P(z)P0(z)PM11(z)

z1PM2(z)z1PM1(z)P0(z)

1z1P2(z)z1P3(z)1(z)zP

该伪循环矩阵所对应的时域关系是：

p0(n)p(n1)M1

pM2(n1)

p1(n1)

现证明定理8.1。

由图8.2.1（c），有

p1(n)p0(n)

pM1(n1)

p2(n1)

p2(n)p1(n)p0(n)



p3(n1)

pM1(n)pM2(n)



pM3(n)

p0(n)

- 235 -

1

Vl(z)

M

M1l0

M1k0

(z

1M

W)X(zWk) l0,1,,M1 (8.3.1)

kl

1M

Us(z)Ps,l(z)Vl(z) (8.3.2)

于是最后的输出

ˆ(z)z(M1s)U(zM)Xs

s0M1

M1



z

s0

(M1s)

M1l0

P

s,l

(zM)Vl(zM)

s,l

1 

M

M1s0

z

(M1s)

M1l0

P

k

(z)(zWk)lX(zWk) (8.3.3)

M

k0

M1

该式是M通道滤波器组中输入、输出关系的多相表示。交换求和顺序，有

ˆ(z)1X

M

M1k0

X(zW)Wz

kl

l0

s0

M1M1

l

z(M1s)Ps,l(zM) (8.3.4)

因为X(zWk)，k1,2,,M1为混迭分量，为使混迭抵消，我们应设法令其等于零。也就是说，使混迭抵消的充要条件是使k0时的

M1

M1s0

记 则（8.3.5）式可表为：

Wz

kl

l0M1s0

l

z(M1s)Ps,l(zM)0 (8.3.5)

l(M1s)MzzP(z)Ql(z) (8.3.6) s,l

czn0 k0

WQl(z) (8.3.7)

l00 k1,,M1

M1

kl

式中c为不等于零的常数。

为便于观察矩阵P(z)中元素Ps,l的规律，现对（8.3.6）式作进一步的展开。假定M=4，有

21Q0(z)z3P0,0zP1,0zP2,0P3,0 (8.3.8a)

321Q1(z)z4PzPzPzP0,11,12,13,1 (8.3.8b)

- 236 -

432

Q2(z)z5PzPzPzP0,21,22,23,2 (8.3.8c)

543Q3(z)z6PzPzPzP0,31,32,33,3 (8.3.8d)

44

注意式中省去了P（8.3.7）式可表为 s,l(z)的(z)。同时，

Q0(z)czn0

Q(z)01 WH





Q(z)0M1

由于WW

H

MI，所以上式又变为：

Q0(z)Q(z)1WQ(z)n1

式意味着

c'zn0

0 (8.3.9) 0

常数c’包含了常数c和M。由于W是DFT矩阵，其第一行和第一列全为１。因此，（8.3.9）

Q0(z)Q1(z)QM1(z)c'zn0 (8.3.10)

由（8.3.8）和（8.3.10）式可知，矩阵P(z)中各元素Ps,l应有如下规律（以M=4为例）

① 同为z的系数应该相等，即

3

P0,0P1,1P2,2P3,3

② 同为z的系数应该相等，即

2

P1,0P2,1P3,2

③ 同为z的系数应相等，即 P2,0P3,1

④ 由于Q0(z)Q1(z)，因此，在（8.3.8）的前两个式子中，必应有

4

PzP3,00,1

1

⑤ 同理，由（8.3.8b）和（8.3.8c）式，应有

- 237 -

5

z1PzP3,10,2

由（8.3.8c）和（8.3.8d）式，应有

6z2PzP3,20,3

因此矩阵P的各元素之间应有

P0,0P0,1P0,2PPP1,01,11,2P[Ps,l]

P2,0P2,1P2,2P3,0P3,1P3,2

P0,1P0,0

z1PP0,00,3 1

zP0,2z1P0,311

zP0,1zP0,2

5

1

P0,3

P1,3P2,3P3,3P0,2P0,1P0,0z1P0,3

P0,3P0,2P0,1P0,0

注意式中由z改成z是因为矩阵P实际上是P(z4)。由此我们可以看出，P(z)确实是一伪循环矩阵。

本定理的证明可参看文献［23］，另一种证明方法可参看文献［15］。

在两通道的情况下，若P(z)R(z)E(z)I，则该系统可以实现准确重建。同样，由图8.2.1c，在M通道的情况下若P(z)为单位阵，那么该系统也必然会实现PR。其实，在M通道情况下，我们不一定要求P(z)为单位阵，条件可适当放宽。下面的定理给出了

M通道滤波器组实现PR的充要条件。

定理8.2 一个M通道最大抽取滤波器组实现准确重建的充要条件是

0

P(z)R(z)E(z)czn01

zI

式中n0,r为整数，0M1，c为不等于零的常数。

IM

(8.3.11) 0

证明：PR条件意味着混迭抵消条件成立。由（8.3.4）式，在k=0时，有

M1M1

1ˆX(z)X(z)zlz(M1s)Ps,l(zM) (8.3.12) Ml0s0

由（8.3.6）式的定义，则

M1

11ˆX(z)X(z)Ql(z)X(z)[Q0(z)Q1(z)QM1(z)] MMl0

由（8.3.10）式，并定义

- 238 -

Q0(z)Q1(z)QM1(z)Q(z) (8.3.13)

ˆ(z)X(z)Q(z) (8.3.14) 则 X

ˆ(z)cx(nn)，则Q(z)cz我们希望X0

n0

。由（8.3.8a）式，由于

(M2)1

Q0(z)Q(z)z(M1)PP0,0(z)z1,0(z)zPM2,0(z)PM1,0(z)

因此，要求Q(z)cz

n0

，则等效要求Q0(z)中只能包含一项。不失一般性，设Q0(z)中下

标为(,0)的元素不为零，该项是z(M1)P,0(z)。由于P(z)又是伪循环矩阵，也即从第一行开始，以下各行元素都是第０行元素循环移位的结果，因此，P(z)必然具有如下形式：

00

00



00P(z)

(M1)1

zPr,0(z)0z



0

z(M1)pr,0(z)



00z(M1)Pr,0(z)



z(M1)Pr,0(z)0





0z(M1)Pr,0(z)



0





0



即 P(z)z(M1)于是定理得证。

0

1zIIM

(8.3.15) 0

8.４ M通道滤波器组的设计

定理8.1和定理8.2指出，对M通道最大抽取滤波器组，若去除混迭失真，则

P(z)R(z)E(z)应为一伪循环矩阵。若再做到准确重建，则P(z)的每一行（或列）只

能有一个元素不为零，整个的P(z)如（8.3.11）式所示。这样，实现PR的M通道滤波

- 239 -

器组的P(z)结构已确定，其余的任务即是寻求Hk(z),Gk(z),k0,1,,M1来满足P(z)。直接求出Hk(z),Gk(z)是比较困难的。由于P(z)R(z)E(z)，因此，由给定形式后的P(z)来寻求E(z)相对比较容易。又由于一旦求出E(z)后为求R(z)需要求逆运算，而求逆往往会带来数值上的不稳定或是使R(z)为IIR的。因此，为避免求逆运算，我们往往假定E(z)是仿酉的。这样

(z) (8.4.1) R(z)czn0E

是一个极简单的计算。同时

(z)E(z)czn0I (8.4.2) P(z)R(z)E(z)czn0E

保证了系统的PR性质。反之，若系统满足PR，由（8.4.2）和（8.4.1）式，E(z)必定是仿酉的。现在的问题是如何设计出E(z)使之满足（8.4.2）式，一旦E(z)求出，由

M1

l0Hk(z)zlEk,l(zM) (8.4.3a)

Gk(z)z(M1l)Rl,k(zM) (8.4.3b)

l0M1

即可求出Hk(z)和Gk(z),k0,1,,M1。

由第七章两通道滤波器组的分析可知，若要设计出一个满足要求的仿酉矩阵E(z)，可行的方法是将E(z)分解成一系列简单矩阵的积，如（7.7.9）式。在该式中，我们将E(z)分解成旋转矩阵Bk和对角矩阵D(z)的级联。Bk中仅包含一个参数k。通过最优的方法求出k，从而得到E(z)，也即得到H0(z)和H1(z)。对多通道情况下的E(z)，我们也可仿照（7.7.9）式将其分解为旋转矩阵和对角矩阵的级联。但这时的旋转矩阵Bk将会有较多的正弦和余弦，因此，Bk中包含的参数将远不只一个，这将给后边的优化工作带来困难。文献［15］提出了一个对E(z)分解的“diadic”方法。现给以简要介绍。

给定一个范数等于1的向量Vm，其维数为M1，那么VmVm是MM的矩阵，定义 H

Cm(z)IVmVmVmVmz1 (8.4.4)

则Cm(z)是仿酉矩阵，即 HH

(z)C(z)I (8.4.5) Cmm

此式的证明见文献［23］。这样，每一个Cm(z),m0,1,,M1，都是一个一阶的仿酉系统，该系统可由图8.4.1来实现。

- 240 -

1

图8.4.1 一阶仿酉系统Cm(z)的实现

可以证明，一个J阶的仿酉矩阵E(z)可由一阶的简单仿酉矩阵Cm(z)的级联来构成，即

E

(z)CJ

(z)CJ1(z)C1(z)U (8.4.5)

式中U为常数酉矩阵，即UUdI，那么，E(z)可由图8.4.2来实现。 H

… 图8.4.2 E(z)的实现

文献［15］进一步证明了常数酉矩阵U可进一步作如下分解：

U1U2UM1D (8.4.6)

式中D是对角阵，其元素Diieji，而矩阵Ui可表为

HUiI2uiui (8.4.7)

式中ui也是范数为１的向量，因此UiUiI，Ui称为“Householder”阵。这样矩阵U可由图8.4.3a来实现，而矩阵Ui可由图8.4.3b来实现。无论E(z)的系数是实的还是复的，上述分解都成立。如果E(z)的系数是实的，那么向量Vm和ui的元素都是实的。

将E(z)按（8.4.5）式分解，Cm(z)由（8.4.4）式的Vm表示，而将U可按（8.4.6）式分解后，Ui又由（8.4.7）式的ui表示。因此，决定E(z)的主要是向量Vm和ui，现在的工作是选定一目标函数，然后对Vm和ui求最优，从而得到所需要的“好的”分析滤波器Hk(z)。目标函数可选Hk(z),k0,1,,M1这M个滤波器阻带能量的和，即

M1H

k0阻带Hk(ej)d (8.4.9) - 241 -

2

(z)即可得到综合滤波器组。令将对Vm和ui最小可得到Hk(z)，再由Gk(z)cz(N1)H k

… (a) (b) 图8.4.3 (a)矩阵U的实现 (b) 矩阵Ui的实现

文献［15］利用此方程设计了一个三通道的滤波器组，其幅频响应如图8.4.4所示，h0(n),h1(n)和h2(n)的数值如表8.4.1所示。

表8.4.1三通道滤波器组各滤波器的系数

----------------------------------------------------------------------------- n h0(n) h1(n) h2(n)

0 -0.0429753 -0.0927704 0.0429888 1 0.0000139 0.0000008 -0.0000139 2 0.1489104 0.0087654 -0.1489217 3 0.2971954 0.0000226 0.2972354 4 0.3537539 0.1864025 -0.3537496 5 0.2672266 -0.0000020 0.2672007 6 0.0870758 -0.3543303 -0.0870508 7 -0.0521155 -0.0000363 -0.0520909 8 -0.0875973 0.3564594 0.0875786 9 -0.0427096 -0.0000049 -0.0427067

10 0.0474530 -0.1931082 -0.0474452

11 0.0429618 0.0000230 0.0429677

12 0.0 0.0 0.0

13 -0.0232765 -0.0000026 -0.0232749

14 0.0000022 0.0 0.0000022

-----------------------------------------------------------------------------

- 242 -

图8.4.4 三通道滤波器组的幅频响应

8.5余弦调制滤波器组

8.5.1余弦调制滤波器组的基本概念及伪QMFB

我们在6.2节介绍了DFT滤波器组。其思路是给定一个原型滤波器组h(n)，令

hk(n)h0(n)ej2knM (8.5.1a)

则 Hk(ej)H0(ej(2k/M)), k0,1,,M1 (8.5.1b)

j2knM即M个分析滤波器组是由h(n)作调制所得到的，调制因子是e，相应的频谱是

H(ej)做均匀移位所得到的。移位距离是2M。这样，为防止Hk(ej)之间有混迭，

，带宽为2M。如图6.1.2所示。 H(ej)的截止频率在M。

DFT滤波器组只需设计一个原型的低通滤波器h(n)，整个分析滤波器组可由（8.5.1a）式得到，且其实现可用FFT来完成，如图6.2.2所示，这是它的突出优点。然而DFT滤波 - 243 -

器是一种复数调制滤波器组，即使h(n)是实的，hk(n),k1~M1也是复的，这样，对实信号x(n)，经分析滤波器组的分析后，M个子带信号也都变成复信号。这是DFT滤波器组的缺点。

为了克服DFT滤波器组的这一缺点，人们又提出了“余弦调制”滤波器组的概念。假定我们给定两个原型滤波器h(n)和g(n)，令

hk(n)2h(n)cos[(k0.5)(nD)k] (8.5.2a) 2M

D)k] （8.5.2b） 2M k0,1,,M1gk(n)2g(n)cos[(k0.5)(n

则可得到M个分析滤波器和M个综合滤波器，但它们都是实系数的滤波器。式中

k(1)k4 (8.5.3)

D是整个滤波器组输出相对输入的延迟。由于hk(n),gk(n)是原型的h(n),g(n)乘以余弦函数所得到的，因此称它们为“余弦调制”滤波器组。现就（8.5.2）及（8.5.3）式的给出做一些说明。

对给定的原型低通滤波器h(n)，我们首先由它得到一个2M大的DFT分析滤波器组，即令

pk(n)h(n)W2M

kkn (8.5.4a) P,,2M1 (8.5.4b) k(z)H(zW2M) k0,1

式中W2Mej2/2Mjj。我们假定h(n)是实的，所以H(e)是偶对称的，并假定H(e)是低通的，其截止频率在2M处，带宽为M，如图8.5.1a所示。由于

jj(k/M)P) k0,1,,2M1 (8.5.4c) k(e)H(e

j所以Pk(e)如图8.5.1b所示。 jj由该图可以看出，Pk(e)和P2Mk(e),k1,,2M2是相对0为对称的。

这样，如果我们把Pk(z)和P那么该滤波器将具有实系数，2Mk(z)相结合形成一个滤波器，

且带宽度为2M 。现在讨论如何实现这两个滤波器的结合。

- 244 -

图8.5.1 余弦调制滤波器组的频率响应

j (a)原型低通H(e) (b)2M个分析滤波器组

令 Uk(z)CkH(zWk) (8.5.5a)

Vk(z)CkH(zWk) (8.5.5b)

式子中Ck为模为1的范数。令 *

Hk(z)akUk(z)akVk(z), k0,1,,M1 (8.5.6)

式中ak也是模为1的范数。由于 *

H(z)h(n)zn (8.5.7)

n0N1

是阶次为N-1的FIR实系数低通滤波器，所以，由（8.5.6）式得到的

Hk(z)hk(n)zn k0,1,,M1 (8.5.8)

n0N1

也是N-1阶的FIR滤波器，由于Uk(z),Vk,ak,ck的共轭特性，因此hk(n)也是实系数。显然，H0(z)是低通的，HM1(z)是高通的，其余则是带通的。

由前述各类滤波器的讨论可知，综合滤波器组一般应和分析滤波器组具有相同的幅频响应。因此，我们可选

- 245 -

Gk(z)bkUk(z)bkVk(z), k0,1,,M1 (8.5.9)

这样，由（8.5.5）～（8.5.9）式保留了三个常数待确定，即ck,ak和 bk。如同所有的滤波器组一样，需要研究如何实现混迭抵消及去除幅度失真和相位失真的问题。

80年代中期提出的余弦调制滤波器组着重研究的是所谓“伪QMF”滤波器组[132,102]， 这一类滤波器组近似实现PR，但不是真正的PR，它可以去除相位失真，混迭失真没能完全抵消，幅度失真也没能完全去除，只是尽量做到最小。文献[95]提出了第一个可实现PR的余弦调制滤波器组，但hk(n)和gk(n)的长度为2M。而后，人们利用仿酉矩阵的特点，进一步把滤波器的长度扩展到任意长，并把调制矩阵由第Ⅳ类DCT扩展到DCT-Ⅱ和DCT-Ⅲ。现在先从伪QMF的情况讨论ck,ak和 bk的决定以及相应的时域、频域关系。

由（8.1.9）式，在M通道滤波器组中失真函数T(z)总有如下的形式： *

1T(z)MM1k0Hk(z)Gk(z) (8.5.10)

若选择 gk(n)hk(N1n) (8.5.11a)

(z) (8.5.11b) 或等效地选择 Gk(z)z(N1)Hk(z1)z(N1)Hk

z(N1)

则 T(z)M

或 MT(e)ejM1k0Hk(z)Hk(z1) (8.5.12a) Hk(ej) (8.5.12b) 2j(N1)M1k0

这样，如果T(z)具有线性相位，从而去掉了相位失真。若Hk(ej)再是功率互补的，则可去掉幅度失真。文献[15]证明了如下关系：

1． 为去除混迭失真，应选择akbkak1bk1；

2． 选择ckW2M

*(k0.5)(N1)/2**，可保证Uk(z)，Vk(z)和H(z)有着同样的相频响应； (z)，从而使T(z)具有线性相位，从而去除 3． 选择bkak，可使Gk(z)z(N1)Hk

相位失真；

4． 选择ak(1)kjak1及bkak ，保证了第1条的ak,bk条件，即去除混迭失真。 对ak的此种制约，可选

- 246 - *

akejk, k(1)k

这时，T(z)可简化为 4 (8.5.13)

1T(z)MM1k0[U2k(z)Vk(z)] (8.5.14) 2

5． 总之，按（8.5.13）式选择ak及使Gk(z)如（8.5.11b）式，我们可近似消除混迭失 真，并完全去除相位失真。在上述条件下，hk(n)和gk(n)最后简化为（8.5.2）式，且在该式中g(n)h(n)。即分析和综合滤波器组来自于同一个原型低通滤波器h(n)。式中D=N-1。

6． 余下的问题是幅度失真。幅度失真的原因来自（8.5.12b）式的T(ej)不是全通的。 由于余弦调制滤波器组的Hk(z)和Gk(z)均来自原型滤波器H(z)，因此，T(z)的形态便直接和H(z)有关，也即余弦调制滤波器组的设计归结到H(z)的设计。前已述及，Hk(z)的截止频率为2M，带宽为M。我们自然希望H(ej)在通带内尽量地平，在阻带内具有最大的衰减。因此，定义

1/M

0[H(e)H(e

j2j2j(/M))1]2d (8.5.15a) 22H(e)d (8.5.15b)

2M

并令 1(1)2 (8.5.15c)

01 ，通过使最小可得到最优的H(z)。是通带和阻带性能之间的一个调节参数，

由此形成的Hk(z)和Gk(z)即为伪QMFB。

有关伪QMFB的设计举例及建立在DCT矩阵结构上的实现请参看文献[15]，此处不再讨论。

8.5.2 余弦调制滤波器组准确重建的条件

上一节讨论的伪QMFB只是近似去除了混迭失真和幅度失真，因此并不具备PR性能，这是余弦调制滤波器组早期的研究成果。下面，我们以多相结构和仿酉矩阵来讨论余弦调制滤波器组实现PR的条件。详细内容请参看文献[68]。

对（8.5.2）式给出的余弦调制的基本形式，我们假定h(n)和g(n)可以不等长，如h(n)的长度为Nh，g(n)的长度为Ng，并假定整个滤波器组的延迟D也是可变的，其变化范围是

- 247 -

D[M1,NhNg(M1)] (8.5.16a)

为讨论的方便，假定D取某一固定值，即

D2sMd, 0d2M1, sZ (8.5.16b)

近年来的研究表明，余弦调制滤波器组既可通过DCT-Ⅳ来实现，也可通过DCT-Ⅲ及DCT-Ⅱ来实现。有关四类DCT的定义见文献[19]。当用DCT-Ⅳ来实现时，D为奇数，当用DCT-Ⅲ来实现时，D为偶数。

我们的任务是寻求分析滤波器组Hk(z)的原型H(z)及综合滤波器组的原型G(z)，使得整个FB具有PR性质。为此，我们首先将H(z)和G(z)表成2M个多相分量的和， 即：

2M1

H(z)z

l0lEl(z2M) (8.5.17a)

2M1

G(z)

式中 zl0lRl(z2M) (8.5.18a)

El(z)Nh'1

k0k (8.5.17b) h(2Mkl)z

Ng'1

Rl(z)g(2Mkl)z

k0k (8.5.18b)

Nh',Ng'分别是E(z),Rl(z)所对应的时域序列的长度。

定义 h0(z)diag[E0(z),E1(z),,EM1(z)] (8.5.19a)

h1(z)diag[EM(z),EM1(z),,E2M1(z)] (8.5.19b)

1D[C1]k,l2cos[(k)(l)(1)k] (8.5.20) 22M4

0kM1, 0l2M1

h0(z2)再令 E(z)C11 (8.5.21) 2zh(z)1

则分析滤波器组H0(z),H1(z),,HM1(z)的多相结构可表为：

- 248 -

11

Mz (8.5.22) h(z)E(z)(M1)z

同理，对综合滤波器组，我们可定义：

g0(z)diag[RM1(z),RM2(z),,R0(z)] (8.5.23a)

g1(z)diag[R2M1(z),R2M2(z),,RM(z)] (8.5.23b)

[C2]k,l2cos[(2k1)D)(1)k]2M24 (8.5.24) 0kM1, 0l2M1(2M1l

TR(z)[z1g1(z2),g0(z2)]C2 (8.5.25) 

则综合滤波器组G0(z),G1(z),,GM1(z)的多相结构可表为：

gT(z)[z(M1),z(M2),,1]R(zM) (8.5.26)

在上面的讨论中，E(z),R(z)都是MM的多相矩阵，这样，整个滤波器组的多相传递矩阵

P(z)R(z)E(z)

h0(z2) (8.5.27) [zg1(z),g0(z)]C2C112zh(z)1122T

文献[66]证明了C2C1具有如下形式： T

JTC2C12MM

000s(1)IJMd1I2M1d (8.5.28) 0

式中JM为MM的反单位阵。将（8.5.28）代入（8.5.27）式，有

JP(z)2M[zg1(z),g0(z)]M

012200s(1)IJMd1I2M1dh0(z2)120zh1(z)

(8.5.29)

由定理8.2，一个M通道FB实现PR的充要条件是

- 249 -

0

P(z)R(z)E(z)czm01

zIrIMr

(8.5.30) 0

不失一般性，可假定c =1。对比（8.5.30）和（8.5.29）式，我们可得到在d取不同值时实现PR的P(z)的表达式：

0

P(z)z(2s1)1

zId1

及 P(z)z2s

IM1d

0dM1 (8.5.31a) 0

I2M1d

Md2M1 (8.5.31b) 0

0

1

zId1M

现对上式中的一些参数作一简单的解释：

在（8.5.30）式中，m00,0rM1，且整个FB的延迟等于(m01)Mr1。

由于我们在（8.5.16b）式中假定D2sM

1

d，因此，若0dM1，则

rd1,m1Md2M1，则rdM1,m02s。这即是（8.5.31）02s；若

式中d在两种情况下取值时单位阵I的下标及z的幂的取值的原因。

R(z),E(z)分别由原型G(z),H(z)的多相分量所组成，由于P(z)R(z)E(z)，因此，

由（8.5.31）式可找到El(z)，Rl(z)为实现PR所应遵循的关系。文献[68]经过冗长的推导给出了在l和d取不同值时的PR条件的表达式。文献[10]把它写为一简洁的形式，即：

zs

(8.5.32a)El(z)R2M1l(z)EMl(z)RM1l(z)

2M

El(z)RMl(z)EMl(z)Rl(z)0 (8.5.32b)

满足（8.5.32b）式的Rl(z)和El(z)有如下关系：

Rl(z)zEl(z) (8.5.33a) RMl(z)zEMl(z) (8.5.33b)

若选择1,0，即Rl(z)El(z),l0,1,,2M1，那么（8.5.32a）式变成

zs

El(z)E2M1l(z)EMl(z)EM1l(z) l0,1,,M/21 (8.5.30)

2M

显然：

- 250 -

zs

E0(z)E2M1(z)EM(z)EM1(z)

2Mzs

E1(z)E2M2(z)EM1(z)EM2(z)

2Mzs

E2(z)E2M3(z)EM2(z)EM3(z)

2M

这M/2个方程犹如M/2个两通道滤波器组的PR条件。

文献[68]建议用正交制约下的最小平方（Quandratic-Constrained LeastSquares, QCLS）方法来设计原型低通滤波器H(z)。QCLS方法的详细讨论见文献[91]，此处不再讨论。此外，读者不难发现（8.5.20）式的矩阵C1和（8.5.24）式的矩阵C2即是DCT矩阵，因此，整个分析滤波器组和综合滤波器组的实现都可由DCT的快速算法来实现。由（8.5.19）~（8.5.22）式，我们可得到分析滤波器组实现的信号流图，如图8.5.2所示

X(zH0(z)H1(z)

图8.5.2 余弦调制分析滤波器组的实现

HM1(z)

总之，余弦调制滤波器的M个分析滤波器H0(z),H1(z),,HM1(z)均来自一个低通原型滤波器H(z)。因此将使设计简单化，即最优化时仅对H(z)进行，从而使需要最优的参数大大减少。由H(z)得到余弦调制的H0(z),H1(z),,HM1(z)可通过DCT的快速算法来实现，使整个计算的复杂性大大降低。有关M通道调制型滤波器组的理论与实现是一个很有吸引力的研究课题，至今这方面的论文仍是很多。

- 251 -