向量法作正方体截面
向量法作正方体截面
光山县第二高级中学 陈宏天
已知正方体棱上的三点(不在同一侧面内)作正方体的截面,是一个古老的话题,对有些同学来说也是一个难题。
正方体的截面问题分为两大类,一类是已知的三点中有两点在同一侧面的棱上,此类问题较易解决;另一类是已知的三点没有任何两点在同一侧面内,这一类截面问题的解决有“垂线法”和“向量法”两种,“垂线法”早有书籍介绍,但“向量法”却鲜为人知。现将两种方法介绍如下:
一、垂线法
【问题】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知M、N、P分别是棱AB、CC1、D1A1上的点,求作过点M、N、P的正方体的截面。
【分析】此类问题的难点在于已知的三点没有任何两点在正方体的同一侧面内,解题的方向是把该问题转化为第一类问题,即在已知的点中有两点在正方体的同一侧面内。设过点M、N、P的正方体的截面所在的平面为α ,则平面α与平面AD1相交(公理3),我们有理由相信平面α与棱AA1相交于一点,不妨设该点为R,如果我们能确定R在棱AA1上的位置,问题就转化为第一类问题。
【作法】过点P作棱AD的垂线,记垂足为Q,连接QM、AC、PM,记QM∩AC=O,过点O作线段MQ的垂线,交线段PM于点O1,显然点O1∈平面α,又点O1∈平面ACC1A1,所以直线NO1与直线AA1共面且相交,其交点即为点R,余下过程略。
二、向量法
如图建立空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长为1,M(1,a,0),N(0,1,b),
P(c,0,1),设R(1,0,r)是正方体截面与棱AA1的交点,则四点MNPR共面,即向量
因为(0,a,r)、(1,1,br)、(c1,0,1r),、RN、共面,根据平面向量基本定理知,存在实数对(,),使得,
c10a所以(c1,0,1r)(0,a,r)(1,1,br),从而,消去
1rrbr
、得ra(1bbc),即得R在棱AA1上的具体位置,
acc1
同理可得正方体截面与其它棱的交点位置,但过程要比确定R点的位置简单的多。
【练习】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知M、N分别是棱AB、CC1的中点,P为棱D1A1的三等份点(靠近A1点),求作过点M、N、P的正方体的截面。