可降阶的二阶微分方程
第五节 可降阶的二阶微分方程
在前面几节中,我们已经介绍了几种可用初等方法求解的一阶方程类型,正确而又敏捷地判定所给方程的类型从而按照所知的方法求解,这是基本的要求。因为我们所遇到的方程,有时不易直接判定其类型,有时需要适当的运算,或作变量替换才能化为能求解的类型,读者应注意学习解微分方程的各种技巧。 对于一般的二阶微分方程没有普遍的解法,本节讨论几种特殊形式的二阶微分方程,它们有的可通过积分求得,有的可经过适当的变量替换可以降为一阶微分方程,然后求解一阶微分方程,再将变量代回,从而求得二阶微分方程的解。
dydx
22
§5.1 =f(x)型的微分方程
这是一种特殊类型的二阶微分方程,本章第一节例2就是这种类型,求解方法也较容易,只需二次积分,就能得它的解 积分一次得
dydx
=∫f(x)dx+C1
再积分一次得 y=∫[∫f(x)dx+C1]dx+C2
上式含有两个相互独立的任意常数C1,C2,所以这
就是方程的通解。 例1. 求方程
dydx
2
2
=-
dydx
1sinx|
x
4
2
满足y|
x==-
4
ln22
,=1的特解。
解 积分一次得
dydx
=ctanx+C1
dydx|
x
以条件
dydx
4
=1代入得C1=0,即有
=ctanx
再积分一次得 y=ln|sinx|+C2 以条件y|x==-
4
ln22
代入,得
-
ln22
=ln
22
+C2 即C2=0
于是所求特解是 y=ln|sinx|。 这种类型的方程的解法,可推广到n阶微分方程
dydx
nn
=f(x),只要积分n次,就能求得它的通解。
dydx
323
例2. 解微分方程=lnx+x
2
解 积分一次得
dydx
=xlnx+x+C1
积分二次得
dydx
=xlnx-
2x
3
1
2
x
2
4
+C1x+C2
C12
积分三次得 y=
6
lnx+
dydx
x
3
12
+
x2+C2x+C3
§5.2
dydx
2
2
=f(x,
dydx
)型的微分方程
这种方程的特点是不明显含有未知函数y,解决的方法是:我们把
dydx
作为未知函数,而使变换,令
=p
22
于是有
dydx
=
dpdx
,这样可将原方程降为如下形式的
一阶方程
dpdx
=f(x,p)
这里p作为未知函数,如能求出其通解 p=φ(x,C1) 然后根据关系式
dydx
=p即可求得原方程的通解
y=∫φ(x,C1)dx+C2 例3. 求微分方程(1+x) 解
解 这是一个不明显含有未知函数y的方程 作变换 令
dydx
dydx
22
2
dydx
2
2
-2x
dydx
=0的通
=p,则=
dpdx
,于是原方程降
阶为 (1+x)
dpp
2
dpdx
-2px=0 dx
2
=
2x1x
2
积分得 ln|p|=ln(1+x)+ln|C1| 即 p=C1(1+x2) 从而
dydx
=C1(1+x)
2
再积分一次得原方程的通解 y=C1(x+
x
3
3
)+C2
例4. 设有柔软而无伸缩性的均匀绳索,求其两端固定且仅受自身重量作用时的形状,即求绳索曲线的方程(如图6-2)。
解 取曲线上最低点N的铅直线作Oy轴,取水平方向的直线为Ox轴,ON的长暂时不定。取曲线上任一点M,由于这时绳索处在平衡状态,故可将NM这段绳索看作刚体,这段绳索上受到三个力的作用,在N点处切线方向的张力H,在M点处切线方向的张力T,
⌒
⌒
以及本身重量p=Sμ,其中S是NM的长度,μ是绳索单位长度的重量。
将力T分解为水平分力及铅直分力,并应用力的平
图
衡条件,可得知如下两个等式 Tsinα=Sμ Tcosα=H 两式相除得tanα=
H
S
若y=y(x)是所求曲线的方程,则
dydx
=kS 其中k=
H
为消去变量S,将上式两边对x求导,得
dy得 2=k=k1
dxdxdx
dy
2
ds
2
这就是绳索曲线所满足的微分方程,也即绳索曲线的数学模型,此方程不明显含未知函数y,设则
dydx
22
dydx
=p,
=
dpdx
,代入方程中得
dpdx
=kp2
dpp
2
即 =kdx
两边积分得 ln(p+p2)=kx+C1
由于在点N处x=0,且有
dydx
=p=0,(因N是曲线
最低点)代入上式得C1=0,于是有 p+p2=ekx
为求p,用p-p2乘上式两边,整理得 p-p=-e
2
-kx
上述两式相加,得 p= (e-e) 即
2
dy1
kx
-k
dx
= (ekx-e-kx)
212k
1
积分得 y= (e+e)+C2
1
kx-kx
现在取|ON|==a 即得y|x=0=a,得C2=0,
k
则所求曲线方程为 y= (ea+ea)
2a
x
x
此曲线为悬链线。
§5.3
dydx
2
2
=f(y,
dydx
)型的微分方程
这种方程的特点是,不明显含自变量x,解决的方法是,可把y暂时作为这种类型方程的自变量,作变换,令
dydx
=p
于是
dydx
2
2
=
dpdx
=
dpdydydx
=p
dpdy
这样可将原方程降一阶而成为关于p与y的一阶微分方程,将 p
dpdydydx
22
,
dydx
代入原方程得
=f(y,p)
若其通解为 p=φ(y,C1) 换回原来的变量,便有
dydx
=φ(y,C1)
这是可分离变量的一阶微分方程,对其积分得通解 ∫
1(y1,C1)
dy=x+C2
dydx
例5. 解方程()-y
2
dydx
=0
dydx
解 这方程不明显含有x,令p
dpdx
=p,于是
dydx
2
2
=
,代入方程得
2
p-yp
dpdy
=0
dpdy
即 p(p-y)=0
由此有 p=0,或p-y其中由 p=0,即而 p-y
dpp
dpdy
dpdy
=0
dydx
=0,得y=常数
=0,可化为
=
dxdy
积分得 ln|p|=ln|y|+ln|C1|
即 p=C1y 即有
dydx1y
=C1y
即 dy=C1dx
两边积分得 ln|y|=C1x+ln|C2|
故 y=C2eCx
1
在上式中令C1=0得y=常数,因此当p=0时的解y=常数 已包含在 y=C2eCx
1
所以,y=C2eCx即为所求方程的通解。
1
第六节 二阶线性微分方程解的结
构
二阶线性微分方程的一般形式是
dydx
22
+p(x)
dydx
+q(x)y=f(x) (6.1)
dydx
它是关于未知函数y,及其导数,
dydx
2
2
是一次式
的微分方程,其中p(x)、q(x)、f(x)是x的已知函数,函数f(x)称为方程的自由项,当f(x)=0时,则(6.1)成为
dydx
22
+p(x)
dydx
+q(x)y=0 (6.2)
称为二阶线性齐次方程,而(6.2)称为二阶线性非齐次方程。
下面我们讨论线性方程解的结构问题,为方便起见我们利用微分算子,将(6.1)式的左端记为L[y],即
L[y]≡L=
ddx
22
dydx
2
2
+p(x)
d
dydx
+q(x)y
+p(x)
施行于y,就得
dx
2dy
2
+q(x)表示这样一种运算,将其
dydx
dx
+p(x) +q(x)y,这种运算具
有线性变换的二条性质:
(1)若y具有二阶导数,C为常数,则有
L[Cy]=CL[y] 事实上 L[Cy]= =C(
dydx
22
d(Cy)dx
2
2
+p(x)
d(Cy)dx
+q(x)(Cy)
+p(x)
dydx
+q(x)y)=CL[y]
(2)对于任意两个具有二阶导数的函数y1和y2有 L[y1+y2]=L[y1]+L[y2] 事实上 L[y1+y2]=+q(x)(y1+y2) =
dy1dx
22
d(y1y2)
dx
2
2
+p(x)
d(y1y2)
dxdy2dx
+p(x)
dy1dx
+q(x)y1+
dy2dx
2
2
+p(x)+
q(x)y2
=L[y1]+L[y2]
这样(6.1),(6.2)可写成如下形式 L[y]=f(x) (6.3) L[y]=O (6.4)
我们可将算子L[y]看作映射,那么求解方程(6.3),(6.4),就是相应地求f和O在L[y]下的原象。因此,在映射的观点下,不论求代数z方程的解还是求微分方程的解,都是求原象问题,这样可把不同类别的方程的求解问题,在映射概念的基础上统一了起来。
对于线性齐次方程的解,有下述两个定理 定理一 设y1和y2是方程(6.2)的两个解,则C1y2+C2y2也是方程(6.2)的解,这里C1和C2是常数。 证 因为y1和y2是方程(6.2)的解,则有 L[y1]=0,L[y2]=0,再由L的性质,有 L[C1y1+C2y2]=C1L[y1]+C2L[y2]=0 所以C1y1+C2y2是方程(6.2)的解。 证毕 为进一步考察C1y1+C2y2是不是方程(6.2)的通解,我们引入函数线性相关与线性无关概念。 定义 对于定义在某区间上的两个函数y1
(x),y2(x),若存在两个不全为零的常数k1,k2,使得在该区间内恒等式 k1y1(x)+k2y2(x)≡0
成立,则称函数y1(x),y2(x)在该区间内是线性相关的。若上式仅当k1,k2全为零时才能成立,则称y1(x),y2(x)在该区间内是线性无关的。
由定义可知,若函数y1(x),y2(x)线性相关,则存在两个不全为零的常数k1,k2,使得 k1y1(x)+k2y2(x)≡0 设k2≠0有
y2(x)y1(x)
=-
k1k2
(常数);反之若它们的比
不是常数,则y1(x),y2(x)必为线性无关。
例如:函数y1(x)=sin2x,y2(x)=6sinxcosx是两个线性相关的函数,因为
y2(x)y1(x)
=
6sinxcosxsin2x
=。
2
x
3
又如:函数y1(x)=e4x,y2(x)=e是两个线性无关的函数,因为
y2(x)y1(x)
=
ee
x
4x
=e-3x
下面给出C1y1+C2y2是方程(6.2)通解的条件,有以下定理:
定理二 若y1,y2是方程(6.2)的两个线性无关的特解,则
y=C1y1+C2y2
是方程(6.2)的通解,其中C1,C2是两个任意常数。
证 由定理一,y=C1y1+C2y2是方程(6.2)的解,又因为y1与y2是线性无关的,所以两个任意常数C1,C2不能合并,即它们相互独立,所以y=C1y1+C2y2是方程(6.2)的通解。证毕
下面讨论非齐次方程的通解的结构,有如下定理:
定理三 设y是方程(6.1)的一个特解,而Y=C1y1
~
+C2y2是其对应的齐次方程(6.2)的通解,则 y=Y+y=C1y1+C2y2+y
是方程(6.1)的通解,其中C1,C2是两个任意常数。
证:因为y是方程(6.1)的一个特解,所以有 L[y]=f(x)
又因为Y=C1y1+C2y2是方程(6.2)的通解,有 L[C1y1+C2y2]=0
则 L[C1y1+C2y2+y]=0+f(x)=f(x) 从而y=C1y1+C2y2+y是方程(6.1)的解。 又由于其含有两个相互独立的任意常数C1,C2,所以y=C1y1+C2y2+y是方程(6.1)的通解。证毕 这个定理对于一阶线性微分方程的通解也成立。在第三节中我们已看到方程
dydx
~
~
~
~
~~~
~
+p(x)y=q(x)的通解是其本身的一个特解y=
-∫p(x)dx
e∫q(x)e
∫pdx
dx与对应的齐次方程
-∫p(x)dx
dydx
+
~
p(x)y=0的通解Y=Ce
之和,即y=y+Y
是方程
dydx
+p(x)y=q(x)的通解。
定理四 设函数y1与y2分别是线性非齐次方程
dydx2dydx
2222
+p(x) +p(x)
dydxdydxdydx
+q(x)y=f1(x) +q(x)y=f2(x)
的一个特解,则y1+y2是方程
dydx
2
+p(x) +q(x)y=f1(x)+f2(x)的一个特
解
证 由假设L[y1]=f1(x),L[y2]=f2(x),所以
L[y1+y2]=L[y1]+L[y2]=f1(x)+f2(x),
即y1+y2是方程
dydx
22
=p(x)
dydx
+q(x)y=f1(x)+
f2(x)的一个特解。证毕 定理五 设y=y1+iy2是方程
dydx
22
+p(x)
dydx
+q(x)y=f1(x)+if2(x)
(其中p(x),q(x),f1(x),f2(x)是实值函数)的解。
则 y1是方程
dydx
22
+p(x)
dydx
+q(x)y=f1(x)的解。
y2是方程
dydx
22
+p(x)
dydx
+q(x)y=if2(x)的解。
证 由假设
d(y1iy2)
dx
2
2
+p(x)
d(y1iy2)
dxdy1dx
+q(x)(y1+iy2)≡
f1(x)+if2(x) 即 [q(x)
dy2dx
2
dy1dx
2
2
+p(x) +q(x)y1]+i[
dy2dx
2
2
+
+q(x)y2]≡f1(x)+if2(x)
由于恒等式两边的实部与虚部分别相等,得
dy1dx
2dy2dx
22
+p(x) +q(x)
dy1dxdy2dx
+q(x)y1≡f1(x) +q(x)y2≡f2(x)
证毕