待定系数法

解题方法及提分突破训练：待定系数专题

一．真题链接

1．（2012•玉林）一次函数y=mx+|m-1|的图象过点（0，2），且y 随x 的增大而增大，则m=（ ）

A ．-1 B．3 C．1 D．-1或3 2．（2012•南昌）已知一次函数y=kx+b（k ≠0）经过（2，-1）、（-3，4）两点，则它的图象不经过（ ）

A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．（2011•泰安）若二次函数y=ax2+bx+c的x 与y 的部分对应值如下表：

则当x=1时，y 的值为（ ） A ．5 B．-3 C．-13 D．-27 4. 把分式

-11x +7

化为部分分式． 2

2x -x

5. 分解因式：2x 2－xy －y 2+13x+8y－7 6．（2011•嘉兴）如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（-1，0），（1，-2），当y 随x 的增大而增大时，x 的取值范围是 ．

二．名词释义

概念：在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。

经验：待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。

详解：

1. 待定系数法在分解因式时的运用

待定系数法是初中数学的一个重要方法。用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。在初中竞赛中经常出现。 例如：分解因式x －x －5x －6x －4

分析：已知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。 解：设x －x －

5x －6x －4=(x ＋ax ＋b)(x ＋cx ＋d) = x ＋(a＋c)x ＋(ac＋b ＋d)x ＋(ad＋bc)x ＋bd 所以 解得 则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)

步骤：

一、确定所求问题含待定系数的解析式。上面例题中，解析式就是: （2－A ）× x2＋Bx ＋C 二、根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程。在这一题中，恒等条件是：2-A=1 B=0 C=-5 三、解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。 A=1 B=0 C=-5 答案就出来了。 2. 待定系数法在求函数解析式中的运用

这是待定系数法的一个主要用途，学生也是在这种运用过程中开始较深入的接触待定系数法．初中阶段主要有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数这几类函数，前面三

y

种分别可设y=kx，

k

x ，y=kx+b的形式(其中k 、b 为待定系数，且k ≠0) ．而二次函数可

以根据题目所给条件的不同，设成y=a x2+bx+c(a 、b 、c 为待定系数) ，y=a (x－h) 2+k(a 、k 、h 为待定系数) ，y=a (x－x1)(x－x2)( a 、x1、x2为待定系数) 三类形式．根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式) ，确定出h 、k 、a 、c 、b 、x1、x2等待定系数．一般步骤如下： （1）写出函数解析式的一般式，其中包括未知的系数；

（2）把自变量与函数的对应值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组。 （3）解方程（组）求出待定系数的值，从而写出函数解析式。

3. 在确定方程或解方程时，某些时候使用待定系数法也可使问题得到简化．

例如：已知一元二次方程的两根为x 1、x 2，求二次项系数为1的一元二次方程时，可设该方程为x 2+mx+n=0，则有(x－x 1)(x－x 2)=0，即x 2－(x1+x2)x+x1x 2=0，对应相同项的系数得m=－(x1+x2) ，n=x1x 2，所以所求方程为：x 2－(x1+x2)x+x1x 2=0． 4. 待定系数法在分式展开化为部分分式中的应用．

这类型的问题思路基本上跟因式分解类似，首先用未知数表示化为部分分式和以后的形式，展开后，根据分子、分母的多项式分别相等可列出含有未知数的方程组，解方程组，带入所设的部分和即可可得结果。

三．典题示例

1. 待定系数法在分解因式时的运用 1. 分解因式：2x 2－xy －y 2+13x+8y－7

解： 因为2x 2－xy －y 2=(2x+y)(x－y) ，所以可设2x 2－xy －y 213x+8y－7=(2x+y+8)(x－y+b)，

展开比较相同项系数，可得：a =－1，b=7，所以2x 2－xy －y 2+13x+8y－7=(2x+y－1)(x－y+7)．

2. 把多项式x 3－x 2+2x+2表示为关于x －1的降幂排列形式. 解：设x 3－x 2+2x+2=a(x－1) 3+b(x－1) 2+c(x－1)+d

把右边展开，合并同类项（把同类项对齐），

3232

得 x －x +2x+2=ax－3ax +3ax－a

+bx2－2bx+b +cx－c +d

用恒等式的性质，比较同类项系数，

⎧a =1⎧a =1⎪-3a +b =-1⎪b =2

⎪⎪

得⎨ 解这个方程组，得⎨

⎪c =3⎪3a -2b +c =2

⎪⎪⎩d =4⎩-a +b -c +d =2

∴x 3－x 2+2x+2=(x－1) 3+2(x－1) 2+3(x－1)+4.

2. 待定系数法在求函数解析式中的运用

1. 点A(2，4) 在正比例函数的图象上，求这个正比例函数的解析式．

解：设这个正比例函数的解析式为y=kx(k≠0) ，把A(2，4) 代入得4=2k，∴k=2，∴y=2x．

2. 已知y 与x+1成反比例，且x=2时，y=4，求函数的解析式． 【分析】 y 与x+1成反比例，把x+1看作一个整体，即可设为：y =x=2，y=4代入，求出k 的值即得函数的解析式．

k

(k≠0) ，然后把x +1

k

(k≠0) x +1

k k

将x=2，y=4代入y =(k≠0) ，得4=，解得k=12

2+1x +1

12

∴所求的函数的解析式为y =．

x +1

解： y 与x+1成反比例，∴可设y =

【解题反思】 本题中y 与x+1成反比例关系，但y 与x 不是反比例关系，所以当自变量为x 时，y =

3. 二次函数的图象经过A(1，0) 、B(3，0) 、C(2，－1) 三点．

(1)求这个函数的解析式．

(2)求函数与直线y=－x+1的交点坐标．

解： (1)设这个函数的解析式为y=a x 2+bx+c．依题意得：

12

不是反比例函数． x +1

⎧0=a +b +c ⎧a =1⎪⎪20=9a +3b +c 解这个方程组得⎨⎨b =-4 ∴这个函数的解析式是：y=x－4x+3 ⎪-1=4a +2b +c ⎪c =3⎩⎩

⎧y =x 2-4x +3⎧x 1=1⎧x 2=2(2)⎨ 解这个方程组得：⎨，⎨

y =0y =-1⎩1⎩2⎩y =-x +1

∴函数与直线的交点坐标是：(1，0) 、(2，－1)

【解题反思】 运用待定系数法，由已知建立方程(组) ，可求其系数的值，在把a 、b 、c 的

值代入解析式时要注意符号．

3. 在确定方程或解方程时，某些时候使用待定系数法也可使问题得到简化． 1. 已知三次方程x 3－6x 2+11x－6=0，有一根是另一根的2倍，解该方程．

解:设方程的三根分别为a 、2a 、b ，则有x 3－6x 2+11x－6=(x－a )(x－2a )(x－b) ，左右分别展开，并把相同项的系数作比较，可得：－3a －b=－6，2a 2+3a b=11，－2a 2b=－6．解得a =1，b=3，所以该方程的根分别为：x 1=1，x 2=2，x 3=3．

4. 待定系数法在分式展开化为部分分式中的应用．

x 2-x +2A B C

1. 已知： =++

x (x -3)(x +2) x x -3x +2

求：A ，B ，C 的值. 解：去分母，得

x 2－x+2=A(x－3)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x－3).

根据恒等式定义（选择x 的适当值，可直接求出A ，B ，C 的值），

当x=0时， 2＝－6A. ∴A ＝－

1

. 38

当x=3时， 8＝15B. ∴B ＝.

154

当x=－2时， 8＝10C. ∴C ＝.

5

本题也可以把等号右边的代数式，整理成为关于x 的二次三项式，然后用恒等式性质：“左右两边同类项的系数相等”，列出方程组来解.

四．巩固强化：

1. （2011泰安，20，3分）若二次函数

＝＋＋的x 与y 的部分对应值如下表：

2

则当＝1时，的值为（ ）

A ．5 B ．－3 C．－

13 D ．－27

2

2. （2011•包头，12，3分）已知二次函数y=ax+bx+c同时满足下列条件：对称轴是x=1；最值是15；二次函数的图象与x 轴有两个交点，其横坐标的平方和为15﹣a ，则b 的值是（ ）

A 、4或﹣30 B 、﹣30 C 、4 D 、6或﹣20

2

3. （2010广东佛山，21，8分）如图，已知二次函数y =ax +bx +c 的图象经过A （﹣1，﹣1）、B （0，2）、C （1，3）； （1）求二次函数的解析式； （2）画出二次函数的图象．

4．（2011•芜湖）已知直线y=kx+b经过点（k ，3）和（1，k ），则k 的值为（ ） A ． 3 B．± 3 C． 2 D．± 2

5. （2012•聊城）如图，直线AB 与x 轴交于点A （1，0），与y 轴交于点B （0，-2）． （1）求直线AB 的解析式；

（2）若直线AB 上的点C 在第一象限，且S △BOC=2，求点C 的坐标．

6．（2012•哈尔滨）如果反比例函数y=k-1x 的图象经过点（-1，-2），则k 的值是（ ） A ．2 B．-2 C．-3 D．3 7．（2010•南通）如果正比例函数y=kx的图象经过点（1，-2），那么k 的值等于 ． 8. 已知

　2x -3a b

=-. 求a, b 的值. 2

x +6x +8x +2x +4

9. 当a 、b 为何值时，2x 3－a x 2+bx+1能被2x －1整除?

10．二次三项式当

时其值为-3，当

时其值为2，当

时其值为5 ，这个

二次三项式是_______.

4x 2-3x +5A B C

11. 已知：. 求：A ，B ，C 的值. =++

(x -1) 2(x +2) x -1(x -1) 2x +2

12.m, n是什么数时，多项式

13. 分解因式

能被整除？

_______.

五．参考答案

真题链接答案：

1. 解：∵一次函数y=mx+|m-1|的图象过点（0，2）， ∴|m-1|=2，

∴m-1=2或m-1=-2， 解得m=3或m=-1， ∵y 随x 的增大而增大， ∴m ＞0， ∴m=3． 故选B ．

2. 解：将（

2，-1）、（-3，4）代入一次函数y=kx+b中得：

①-②得：5k=-5， 解得：k=-1，

将k=-1代入①得：-2+b=-1，解得：b=1，

∴一次函数解析式为y=-x+1不经过第三象限． 故选C 3.D 6.

1. 考点：待定系数法求二次函数解析式。 专题：计算题。

分析：由表可知，抛物线的对称轴为x ＝－3，顶点为（－3，5），再用待定系数法求得二次函数的解析式，再把x ＝1代入即可求得y 的值．

2

解答：解：设二次函数的解析式为y ＝a (x －h ) ＋k ， ∵h ＝－3，k ＝5，

2

∴y ＝a (x ＋3) ＋5，

把（－2，3）代入得，a ＝－2，

2

∴二次函数的解析式为y ＝－2(x ＋3) ＋5， 当x ＝1时，y ＝－27． 故选D ．

点评：本题看出来用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线是轴对称图形，对称轴为x ＝－

b ． 2a

2. 考点：抛物线与x 轴的交点；二次函数的性质；二次函数的最值。 专题：函数思想。

2

分析：由在x=1时取得最大值15，可设解析式为：y=a（x ﹣1）+15，只需求出a 即可，又与x 轴交点横坐标的平方和为15﹣a ，可求出a ，所以可求出解析式得到b 的值． 解答：解：由题可设抛物线与x 轴的交点为（ 1﹣t ，0），（ 1+t，0），其中t ＞0，

22

∵两个交点的横坐标的平方和等于15﹣a 即：（1﹣t ）+（1+t）=15﹣a ， 可得t=

-a

， 2

由顶点为（1，15），

2

可设解析式为：y=a（x ﹣1）+15， 将（1﹣

-a

，0）代入可得a=﹣2或15（不合题意，舍去） 2

2

2

∴y=﹣2（x ﹣1）+15=﹣2x +4x+13， ∴b=4． 故选C ．

点评：本题考查了二次函数的最值及待定系数法求解析式，难度一般，关键算出a 的值． 3. 考点待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象 分析（1）将A （﹣1，﹣1）、B （0，2）、C （1，3）代入函数解析式，利用待定系数法求该函数的解析式即可；

（2）根据二次函数的解析式作图．

⎧a -b +c =-1⎪

解答解：（1）根据题意，得⎨c =2，

⎪a +b +c =3⎩⎧a =-1⎪

解得，⎨c =2，

⎪c =2⎩

∴所求的解析式是y =﹣x +2x +2； （2）二次函数的图象如图所示：

2

点评本题综合考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象．解题时，借用了二次函数图象上点的坐标特征这一知识点．

4. 考点：待定系数法求一次函数解析式；解一元二次方程-直接开平方法．分析：运用待定系数法求一次函数解析式，代入后求出k ，b 的值即可． 解答：解：∵直线y=kx+b经过点（k ，3）和（1，k ）， ∴将（k ，3）和（1，k ），代入解析式得： 3=k2+b k=k+b 解得：k=± 3 ，b=0， 则k 的值为：± 3 ．

故选B ．点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及直接开平方法解一元二次方程，将已知点代入得出二元一次方程组是解决问题的关键． 5. 考点：待定系数法求一次函数解析式． 专题：计算题． 分析：（1）设直线AB 的解析式为y=kx+b，将点A （1，0）、点B （0，-2）分别代入解析式即可组成方程组，从而得到AB 的解析式； （2）设点C 的坐标为（x ，y ），根据三角形面积公式以及S △BOC=2求出C 的横坐标，再代入直线即可求出y 的值，从而得到其坐标． 解答：解：（1）设直线AB 的解析式为y=kx+b， ∵直线AB 过点A （1，0）、点B （0，-2），

∴

∴直线AB 的解析式为y=2x-2． （2）设点C 的坐标为（x ，y ）， ∵S △BOC=2，

解得x=2， ∴y=2×2-2=2，

∴点C 的坐标是（2，2）． 点评：本题考查了待定系数法求函数解析式，解答此题不仅要熟悉函数图象上点的坐标特征，还要熟悉三角形的面积公式． 6.

考点：待定系数法求反比例函数解析式．分析：根据反比例函数图象上点的坐标特征，将（-1，-2）代入已知反比例函数的解析式，列出关于系数k 的方程，通过解方程即可求得k 的值．解答：解：根据题意，得

解得，k=3．

故选D ．点评：此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．解答此题时，借用了“反比例函数图象上点的坐标特征”这一知识点． 7.

考点：待定系数法求正比例函数解析式．专题：待定系数法．分析：把点的坐标代入函数解析式，就可以求出k 的值．解答：解：∵图象经过点（1，-2）， ∴1×k=-2，

解得：k=-2．点评：本题主要考查函数图象经过点的意义，经过点，说明点的坐标满足函数解析式． 8. a=－

711,b=－ 22

9. 设2x 2－a x 2+bx+l=(2x－1)(x2+mx－1) ，右边展开由x 的相同项的系数相同可得a 、b ，m 的

方程组，解得：a =3，b=－3．m=－1 10、

提示：设二次三项式为 把已知条件代入，得

解得 ∴所求二次三项式为11. 12.

A=1,B=2,C=3

设

比较系数，得

解得

整除。

∴当m=-11，n=4已知多项式能被13.

提示：设原式

比较两边系数，得

由①、②解得 将

∴原式

代入③式成立。