过抛物线焦点弦的最小值问题
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过抛物线焦点弦的最小值问题
例题:已知抛物线y22px(p0),过焦点的直线交抛物线于A、B两点,则弦|AB|的最小值。
解法一:当斜率k存在时,设直线AB为y=k(x-p2
)
p2
pyk(x)2222
k0 2 得 kx(kp2p)x42
y2px
即:x1x2
p
2
4
, 过焦点弦|AB|=x1x2p
由题意可知x10,x20, x1x22x1x2 由于积是定值,当且仅当x1x2时即为
p2
时能取等号,所以当斜率k不存在,
此时这条直线就垂直于x轴,过焦点的弦|AB|最小即通径最小。最小值为2p.
p
解法二:设直线的倾斜角为,斜率存在时,则直线为 y= tan(x-)
2
p2
pytan(x)2222
tan0 2 得 tanx(ptan2p)x
42
y2px
x1x2
ptan2p
tan
2
2
代入 过焦点弦|AB|=x1x2p
=2p(1+=
2psin
2
1tan
2
)
当sin2=1时,|AB|有最小值即2p,此时斜率不存在,倾斜角
2
,即线段AB为通径。
评价:解法一是用不等式思想求最值方法,当然用两根这积是也可以解法到求两根之积。 这种是确定动直线的位置关系来求最值的情况的。
解法二是建立函数关系式,用函数思想求最值。这是两种不同方法来分析最值问题的。 这种方法是建立函数关系式来求最值问题。
在这方面题型有两种分析思想:一是能否确定动的位置关系来判断取最值的问题。(如解法一型),二是所求与已知建立一个函数关系式,用函数求最值或范围的方法。 这是我们解决中学数学问题时常用的解题思想。