利用菱形的面积公式学习三角函数
利用菱形的面积公式学习三角函数
三角函数的公式繁多，难以理解和记忆，为此数学教师们常常也会费尽心思，编一些顺口溜、找一些规律来帮助学生学习和记忆三角函数及其变换公式，例如利用正六边形记忆同角三角函数的关系就是普遍被数学教师们所采用的例子.尽管如此，还是难以使学生体会到学习三角函数的乐趣和意义，那么，如何从学生的卖际出发，积极开发能引发学生兴趣、加强学生的直观理解的课堂教学内容，并且能使学生在平面三角函数的学习中有一个良好的开端呢?纵观历史，我们会发现，三角函数与平面几何有着非常深厚的渊源，伴随着15-16世纪三角学的复兴而被陆续发现的三角恒等式正是与平面几何密切相联系的，利用几何直观来加强学生对三角函数的直观理解是提高三角函数的教学有效性的策略之一
一、角的正弦的几何意义
我们可以计算出边长为1，其中有一个内角为A的菱形的面积为sin A，由此我们可以将边长为1，其中有一个角为A的菱形的面积看做是sin A的几何图形，也就是给sin A赋予几何意义.由这个意义出发，学生们会发现sin(1800一A)也是这个边长为1的菱形的面积，这样就直观地理解了sin(1800一A).进一步还会从中发现sin 00=sin 1800=0, sin 900=1.有T这些几何解释，学生就不必死记硬背这些公式，而且会留下深刻的印象.
二、任意三角形的面积公式
常常会有学生忘记或记错任意三角形的面积公式，用以下方法教学便可有效地避免这种情况.
学生在小学就学习了矩形面积的求法，基于此，先让学生思考矩形面积公式是怎么来的?将用木条和钉子做的一个以1为单位边长的简单的教具展示给学生(如图1)，学生一看就知道这个矩形的面积就是8个边长为1的正方形的面积之和.
接下来将教具变成一个有一组夹角为a的平行四边形(如图2)，学生很快就指出，这个平行四边形的面积就是8个边长为1的菱形的面积之和，再结合上述角的正弦的几何意义，就得到了这个平行四边形的面积:S=2x4xsina,接着便可得出任意平行四边形ABCD的面积公式: SABCD=AB x AD x sin A..再将三角形当作平行四边形的一半就得到任意三角形的面积公式:S三角形ABC=1/2 x AB x sin A.
其实，由三角形的面积公式也可以得出直角三角形中锐角正弦的比值公式（如图3），在直角三角形ABC中，由面积公式有:ab =2S三角形
ABC=bc sin A,
所以sin A=a/c, 同样可得sin B=b/c,可见，角的正弦的几何意又与三角函数的定义是一致的。
三、正弦的和角公式
关于正弦的和角公式的几何证明方法很多，在此，从构造三角形的角度给出一种证明方法.
当a和a都是锐角时，我们总能构造出（如图4）所示的三角形ABC，显然有S三角形ABC=S三角形1+S三角形2
由面积公式得1/2absin(阿尔法+β)=1/2bhsinβ两端同除1/2ab得： sin(阿尔法+β)
=h/asin阿尔法+h/bsinβ
=sinB·sin阿尔法+sinA·sinβ
=sin（900-β）·sin阿尔法+sin （900-阿尔法）·sinβ
=sin阿尔法·cosβ+cos阿尔法·sinβ
以上仅给出平面三角函数中有关正弦的一些探究实例，其中，给角的正弦赋予的几何意义，虽然不属于教材中的内容，但它具有非常强的直观性，学生很容易接受，尤其是可以帮助刚开始学习平面三角函数的学生更好的建立直观理解.另外，利用它可直接推出平常必须死记硬背的平行四边形的面积公式以及任意三角形的面积公式这一方法。