含参量积分的求导与求积分举例
承德职业学院学报2005年第3期
JOU RNAL O F CH EN GD E VO CA T I ONAL COLL EGE NO. 3. 2005
含参量积分的求导与求积分举例
● 承德民族师专 摘 要: 关键词:含参量积分; 求导 中图分类号:A 文章编号:1009-0894(2005) 03-0015-02
设
Φy ΦΒ) 上的函数, f (x , y ) R x Φb , Α
Πx ∈[a , b ],(x , y ) 在[Α, Β]上可积, 则其积分
I (x ) =
Θf (x , y ) d x x ∈[a , b ]
Α
Β
是一个定义在[a , b ]上的函数, 称I (x ) 为含参量积分, x 称为参量。
对于含参量积分I (x ) , 可以进行积分号下求导或积分号下求积分运算, 实现这两种运算的关键在于检验有关条件
′(x , y ) 在R (a Φx Φb , Α) 若函数f (x , y ) 、Φy ΦΒ) 上连续, 则f x
(x -t ) n -1f (t ) d t
n -1) ! 0
的n 阶导数存在, 且
′(x , t ) =(n -1) (x -t ) n -解 函数g (x , t ) =(x -t ) n -1f (t ) 、g x
f (t ) 在原点的某方形域内连续, 于是
(x ) =
(n -1) !
(n -2) ! Θ
x
2
ΘΘ
x
(n -1) (x -t ) n -2f (t ) d t +
(n -1) !
(x -x ) n -1f (x )
x
Θf (x , y ) dy
Α
Β
′
=
x
Θf
Α
Β
′
(x , y ) dy
x
=
(x -t ) n -2f (t ) d t
′(x , y ) 在R (a Φx Φb , Α2若函数f (x , y ) 、Φy ΦΒ) 上连续, f x
Φy 1(x ) 、y 1(x ) 、y 2(x ) 在[a , b ]可导, 且Αy 2(x ) ΦΒ, 则
Θ
y 2(x ) y 1(x )
′
f (x , y ) dy
x
=
Θ
y 2(x ) y 1(x )
′
(x ) =(-) n -3f (t ) d t 同理有
(n -3) ! 0x t
如此反复一直求到k 次导数, 则有
Θ
x
f
x
(x , y ) dy +f (x , y 2
n -k -1) ! 特别地, 当k =n -1时, 有
(n )
Θ
1)
x
(x -t ) n -x
k -1
f (t ) d t
′(x ) ) y ′2(x ) -f (x , y 1(x ) ) y 1(x )
3) 若函数f (x , y ) 在R (a Φx Φb , ΑΦy ΦΒ) 上连续, 则
(x ) =
Θf (t ) d t ,
Θd x Θf (x , y ) dy =Θdy Θf (x , y ) d x
a
b
ΒΒ
b a
(x ) =f (x ) 。
ΑΑ
我们将上述条件1) 、2) 、3) 称作积分号下微分法与积分号下积分法, 利用它们可以解决某些定积分或含参量积分的计算, 现举例如下。
例1 设F (y ) =
(y ) 。导函数, 求F ″
例3 计算定积分I =解 令I (a ) =
Θ10
1+x 2
d x 。
Θ10
1+x 2
d x , 这是关于参量a 的含参量积
Θf (x ) y -a
b
x d x , 其中a b , 而f (x ) 为可
′(x , a ) =分。显然I (0) =0, I (1) =I , g (x , a ) =及g a 2
1+x
(1+x 2) (1+ax )
在R (0Φa Φ1, 0Φx Φ1) 上连续, 满足积分号下求
解 当a y b 时, F (y ) =
=
导的条件, 则
x d x x ) d x +
Θf (x ) y -a y
b
(a ) =I ′
Θ1
(1+x 2) (1+ax )
d x
d x
Θf (x ) (y -a y a
Θf (x ) (x -y
b
y ) d x ==
Θ1
1+a 20
2-1+ax 1+x
上式右边的两个积分满足积分号下求导的条件, 于是
(y ) = F ′
Θf (x ) d x -Θf (x ) d x , F (y )
″
y
b
=f (y ) +f (y ) =2f (y )
当y Φa 时, F (y ) =
Θ1d x +Θ1d x -22
1+a 201+x 01+x =a +1n2-1n (1+a ) 2421+a
对此式求[0, 1]上的积分, 则
Θ1
1+ax
d x
Θf (x ) (x -a
b a
b
y ) d x , F y )
″(
′(
Θ
10
′
I (a ) d a =
Θ1
1+a 2
4
a +
1n2-1n (1+a ) d a 2
11n 2arctg a -20
=-
Θf (x ) d x , F
y ) =0,
=
8
1n (1+a 2)
10
1
+
(y ) =0, 因此 当b Φy 时, 同理有F ″
另一方面,
Θ
F y ) =函数
。
0 y |(a , b )
例2 设f (x ) 在x =0的某邻域内连续, 验证当 x 充分小时,
″(
2f (y ) y ∈(a , b )
1n 2-I (1) d a =41+a 2
Θ
10
′
I (a ) d a =I (1) -I (0) =I (1) ,
所以 I ≡I (1) =
8
1n 2。
Z Y
承德职业学院学报2005年第3期
JOURNAL OF CHENG D E VOCAT I ONAL COLL EGE NO . 3. 2005
体育教学中学习动机和意志品质的培养
● 承德旅游职业学院 许世达
摘 要:体育教学的经验表明, , 更有利于体育课教学质量的提高, , 阐明体育教学中培养学习动机和意志品质的重要性。
关键词:动机; ; 807. :A 文章编号:1009-0894(2005) 03-0016-02 Abstract tnce of P . E . teach ing show s , that the cu ltivati on of learn ing mo tives and good person 2
ality is very i m po rtan t , w h ich is on ly u sefu l to the m atu rity of studen ts , bu t also benefical to the i m p rovem en t of . Fu rthcrmo re , it is good fo r studen ts to grasp the know ledge and sk ills of physical teach ing ab ility in P . E . class
educati on . A cco rding to m y ow n experience accum u lated from teach ing , I illu strate the i m po rtance of the cu ltiva 2. ti on of learn ing mo tives and good personality in the fo llow ing parts
Key words :mo tive ; good personality ; bu ild up health ; develop a talen ted person
现
代教育学的发展, 揭示了学生的学习成功, 是在学习动机的作用下, 通过后天坚韧不拔的意志和努力取得的。
质、掌握终身体育锻炼的本领。下面就自已的教学实践谈谈体会。
一、激发学习动机
人的一切活动都是由动机支配的, 动机的正确与否及其强弱将对人的活动效果产生直接的影响。在体育课中, 刚开始有部分学生对体育课不太感兴趣, 不明确体育课的目的, 没有意识到体育课的重要性。因此, 就没有学习的动机, 缺乏学习的兴趣, 课堂上就不会认真投入, 而是应付了事, 这就意味着体育课可有可无, 上与不上根本就是一回事, 而我们体育教师应该如何激发学生的学习动机呢?
1、明确目的激发学习兴趣。
面对21世纪人才竞争, 必须要转变教学理念, 重视学习动机和意志品质的培养, 因为它在学生学习中起着动力、定向、引导、维持、调节、强化等六大功能。对教学影响可以是积极的, 也可以是消极的。教师如果重视采用有效方法, 激发学生的学习动机, 培养他们独立性格, 就一定能提高教学效果, 保证教学质量。反之, 教学中学生缺乏正确动机、学习索然无味、情绪一贯低落、意志非常薄弱、缺乏独立性格, 就必然会削弱教学效果, 降低教学质量。成绩优异的学生在学习中无不具备勤奋、独立、谦虚、创造、坚韧的学习态度。这就足以说明我们教育者应该引起足够的重视。
体育教学具有培养学习动机和意志品质的优势, 但需要正确教育理论的指导。在教学和训练中, 倘若我们能够注意学习动机和意志品质的培养, 不但对造就人才有利, 而且体育教学中将能够使更多的学生达到锻炼身体、增强体
注:此例给出了一种求定积分的方法, 即恰当地引入一个参
数, 可将定积分化为含参量积分来求解。
例4 计算积分I (a ) =
体育课的目的是增强学生体质, 是对人的身体进行训练的过程, 教师应充分把握机会, 对学生进行目的性教育。体育课是让学生在身体练习中, 了解体育的知识、技能和锻炼身体的方法。学习运动技术, 对广大学生来说不是最终目的,
而是运用运动的手段来增强体质, 多掌握一些运动能
=2a
Θ1
1-(a co s x ) y
2
2
2,
0Φx Φ
2
, -1Φa Φ1
Θ
20
1n
1-a co s x
1n co s x
, ( a Φ1) co s x
故 I (a ) =
Θ
20
1n =2a
1-a co s x co s x
Θ
20
d x
Θ1
解 函数g (x , a ) =
0Φx Φ
在R
1-a co s x
1-(a 2co s 2x ) y 2
, -1Φa Φ1上连续, Θ1dy Θ2
2=2a 22) 2=a (a co s x y 001-已知 =1n +c 121-x 1-x 2
=Π=Πarcsin ay arcsin a 。
0于是 1n
co s x 1-a co s x
Θ1
1-a 2y 2
参考文献:
刘玉琏, 傅沛仁. 数学分析讲义(第三版) [M],北京:高等教育出版社.
收稿日期:2005-07-03