投标与拍卖的几个数学模型

第1卷第2期管　理　科　学　学　报V o l. 1N o. 21998年6月　　　　　　　　JOU R NA L O F M A N A GEM EN T SCI EN CES IN CHIN A 　　　　　　　　JU N. 1998

投标与拍卖的几个数学模型

刘树林

(中国科学院系统科学研究所) 　(国家自然科学基金委员会管理科学部) 　(香港城市大学管理科学系)

汪寿阳

黎建强

【摘要】主要介绍关于投标与拍卖的几个典型的决策理论模型, 包括Friedm an 模型、Gates 模型、Hanssman -Rivett 模型和Willenbrock 模型, 并对它们进行简短评述. 关键词:投标, 拍卖, 模型

0　引　言

关于竞争性投标(简称为竞标) , 较为系统的研究最早可追溯到1944年Em blen 的博士论文Com petitive Bidding for Corporate Securities , 而最早在刊物上公开发表的竞标的研究成果应归于Friedman [2], 其成果于1956年发表在Oper ations Resear ch 上. 之后, Friedman 在1957年完成的博士论文也是研究竞标的, 称得上是美国运筹学方面的最早的博士论文之一. 自1956年以来, 许多学者在Fr edman 的工作基础上研究了竞标的理论和应用, 发表的研究论文已达数百篇, 请见文献[4～9]等. 这些成果涉及的模型可分为两大类:对策论模型和决策理论模型. 其中两个最著名且被广泛认可的理论方法认为是Friedman 模型和Gates 模型.

在决策理论模型中有3个重要问题:1) 如何确定我方获胜概率; 2) 如何处理估计成本; 3) 如何确定通常情况下未知的竞争者的个数. 而决策者面临的两种决策是:1) 是否对项目进行估价和报价; 2) 估计成本后如何确定标高或报价[11, 12]. 为叙述方便, 引入以下记号:

n 为竞争者的总数, g (k ) 为有k 个投标者的概率, C 0为完成合同承包的成本估计值(常数) , C 为完成合同承包的实际成本(未知) , b i 为竞争者i 的报价, f (r ) 为r 的概率密度函数, x 为我方提出

[10]

[3]

[1]

的报价, P (x ) 为我方报价x 时获胜的概率, E (x ) 为我方报价x 时的期望利润. 于是, S =C /C 0和r =b /C 0是两个随机变量, 我方报价x 获胜时的利润为p =P (x ) (x -C ) .

虽然中国从1984年起就实行了建筑工程招标承包制, 国家的一些重大R &D 项目是通过竞标方式来实施的, 电视台的黄金时段的广告价格、国产影片的首映权等也都是由竞标决定的, 但国内关于竞标的研究寥寥无几, 发表的研究工作基本上集中在讨论适合中国建筑工程的招标投标的条件、方式、过程和程序或是介绍国外的一些早期的工作(如文献[13～18]) , 远远不能适应中国高速发展的经济需要. 因此, 有必要将国外关于竞争性投标的一些重要理论成果介绍给国内的读者, 促进中国在投标竞标理论与应用研究的开展.

1　Friedm an 模型

Friedman 提出的模型被后人认为是关于竞标的最重要的理论之一. 他研究的密封式投标问题是:政府机构邀请同行业内的大量公司投标争取承包合同. 对获得承包合同感兴趣的各个公司必须独立提出一个报价, 最低报价的公司赢得合同的承包. 文献[2, 3]发表后引起众多学者的关注与研究. 下面结合前人对Fr iedm an 模型的一些研究来介绍Fr iedm an 模型.

[2, 3]

, ,

—12—1. 1　假设

管　理　科　学　学　报　　　　　　　　　　　　　　　1998年6月

King 和M ercer 认为Friedman 模型的正确性依赖于下面5个重要的假设

[19]

　　P (x ) =

∏∫f

i =1

x /C

n

+∞

i

(r i ) d r i (3)

:

这里随机变量r i 表示竞争者i 的报价b i 与我方成本估计C 0的比率, 其密度函数f i (r i ) 可由竞争者

过去对合同承包的报价数据(即投标模式) 确定.

2) 不确切知道有多少个竞争者准备提出报价的情形

当竞争者个数未知时, Friedman 引入“一般竞争者”(Av er ag e Bidder) 的概念, 并通过把我方报价x 与一般竞争者的报价b a 1比较给出获胜概率的计算公式　　P (x ) =(

1°　投标者的目标是使期望利润最大; 2°　提供充足的关于竞争者以前报价的信息;

3°　竞争者继续象过去那样报价且不察觉或不响应别的竞争者所做的任何变化;

4°　竞争者根据具有不变参数的投标模式随机报价, 即每个竞争者的过去报价可看作为一个分布(不仅有固定的形状而且有不变的参数) 中的随机样本;

5°　所有竞争者对任意合同的报价是统计独立的.

1. 2　竞争者的个数

Friedman 指出竞争者的总数n 与他们的意图、合同的规模等有关系. 可把以前的竞争者的个数与相应的我方关于以前报价的成本估计绘成图, 看二者是否有显著的关系. 如果二者的关系是显著的, 则我方的成本估计可用来从二者的回归方程中获得竞争者的个数.

如考虑到成本较高的工程吸引较多的竞争者, 那么对任何特定工程投标的竞争者的总数n 与我方的成本估计C 0可能是线性关系. 因此, 利用所有以前的竞争者的总数和我方成本估计数据可建立二者的线性回归方程, 进而利用估计成本可估计竞争者的个数.

Friedman 认为投标者的个数k 服从Poisson 分布. 若 是投标者的估计数, 则随机变量k 的概率密度函数为

k -

　　g (k ) = e /k !

∫f (r

x /C

+∞

a

1

) d r a 1) k

(4)

这里随机变量k 为竞争者的个数; 随机变量r a 1表示一般竞争者的报价b a 1与我方成本估计C 0的比率, 其密度函数f (r a 1) 可通过结合所有以前的对

手报价与我方成本估计的比率数据确定. Friedman 认为r a 1通常服从Gam ma 分布

-ar

a 1　　f (r a 1) =(a b +1/b ! ) r b a e 1

(5)

1. 4　期望利润

根据上述讨论易知我方报价x 时的期望利润为

　　E (x ) =

∫P (x ) [x -0∞0

∞

SC 0]h (S ) d S (6)

若假设比率S 是不依赖于最低报价x 的随机变量, 即P (x ) 独立于S , 则　　E (x ) =P (x ) (x -C 0E (S ) ) 其中E (S ) =望.

(7)

∫Sh (S ) d S 是随机变量S 的数学期

(1)

1. 3　获胜概率

分两种情形讨论.

1) 我方确切知道哪些竞争者准备提出报价的情形

设共n 个竞争者参加合同的投标, 则我方以报价x 击败竞争者i 的概率为　　

图1　成本估计可靠性

　　有了前面的准备, Friedman 模型可表示为:寻找最优报价x *(见图2) 使

E (x *) =max E (x ) =P (x ) (x -C 0E (S ) ) x

(8)

∫

x /C

+∞

f i (r i ) d r i (2)

而我方击败所有竞争者的概率(以后简称“获胜概

第2期　　　　　　　　　　　　　　　　刘树林等:投标与拍卖的几个数学模型

—13—

是, 我方不知竞争者是谁, 或者即使知道, 也不能得出各个投标者的有关获胜概率和相应的标高P (M arkup) 的回归方程. 在这种情形下, Gates 认为对于每个标高P 值, 我方击败各个竞争者的概率是相同的, 这样式(9) 就可表达为

　　1+n (1-p t ) /p t (10) 这里n 是竞争者的总数, p t 是我方击败一个典型竞争者(T ypical Competitor ) 的概率, 标高P 定义为(x -C 0) /C 0.

除了研究上面的具体知道所有的投标者的策略和只知道投标者个数的策略以外, Gates 还研究了另外5种不同竞标环境下的投标策略:孤立策略(Lo ne) 、两个和多个投标者策略, 最小差距策略(Least Spread) 以及非平衡(Unbalanced) 策略.

2. 3　评述

与Friedm an 模型类似, Gates 模型所需的假设条件太强. 不过他的模型并未得到进一步发展. 关于其适用范围和正确性也有许多争论

Gates [2]不同意Fr iedm an [2]将击败各个竞争者的问题看作一个独立事件. 并通过例子来说明他的模型比Friedman 的更好. 从此引起这两种模型的提倡者之间激烈的辩论. King 和M er cer 指出Gates 模型中隐含着Friedman 模型所用的前四个假设.

2. 1　竞争者的个数

Gates 主张竞争者的个数与成本估计值C 0无关, 这与Friedm an 的观点正好相反. 2. 2　获胜概率

分两种情形讨论.

1) 具体知道哪些竞争者准备提出报价的情形(All-Bidders-Kno wn)

假设我方确切知道共有n 个竞争者准备投标. Gates 认为在这种情况下获胜概率为

　　(9) n

1+∑i =1(1-p i ) /p i 这里p i 是我方击败竞争者i 的概率. 但他未给出任何数学上的证明, 只是用“缸中彩球问题”的数学模型来考虑这个问题.

2) 确切知道竞争者的个数的情形(Num ber-of Bidders-Kno w n)

[19]

[20]

图2　期望利润函数

　　说明:1) 随机变量S 的概率密度函数h (S ) 可由承包者参与的过去的实际成本和估计成本记录确定(见图1) ; 2) E (x ) 的图形见图2.

1. 5　评述

Friedman 模型是最基本的模型, 所需的假设条件太强. 但是, 这个模型非常重要, 许多学者在它的基础上, 提出了许多其它模型. 人们对此模型的适用范围和正确性有许多争论[20].

2　G ates 模型

.

3　Hanssman-Rivett 模型

3. 1　适用的问题

Hanssman 和Rivett 研究的是第1价格密封拍卖的投标问题[22]. 模型中假设我方知道有多少个竞争者准备投标, 但我方不知竞争者是准. 与Friedman 的不同之处在于最高报价者将获得拍卖品.

他们通过分析历史数据获得一个物品的估计价值v 与以某个报价x 赢得该物品的概率P (x ) 之间的直接关系, 认为比率r =x /v 是一个概率密度函数与v 无关的随机变量, 近似服从对数-正态分布. 通过把我方报价与以往的获胜者的报价比较以及该分布的使用可获得我方获胜的概率. 3. 2　数学模型

数学上这个模型可表示为:寻找最优报价x 使得

　　E (x ) =m x ax E (x ) =P (x ) (v -x ) 这里n 是竞争者的总数　　P (x ) =P

n

*

*

(11)

((r ) x /v

—14—　　f (r ) =3. 3　评述

管　理　科　学　学　报　　　　　　　　　　　　　　　1998年6月

2

exp[-]2 2

2) 单一分布模型(One-Distribution M odel) 将竞争者对所有过去工程的报价与承包商的成本估计的比率结合起来确定一个单一正态分布的参数. 我方击败一个一般竞争者的概率由此分

布来确定, 其它同多分布模型. 4. 3　评述

Casey -Shaffer 模型本质上是Fr iedman 模型的修改. 它简化了Friedman 模型, 便于使用, 但其精确性较差. 此外, 该模型所给出的获胜概率公式的正确性有待于进一步验证.

Hanssman-Rivett 模型的优点是通过减少模型参数的个数进而减少了数据量的需求, 并给出了确定获胜概率的简捷方法, 因此在一定程度上改进了Friedman 模型, 但缺乏预测力[23].

4　Casey -Shaffer 模型

4. 1　模型假定

Casey 和Shaffer 提出的模型[24]本质上是Friedman 模型的修改. 一个修改是他们假设了实际成本等于成本估计; 另一个修改是给出了两个不同于Friedm an 的获胜概率P (x ) 的计算公式. 对某个竞标环境, 假定承包商面对的竞争者的情况为:具体知道的竞争者有n 个; 其它的竞争者的个数和身份都不清楚.

4. 2　数学模型

数学上这个模型可表示为:寻找最优报价x *使

　　E (x *) =m x ax E (x ) =P (x ) (x -C 0) (13)

他们给出了确定P (x ) 的两种方法. 1) 多分布模型(M ulti-Distr ibution Mo del) 利用建筑业的局部性来估计P (x ). 设想承包商从竞争者过去的报价工程中已获得各个具体知道的竞争者的比率r i =b i /C 0的正态概率分布:r i

22

～N ( i , i ) . 其中 i 和 i 简单地由竞争者过去有

5　Willenbrock 模型

5. 1　数学模型

Willenbr ock

[25]

认为竞标环境下, 承包商的

最优标高的确定可转化为一个风险性决策问题;

各种报价x i (或标高m i ) 水平相当于各个行动方案; 提出的报价获胜或失败为两个自然状态(分别记为 1和 2) ; 提出报价x i 且 j 发生时的后果的价值为V (x i , j ). 因此, 可用相应的期望金额值模型或期望效用值模型确定最优报价或标高:即选择方案x k 使

1≤i ≤m

1) V (x i , 1) +P ( 2) V (x i , 2) ]max [P (

(17) (18)

或

1≤i ≤m

max [P ( 1) U (x i , 1) +P ( 2) U (x i , 2) ]

j ) 是决策者的效用函数. 这里U (x i , 5. 2　评述

关的报价数据r i =b i /C 0的均值和方差来估计.

将我方击败各个具体知道的竞争者的概率的几何平均值作为我方击败一个一般竞争者的概率b 0

) ](14) C

0i =1

其中下标a 2表示一般竞争者的报价, F i (x ) 是比　　P (x

n

模型中引入的效用函数明确处理了建筑承包商对不同规模的项目进行标高决策的偏好和风险态度, 但效用函数的确定有困难.

∏[1-F i (

6　其它模型

下面只对其它模型作扼要介绍.

M orin 和Clough [26]很好地改进了Friedman 模型. 他们提出了一种离散概率模型, 并将它编成计算机程序(称作OPBID) . 这样承包商不必具备概率论和运筹学方面的知识就可使用OPBID 确定最优标高. 该模型容易实施. 他们的模型涉及竞标环境中对最优标高有重要影响的一些因素, 如率r i 的分布函数. 这里和下面单一分布模型中的

一般竞争者的概念与Fr eidman 模型中的有所不同, 请参考文献[24]. 我方击败k 个一般竞争者的概率为

　　P (x

我方击败所有竞争者的概率为

+∞

k

(15) x k

x (

第2期　　　　　　　　　　　　　　　　刘树林等:投标与拍卖的几个数学模型

—15—

工程的类型, 等等. 他们支持Casey 和Shaffer [24]的观点, 认为忽略实际成本和估计成本之间的误差是合理的. 模型中的其它假设基本上与Friedman 的相同. 则试OPBID 所用的数据支持Gates 的观点, 即竞争者个数与我方成本估计值无关. 竞争者的个数可由以前投标遇到的竞争者数目的均值预测. 将竞争者的身份分为关键竞争者和一般竞争者用于获胜概率的计算. 指出承包工程的类型影响我方获胜的概率, 同一竞争者的投标历史因承包工作的变化而变化.

Carr 提出一般投标模型. 该模型不受Friedman 和Gates 模型所依赖的假设的约束, 明确考虑了竞争者成本估计的变化. 假设我方报价随着成本变化而变化, 而成本估计服从正态分布.

多元回归分析模型有Carr 和Sandahl [12]及Skitmore 和Pember to n 多问题[28].

[23]

[27]

由于中国建筑工程或其它行业对内和对外均实行招标承包和投标制, 而国内的招标、投标和承包的性质与其它国家的不同. 因此我们不能照搬国外已有的结果, 必须研究适合中国国情的招标承包和投标理论与方法, 特别对投标理论、方法及实务的研究要加大力度以争取更多的劳务输出和外汇收入. 同时, 投标与竞标作为一个学科, 许多理论问题有待于我们去研究和解决.

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以上介绍的所有模型都是单准则决策模型. 它们共同的缺点是只能反映决策者对某个单一准则(如期望利润最大) 的简单追求, 而不能反映决策者对影响最优报价或标高的多个准则的追求.

下面的模型都从多准则决策的观点出发考虑决策者面临的两种决策.

Ahmad 基于实际背景获得的相互独立的属性和多准则决策技术提供了一个结构化方法, 用于投标/不投标决策问题的建模. 该模型需决策者输入许多参数, 因而应用起来仍有一定困难. 文[29]对它做了进一步改进. Ahmad 和M inkarch

[30]

[11]

、Dozzi et al

[31]

、Sey del 和Olson

[32]

基

于多准则决策技术给出了报价(或标高) 的选择方法. 这些方法的重要性在于它们反映了决策者

的偏好结构和风险态度.

7　结束语

　　决策理论方法在投标理论中一直占据统治地位. 尽管Fr iedman 模型和其它决策理论模型中有一些明显的缺陷, 但一直受到各方面学者的采纳和研究. 已出现的一些模型的误用

[33]

和已公开

发表的围绕使用两种决策理论方法(Friedm an 和Gates) 的争论[20]告诫那些打算使用这两种方法

—16—

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Several Mathematical Models for Bidding and Auctions

L iu S hulin

Institute of Sy stems Science , Chinese Academ y of Sciences

W ang S houy ang

Department of M anagement Sciences , Natural Science Foundation o f China

L ai K . K .

Department of M anagement Science , City University of Hong Kong

　T his paper surveys several main m odels fo r bidding and auctio ns , including mo dels of Fried-m an, Gates, Hanssm an-Riv ett and Willenbrock, respectiv ely. T hese models ar e also commented briefly in this paper.

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