2014年中考试题分类汇编(二次函数)
2014年中考试题分类汇编(二次函数)含答案
一、选择题
1、(2014天津市)已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的图象如图所示,有下列5个结论:① abc >0;② b 0;④
2c m (am +b ) ,(m ≠1的实数)其中正确的结论有( )
B
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
2、(2014南充)如图是二次函数y =ax 2+bx +c 图象的一部分,图象过点A (-3,0),对称轴为x =-1.给出四个结论:①b 2>4ac ;②2a +b =0;③a -b +c =0;④5a <b .其中正确结论是( ).B (A )②④ (B )①④ (C )②③ (D )①③ 3、(2014广州市)二次函数y =x 2-2x +1与x 轴的交点个数是( )B A .0 B .1 C .2 D .3 4、(2014云南双柏县)在同一坐标系中一次函数y =ax +b 和二次函数 y =ax 2+bx 的图象可能为( )A
A
5、(2014四川资阳)已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的图象开口向上,并经过点(-1,
2) ,(1,0) . 下列结论正确的是( )D
A. 当x >0时,函数值y 随x 的增大而增大 B. 当x >0时,函数值y 随x 的增大而减小
C. 存在一个负数x 0,使得当x x0时,函数值y 随x 的增大而增大
D. 存在一个正数x 0,使得当x x 0时,函数值y 随x 的增大而增大
6、(2014山东日照)已知二次函数y =x 2-x+a(a >0) ,当自变量x 取m 时,其相应的函数值
小于0,那么下列结论中正确的是( )B
(A) m -1的函数值小于0 (B) m -1的函数值大于0
(C) m -1的函数值等于0 (D) m -1的函数值与0的大小关系不确定 二、填空题
1、(2014湖北孝感)二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图8所示,
且P =| a -b +c |+| 2a +b |,Q =| a +b +c |+| 2a -b |, 则P 、Q 的大小关系为 . P
2、(2014四川成都)如图9
y =ax 2-3x +a 2-1的图象,那么a 3、(2014江西省)已知二次函数y =-的部分图象如图所示,则关于x -x +2x +m =0的解为.2
x 1=-1,x 2=3;
4、(2014广西南宁)已知二次函数y =第4题
的图象如图所示,则点P (a ,bc ) 三、解答题
1、(2014天津市)知一抛物线与x 轴的交点是A (-2, 0) 、B (1,0),且经过点C (2,8)。
(1)求该抛物线的解析式; (2)求该抛物线的顶点坐标。
解:(1)设这个抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c
由已知,抛物线过A (-2, 0) ,B (1,0),C (2,8)三点,得
⎧4a -2b +c =0⎪
⎨a +b +c =0(3分)解这个方程组,得a =2, b =2, c =-4 ⎪4a +2b +c =8⎩
∴ 所求抛物线的解析式为y =2x +2x -4(6分) (2)y =2x +2x -4=2(x +x -2) =2(x +) -∴ 该抛物线的顶点坐标为(-
2
2
2
12
2
9 2
19, -) 22
,-4) ,且过点B (3,0) .2、(2014上海市)在直角坐标平面内,二次函数图象的顶点为A (1
(1)求该二次函数的解析式;
(2)将该二次函数图象向右平移几个单位,可使平移后所得图象经过坐标原点?并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标. 解:(1)设二次函数解析式为y =a (x -1) -4,
2
0) ,∴0=4a -4,得a =1. 二次函数图象过点B (3,
∴二次函数解析式为y =(x -1) 2-4,即y =x 2-2x -3.
(2)令y =0,得x -2x -3=0,解方程,得x 1=3,x 2=-1.
2
0) 和(-1,0) . ∴二次函数图象与x 轴的两个交点坐标分别为(3,
∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点.
0) 平移后所得图象与x 轴的另一个交点坐标为(4,
,2) 3、(2014广东梅州)已知二次函数图象的顶点是(-1
(1)求二次函数的表达式,并在图10中画出它的图象; (2)求证:对任意实数m ,点M (m ,-m 2) 都不在这个 二次函数的图象上.
解:(1)依题意可设此二次函数的表达式为y =a (
x +1) 2+2, ······································ 2分
图10 又点 0⎪在它的图象上,可得 所求为y =-
⎛⎝3⎫2⎭
13
=a +2,解得a =-.
22
1
(x +1) 2+2. 令y =0,得x 1=1,x 22
画出其图象如右.
(2)证明:若点M 在此二次函数的图象上,
122
则-m =-(m +1) +2. 得m -2m +3=0.
2
方程的判别式:4-12=-8
2
所以原结论成立.
2
4、(2014贵州省贵阳)二次函数y =ax +bx +c (a ≠0) 答下列问题:
2
(1)写出方程ax +bx +c =0的两个根.(2分) (2)写出不等式ax +bx +c >0的解集.(2分)
(3)写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围.(22
2
(4)若方程ax +bx +c =k 有两个不相等的实数根,求k 解:(1)x 1=1,x 2=3 (2)12 (4)k
图13
为y =x 2-4x -6.
(2)对称轴为x =2;顶点坐标为(2,-10).
(3)将(m ,m )代入y =x 2-4x -6,得 m =m 2-4m -6, 解得m 1=-1, m 2=6.∵m >0,∴m 1=-1不合题意,舍去.
∴ m =6.∵点P 与点Q 关于对称轴x =2对称,∴点Q 到x 轴的距离为6.
6、(2014四川成都)在平面直角坐标系xOy 中,已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的图象与x 轴交于A ,B 两点(点A 在点B 的左边),与y 轴交于点C ,其顶点的横坐标为1,
3) 和(-3,-12) . 且过点(2,
(1)求此二次函数的表达式;
(2)若直线l :y =kx (k ≠0) 与线段BC 交于点D (不与点B ,C 重合),则是否存在这样的直线l ,使得以B ,O ,D 为顶点的三角形与△BAC 相似?若存在,求出该直线的函数
表达式及点D 的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若点P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点,试比较锐角
∠PCO 与∠ACO 的大小(不必证明),并写出此时点P 的横坐标x p 的取值范围.
3) 和(解:(1) 二次函数图象顶点的横坐标为1,且过点(2,
⎧b
⎪-2a =1,⎧a =-1,⎪⎪
∴由⎨4a +2b +c =3, 解得⎨b =2,
⎪c =3. ⎪9a -3b +2=-12.
⎩⎪
⎩
∴此二次函数的表达式为 y =-x 2+2x +3.
(2)假设存在直线l :y =kx (k ≠0) 与线段BC 交于点D
B ,O ,D 为顶点的三角形与△BAC 相似.
在y =-x 2+2x +3中,令y =0,则由-x +2x +3=0,解得x 1=-1,x 2=3
2
∴A (-1,,0) B (3,0) .令x =0,得y =3.∴C (0,3) .
设过点O 的直线l 交BC 于点D ,过点D 作DE ⊥x 轴于点E .
0) ,点C 的坐标为(0,3) ,点A 的坐标为(-1 点B 的坐标为(3,
∴BC ==∴AB =4OB =OC =3,∠OBC =45.
要使△BOD ∽△BAC 或△BDO ∽△BAC , 已有∠B =∠B ,则只需
BD BC
=
BO BA
, ①
或
BO BC
=
BD BA
.
② 成立.
若是①,则有BD =
BO BC BA
=
3⨯
.而∠OBC =45,∴BE =DE . =
44
2
2222
∴在Rt △BDE 中,由勾股定理,得BE +DE =2BE =BD =.
⎝⎭
993
BE =DE =(负值舍去).∴OE =OB -BE =3-=. 解得
444
⎛39⎫
∴点D 的坐标为 ⎪.将点D 的坐标代入y =kx (k ≠0) 中,求得k =3.
⎝44⎭
∴满足条件的直线l 的函数表达式为y =3x .
[或求出直线AC 的函数表达式为y =3x +3,则与直线AC 平行的直线l 的函数表达式为
y =3x .此时易知△BOD ∽△BAC ,再求出直线BC 的函数表达式为y =-x +3.联立
⎛39⎫
y =3x ,y =-x +3求得点D 的坐标为 ⎪.]
⎝44⎭
若是②,则有BD =
BO BA BC
=
=.而∠OBC =45 ,∴BE =DE . 2
2
2
2
∴在Rt △BDE 中,由勾股定理,得BE +DE =2BE =BD =2.
解得
BE =DE =2(负值舍去).∴OE =OB -BE =3-2=1.∴点D 的坐标
,2) . 为(1
将点D 的坐标代入y =kx (k ≠0) 中,求得k =2.∴满足条件的直线l 的函数表达式为
y =2x .
∴存在直线l :y =3x 或y =2x 与线段BC 交于点D (不与点B ,C 重合),使得以
⎛39⎫
B ,O ,D 为顶点的三角形与△BAC 相似,且点D 的坐标分别为 ⎪或(1,2) .
⎝44⎭3) E (1,0) 的直线y =kx +3(k ≠0) 与该二次函数的图象交于点P . (3)设过点C (0,,
,0) 的坐标代入y =kx +3中,将点E (1求得k =-3. ∴此直线的函数表达式为y =-3x +3.-3x +3) ,并代入y =-x 2+2x +3,得x -5
x =设点P 的坐标为(x ,
解得x 1=5,x 2=0(不合题意,舍去).∴x =5,y =-12.
2
-12) .此时,锐角∠PCO =∠ACO . ∴点P 的坐标为(5,
又 二次函数的对称轴为x =1,
3) . ∴点C 关于对称轴对称的点C '的坐标为(2,
∴当x p >5时,锐角∠PCO ∠ACO .
7、(2014四川眉山)如图,矩形A ’BC ’O ’是矩形OABC(边OA 在x y 轴正半轴上) 绕B 点逆时针旋转得到的.O ’点在x 轴的正半轴上,B 点的坐标为(1,3) . (1)如果二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0) 的图象经过O 、O ’两点且图象顶点M 的纵坐标为 —1.求这个二次函数的解析式;
(2)在(1)中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P ,使得ΔPOM 为直角三角形? 若存在,请求出P 点的坐标和ΔPOM 的面积;若不存在,请说明理由; (3)求边C ’O ’所在直线的解析式.
8、(2014山东日照)容积率t 是指在房地产开发中建筑面积与用地面积之比,即t =
M 建筑面积S 用地面积
,
为充分利用土地资源,更好地解决人们的住房需求,并适当的控制建筑物的高度,一般地容积率t 不小于1且不大于8. 一房地产开发商在开发某小区时,结合往年开发经验知,建筑面积M (m 2)与容积率t 的关系可近似地用如图(1)中的线段l 来表示;1 m 2建筑面积上的资金投入Q (万元)与容积率t 的关系可近似地用如图(2)中的一段抛物线段c 来表示.
(Ⅰ)试求图(1)中线段l 的函数关系式,并求出开发该小区的用地面积; (Ⅱ)求出图(2)中抛物线段c 的函数关系式. 解:(Ⅰ)设线段l 函数关系式为M =kt +b ,由图象得
, 0, ⎧2k +b =2800⎧k =13000
⎨解之,得⎨
6k +b =8000. 0b =2000. ⎩⎩
∴线段l 的函数关系式为M =13000t +2000, 1≤t ≤8. 由t =
M 建筑面积S 用地面积
知,当t =1时,S 用地面积=M 建筑面积,
把t =1代入M =13000t +2000中,得M =15000 m2. 即开发该小区的用地面积是15000 m2.
(Ⅱ)根据图象特征可设抛物线段c 的函数关系式为Q =a ( t -4) 2+k , 把点(4, 0.09),
1⎧a =, ⎪⎧k =0. 09, ⎪100
(1, 0.18)代入,得 ⎨ 解之,得⎨2
⎩a (1-4) +k =0. 18. ⎪k =9.
⎪100⎩
∴抛物线段c 的函数关系式为 Q =
191221
( t-4) 2+, 即Q =t -t +, 1≤t ≤8. [1**********]4
9、(2006四川资阳)如图10,已知抛物线P :y =ax 2+bx +c (a ≠0) 与x 轴交于A 、B 两点(点
A 在x 轴的正半轴上) ,与y 轴交于点C ,矩形DEFG 的一条边DE 在线段AB 上,顶点F 、G 分别在线段BC 、AC 上,抛物线P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下:
(1) 求A 、B 、C 三点的坐标;
(2) 若点D 的坐标为(m ,0) ,矩形DEFG 的面积为S ,求S 与m 的函数关系,并指出m 的取值范围;
(3) 当矩形DEFG 的面积S 取最大值时,连接DF 并延长至点M ,使FM =k ·DF ,若点M 不在抛物线P 上,求k 的取值范围.
若因为时间不够等方面的原因,经过探索、思考仍无法圆满解答本题,请不要轻易放弃,试试将上述(2)、(3)小题换为下列问题解答(已知条件及第(1)小题与上相同,完全正确解答只能得到5分) : 图10
(2) 若点D 的坐标为(1,0) ,求矩形DEFG 的面积. 解:⑴ 解法一:设y =ax 2+bx +c (a 0) ,
1
任取x , y 的三组值代入,求出解析式y =x 2+x -4, ······································· 1分
2
令y =0,求出x 1=-4, x 2=2;令x =0,得y =-4,
∴ A 、B 、C 三点的坐标分别是A (2,0) ,B (-4,0) ,C (0,-4) . ······················· 3分
55
解法二:由抛物线P 过点(1,-) ,(-3,-) 可知,
22
抛物线P 的对称轴方程为x =-1, ·········································································· 1分 又∵ 抛物线P 过(2,0) 、(-2,-4) ,则由抛物线的对称性可知, 点A 、B 、C 的坐标分别为 A (2,0) ,B (-4,0) ,C (0,-4) . ································ 3分
AD DG
⑵ 由题意,,而AO =2,OC =4,AD =2-m ,故DG =4-2m , ············· 4分 =
AO OC
BE EF 又 ,EF =DG ,得BE =4-2m ,∴ DE =3m , ········································ 5分 =
BO OC ∴S DEFG =DG ·DE =(4-2m ) 3m =12m -6m 2 (0<m <2) . ··············································· 6分 注:也可通过解Rt △B OC 及Rt △AOC ,或依据△BOC 是等腰直角三角形建立关系求解. 2 6 . 当矩形面积最大时,其顶点为D (1,0) ,G (1,-2) ,F (-2,-2) ,E (-2,0) , ···· 7分
2222
设直线DF 的解析式为y =kx +b ,易知,k =,b =-,∴y =x -,
33331
又可求得抛物线P 的解析式为:y =x 2+x -4
, ·············
·····························
8分
221
令x -=x 2+x -4
,可求出x . 设射线DF 与抛物线P 相交于点N ,则N 的横坐
2
N 作x 轴的垂线交x 轴于H ,有
FN HE =,
··························································· 9分 =
3DF DE
点M 不在抛物线P 上,即点M 不与N 重合时,此时k 的取值范围是 k 且k >0. ························
···································································· 10分
说明:若以上两条件错漏一个,本步不得分. 若选择另一问题:
-2-
AD DG
,而AD =1,AO =2,OC =4,则DG =2, ······································ 4分 =
AO OC FG CP 又, 而AB =6,CP =2,OC =4,则FG =3, =
AB OC
∴S DEFG =DG ·FG =6.
⑵ ∵
10、(2014山东威海)如图①,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(1,2) ,点B 的坐标为
(31),,二次函数y =x 2的图象记为抛物线l 1.
(1)平移抛物线l 1,使平移后的抛物线过点A ,但不过点B ,写出平移后的一个抛物线的函数表达式: (任写一个即可).
(2)平移抛物线l 1,使平移后的抛物线过A ,B 两点,记为抛物线l 2,如图②,求抛物线l 2的函数表达式.
(3)设抛物线l 2的顶点为C ,K 为y 轴上一点.若S △ABK =S △ABC ,求点K 的坐标. (4)请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线l 2上是否存在点P ,使△ABP 为等腰三角形.若存在,请判断点P 共有几个可能的位置(保留作图痕迹);若不存在,请说明师.
2
x x x
图① 图② 图③
解:(1)有多种答案,符合条件即可.例如y =x 2+1,y =x 2+x ,y =(x -1) 2+2或
y =x 2-2x +
3,y =(x
1) 2,y =(x -12.
(2)设抛物线l 2的函数表达式为y =x +bx +c ,
2
2
2) ,B (31),在抛物线l 2上, 点A (1,
9⎧b =-,⎪⎧1+b +c =2,⎪2解得⎨ ∴⎨
⎩9+3b +c =1⎪c =11.
⎪⎩2
911
∴抛物线l 2的函数表达式为y =x 2-x +.
22
x
911⎛9⎫7⎛97⎫(3)y =x 2-x += x -⎪+,∴C 点的坐标为 ⎪. 22⎝4⎭16⎝416⎭
过A ,B ,C 三点分别作x 轴的垂线,垂足分别为D ,E ,F ,
则AD =2,CF =2753,BE =1,DE =2,DF =,FE =. 1644
∴S △ABC =S 梯形ADEB -S 梯形ADFC -S 梯形CFEB .
11⎛7⎫51⎛7⎫315=(2+1) ⨯2- 2+⎪⨯- 1+⎪⨯=. 22⎝16⎭42⎝16⎭416
延长BA 交y 轴于点G ,设直线AB 的函数表达式为y =mx +n ,
1⎧m =-,⎪⎧2=m +n ,⎪22) ,B (31),在直线AB 上,∴⎨解得⎨ 点A (1,⎩1=3m +n . ⎪n =5. ⎪⎩2
15⎛5⎫∴直线AB 的函数表达式为y =-x +.∴G 点的坐标为 0⎪. 22⎝2⎭
设K 点坐标为(0,h ) ,分两种情况:
若K 点位于G 点的上方,则KG =h -5.连结AK ,BK . 2
15⎫15⎫5⎛⎛S △ABK =S △BKG -S △AKG =⨯3⨯ h -⎪-⨯1⨯ h -⎪=h -. 22⎭22⎭2⎝⎝
S △ABK =S △ABC =5515515⎛55⎫,∴h -=,解得h =.∴K 点的坐标为 0⎪. 1616216⎝16⎭
255-h .同理可得,h =. 162若K 点位于G 点的下方,则KG =
⎛25⎫∴K 点的坐标为 0⎪. ⎝16⎭
(4)作图痕迹如图③所示.
由图③可知,点P 共有3个可能的位置.
2x
11、(2014浙江省)如图,抛物线y =x -2x -3与x 轴交A 、B 两点(A 点在B 点左侧),
直线l 与抛物线交于A 、C 两点,其中C 点的横坐标为2。
(1)求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式;
(2)P 是线段AC 上的一个动点,过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点,求线段PE 长度的最大值;
(3)点G 抛物线上的动点,在x 轴上是否存在点F ,使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的F 点坐标;如果不存在,请说明理由。
解:(1)令y=0,解得x 1=-1或x 2=3(1分)
∴A (-1,0)B (3,0);(1分)
将C 点的横坐标x =2代入y =x 2-2x -3得y=-3,∴C (2,-3)(1分)
∴直线AC 的函数解析式是y=-x -1
(2)设P 点的横坐标为x (-1≤x ≤2)(注:x 的范围不写不扣分)
则P 、E 的坐标分别为:P (x ,-x -1),(1分)
E ((x , x -2x -3) (1分)
∵P 点在E 点的上方,PE=(-x -1) -(x -2x -3) =-x +x +2(2分) ∴当x =22219时,PE 的最大值=(1分) 24
(3)存在4个这样的点F
,分别是F ,0), F 2(-3,0), F 3(4F 4(4 1(1