数学归纳法及其应用

数学归纳法及其应用

重庆市酉阳第一中学校 李 进 409812

摘 要：数学归纳法把具体的归纳猜想与严格的演绎推理结合在一起，形成了数学中最基本的逻辑推理方法之一。数学归纳法在论证与自然数有关的教学命题中有着独到的功效，人们在认识真理的过程中经常使用归纳法来探索规律、发现结论。数学归纳法是中学数学教学内容的重点与难点之一，重点是因为数学归纳法使用面较广，难点则是因为它及归纳、猜想、证明与一体，较为抽象，也是学生第一次接触从有限到无限的认识方式。也是初步认识自然数的后继特征，同时涉及到的知识和技巧较多，学生难以理解。本文第一部分归纳和总结了数学归纳法的理论依据与使用范围、基本形式，第二部分是本文的核心内容, 主要总结归纳了数学归纳法以及在与正整数有关的某些不等式、代数恒等式、整除、几何命题、数列命题、排列组合等问题中的证明。

关键词：数学归纳法 应用 范围 形式

1、引言

归纳法是从特殊到一般的思想方法，无数特殊性的事物中蕴涵着某种共同性的东西或普遍关系，把这种共同性的东西或普遍关系找出来表述为一般性命题或普遍公式，就是归纳法。数学归纳法，是归纳法的一种特殊形式，是一种适用于发现和论证自然数命题的归纳法。它也是从特殊过渡到一般的思想方法，数学归纳法非常重要，当人们碰到一个与自然数n 有关的数学问题时，如果一时无法入手，就应该首先观察简单的情形，即观察[1]n =1、n =2或n =3时，问题的解(或答案) 应该怎样，如果连最简单的情形问题答案都无法确定，那么对一般情形就更难琢磨了，因此要重视特例，耐心地观察特例，善于分析特例，并从中猜想出普遍性的结论，这就是使用归纳法的重要步骤，当然还要学会从n =k 过渡到n =k +1的演绎推理方法 [2]。

数学归纳法与递推方法, 逆向推理方法等同属程序性方法，从横的方面看, 它和正整数

有关的某些不等式、等式、整除、几何命题、数列命题、排列组合等问题密切相关，数学归纳法在高考中大多数是以压轴题，占有非常重要位。 [3]

2、预备知识

皮亚诺归纳公理[1] 如果某一自然数的集合M 含有数1，而且含有自然数k 时也含有k +1，则集合M 是所有自然数构成的集合。

预备定理(最小数原理) 自然数的任何非空集合A 必有一个最小数，即这个数小于集合A 中所有其他的数。

定理1 (第一数学归纳法) 已知一个与自然数有关的命题p (k +1) M 1k , k +1, A , Nn ,3。如果

(ⅰ) 对于数1它是正确的，即p (1)是真；

(ⅱ) 当假定对自然数k ，p (k ) 真时，能够证明p (k +1) 也真，那么命题p (n ) 对所有的自然数n 都为真。

定理2 (第二数学归纳法) 已知一个与自然数有关的命题p (n ) 。如果

（ⅰ） p (1)是真

（ⅱ） 假定当1≤n ≤k (n ∈N ) ，p (n ) 为真时，能够证明p (k +1) 也真。

那么命题p (n ) 对n ∈N 都正确。

定理3 已知与自然数有关的命题p (n ) 的结论分为两大部分：p (A n ) ，p (B n ) (A n , B n ∈N ) ，{A n } {B n }=N ，{A n } {B n }=φ, 如果

（ⅰ） 命题p (1)为真;

（ⅱ） 假设命题P (A k ) 为真时, 能推出命题P (B k ) 为真; 而且由命题P (B k ) 为真, 又能推出P (A k +1) 为真, 那么命题对n ∈N 都正确.

3、数学归纳法的理论依据和适用范围

与自然数有关的命题p (n ) 一般是由无穷多个命题p (1)，p (2)，…，p (n ) ，…所组成，采用逐个论证的方法是不可能完成的。数学归纳法的实质在于：将一个无法(或很难) 穷尽验证的命题转化为证明两个普通命题“p (1)为真”和“p (k ) 为真则p (k +1) 真”，从而达

到证明目的。是从有限范围内的正确结论出发，利用自然数的“后继”特征和逻辑中的“蕴涵”关系，得到无限范围内无可辩驳、无可怀疑的正确结论。

数学归纳法的依据来源于揭示自然数根本性质的的皮亚诺公理:自然数集是满足下述一组公理的集合[4][1] ”

1) 1是一个自然数；

2) 对于N 中的每一个自然数n , 都可以在N 中找到一个确定的后继数n ；

3) 对于任何自然数n ，n ≠1，即没有以1为后继数的自然数；

4) 任何两个自然数n 与m ，若m =n , 则m =n ；

5) N 的任一子集若满足性质： ++++

(a ),1∈S ;

(b ) , 由n ∈S 可推出n +∈S ，则S =N ;

“后继”关系是自然数的的重要特征，即每一个自然数有且仅有一个“后继”，而除了1以外的每个自然数也必然是和只能是一个自然数的“后继”，这应该是数学归纳法中第二步—— 归纳递推的依据。可见，皮亚诺公理中的第五条公理正是数学归纳法的根据，因此，第五条公理也称做数学归纳原理。

由数学归纳原理可以导出第一数学归纳法原理：设P (n ) 是与所有自然数n 有关的命题：“如果(1) P (1)是真命题。(2) 当P (k ) 是真命题时能推出P (k +1) 也是真命题，那么对于任意自然数n ，P (n ) 都是真命题”。有的命题对“1”不适合，如“n 边型的边数n 必须从3开始”，改用下面的说法也许更为适用：

“对于某一个与自然数有关的命题P (n )，如果：(1) 当n 取某一最小自然数n 0时命题P 为真；

(2) 在假设P (k ) (k ≥n 0) 为真的基础上，可以推出P (k +1)亦真，那么就能断言对所有自然数n (n ≥n 0) ，命题P (n )都成立”。实际上是证明了：“自然数的以n 0为最小数的无限子集是使命题成立的集合”。

这种推理方法，可以说是数学证明中的“多米诺”现象，如果不具有一定数学和逻辑素养，是不可能相信和理解的。体现了人类理性思维“从有限认识无限”所闪烁的智慧之光。

数学归纳法一般适用于自然数集的某一无限子集(即其最小自然数为n ) 有关的命题P (n )的证明，但有些命题P (n )中n 可取整数，也可以用数学归纳法。而且，归纳推理的思想对于关于自然数集的某一有限子集的命题的证明也是可以借鉴的。如高等数学中“有限个具有极限的函数的和（差) 、积、商(分母不为零) 、幂的极限仍存在且等于它们各自极限的和(差) 、积、商、幂”等，这里的“有限个”只对应于“自然数的有限子集”，也可利用数学归纳法的思路予以推证，只是不要在最后下结论：“对所有自然数都成立”就可以了。

4、数学归纳法的基本形式

用数学归纳法证明一个命题的步骤分为清楚的两步：

(1) 验证当n 取某一个自然数n 0（即对于此命题的“最小自然数”) 时命题成立，说明命题在特殊情况下是正确的，其根据是自然数集的“最小数原理”—— 即自然数集的每一个非空的子集必有最小数。这步可称为归纳奠基，是论证的基础，是命题得以成立的起点

[2] ；

(2) 在假设当n 取某一自然数k (k ≥n 0) 时结论正确的前提下，严格推导出当n 取k 的后继自然数k +1时命题也成立，说明命题的正确性是可以传递的，从而具有普遍性。这步可称为归纳递推，是关键，其基本构思是“找出在n =k +1时命题也能表现为类似n =k 时的结果”。因此，归纳递推的基本构思在于设法使用归纳假设。归纳奠基只是简单的验证；归纳递推是数学归纳法的难点。归纳奠基和归纳递推步骤缺一不可[5]。

完成这两个步骤之后，注意到证明步骤的完整与书写格式的规范，才可以也必须下结论：该命题对于一切自然数n (n ≥n 0) 都成立。

5、数学归纳法的应用

数学归纳法的应用广泛，用此方法可解决以下几方面的数学问题．

5.1 数学归纳法在代数恒等式问题中的应用[6]

一般采用的证明方法是在等式两边同加或同乘以第k +1项，然后适当变形即可得证。 例1 求证 1-11111111+-+ +-=++ + 2342n -12n n +1n +22n

分析 当n =1时易知等式成立, 作归纳假设! 在考虑第二步时, 我们先分析n =k 时

11111111如何证明n =k +11-+-+ +-=++ +2342k -12k k +1k +22k

时成立呢?

我们可用分析法, 先考察n =k +1时, 左边和为.

1111111按归纳假设的条件进行整理, 1-+-+ +-+-2342k -12k 2k +12k +2

推证

n =k +1时, 应在等式两边同时都添加

证明 ① 当n =1时，左边=1-11, 顺着这个思路做下去: -2k +12k +21111=，右边==，等式成立 221+12

② 设n =k 时（k ≥1）时等式成立，即

11111111 1-+-+ +-=++ +2342k -12k k +1k +22k

在上式两边同加上11，得 -2k +12k +2

1111111 1-+-+ +-+-2342k -12k 2k +12k +2

=

=

=111111++ +++[-] k +2k +32k 2k +1k +12(k +1) 11111 ++ +++k +2k +32k 2k +12(k +1) 11111 ++ +++(k +1) +1(k +1) +22(k +1) -22(k +1) -12(k +1)

当n =k +1时，命题成立。

综合①②对于任意自然数n ，命题成立。

例2 求证 (1-111n +1)(1-) (1-) =(n ≥2) 22223n 2n

分析 当n =2时易知不等式成立, 做归纳假设, 当n =k 时, 有

(1-

时乘以 111k +1)(1-) (1-) =(k ≥2) , 则当n =k +1时, 我们在等式两边同2232k 22k

1-1, 就能够证明命题成立。 (k +1) 2

证明 ① 当n =2时，等式左边=1-132+13，右边===，等式成立。 2242⨯24

② 设n =k (k ≥2) 时等式成立，即 (1-1111k +1，在等式两边同时乘以得 1-)(1-) (1-) =(k ≥2) 2222(k +1) 23k 2k

1111k +11)(1-) (1-)(1-) =(1-) 2222223k (k +1) 2k (k +1) (1-

k +1(k +1) 2-1= 22k (k +1)

k +1(k +1) 2-1k +2(k +1) +1= ==2k (k +1) 22(k +1) 2(k +1)

于是，当n =k +1时，等式成立。

综合①②对于任意自然数n (n ≥2) ，命题成立。

5.2 数学归纳法在数列命题中的应用[7]

例3 等差数列的第n 项，可以用公式

a n =a 1+(n -1) d (1)

表示，这里a 1是它的首项，d 是公差

证明 当n =1时，a 1=a 1，(1)式成立

假设当n =k 的时候，(1)式是成立的

那么，因为 a k +1=a k +d =a 1+(k -1) d +d

=a 1+[(k +1) -1]d

所以 当n =k +1时，(1)式也是成立，由此可知，对于所有的n ，(1)式都是成立的．

例4 等差数列前n 项和，可以用公式

1s n =na 1+n (n -1) d (2) 表示，这里a 1是它的首项，d 是公差。 2

证明 当n =1时，s 1=a 1，(2)式是成立的。

假设当n =k 的时候，(2)式也是成立的，那么

s k +1=s k +a k +1

1=[ka 1+k (k -1) d ]+{a 1+[(k +1) -1]d } 2

1=(k +1) a 1+(k +1)[(k +1) -1]d 2

所以当n =k +1时,(2)也是成立的, 由此可知, 对于所以的n ,(2)式都是成立的.

5.3 数学归纳法在不等式问题中的应用[8]

例5 设a , b ∈R 且+11+=1，求证对于任何n ∈N +有 a b

(a +b ) n -a n -b n ≥22n -2n +1成立。

证明 ① 当n =1时，左边=右边=0，原不等式成立。

② 设n =k 时原不等式成立，即

(a +b ) k -a k -b k ≥22k -2k +1

则n =k +1时，

(a +b ) k +1-a k +1-b k +1=(a +b )[(a +b ) k -a k -b k ]+a k b +b k a

≥(a +b )(22k -2k +1) +a k b +b k a

由1=11ab ≥

4，a +b ≥≥

4 +≥a b k a b +b a ≥所以(a +b ) k +1k 2(4)k +12=2k +2 -a k +1-b k +1

k k k k k =(a +b )[(a +b ) -a -b ]+a b +b a

=4(22k -2k +1) +2k +2

=22(k +1) -2(k +1) +1

即n =k +1时，原不等式成立。

综合①②可知对于任何n ∈N +原不等式成立。

例6 求证n 个非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数．

n 个非负数a 1, a 2, , a n 的几何平均数是

(a 1a 2a 3 a n ) 1

n ；算术平均数是

a 1+a 2+ +a n n

所以本题就是要求证明：

(a 1a 2a 3 a n ) 1

n ≤a 1+a 2+ +a n ① n

证明 ⑴ 当n =1的时候，①式不证自明。如果a 1, a 2, , a n 里个等于0，①式也不证自明。

⑵ 假设n =

k ≤a 1+a 2+ +a k 。 k

当n =k +1时，不防设0

而k

m ≥

即m ≥a 1a 2 a k ，

现要证

≤

即要证明

k a 1+a 2+ +a k +a k +1 k +1km +m +α k +1

) k +1 k +1即 a 1a 2 a k a k +1≤(m +

由二项式定理 α

(m +1k ) k +1=m k +1+C k ) + +1m ⋅(k +1k +1αα

≥m k +1+m k α=m k (m +α) ≥a 1a 2 a k a k +1

即当n =k +1时，命题成立。

综合⑴⑵可知，对于任意n ∈N (n ≥0) 命题成立.

5.4 数学归纳法在几何问题中的应用

例7 求证：n 边形n 个内角的和等于(n -2) π（n ≥3）[7]

证明 ① 当n =3的时候，我们知道三角形三个内角的和是两直角，所以，当n =3

时，命题是正确的。

②假设当n =k 时（k ≥3）时命题也是正确的。设A 1, A 2, , A K +1是k +1边形的顶点。作线段A 1A k 把这个k +1边形分成两个图形，一个k 边形A 1A 2 A K 。另一个是三角形A k A k +1A 1。并且k +1边形内角的和等于后面这两个图形的内角和的和，就是

f (k +1) =(k -2) π+π=(k -1) π=[(k +1) -2]π

也就是说，当n =k +1时，这个命题也是正确的。

根据①②可知，对于n ∈N （n ≥3）时命题成立。

例8 已知函数y =f (x ) 的图象是自原点出发的一条折线 ，当 n ≤y ≤n +1

(n =0, 1, 2 ) 时, 该图象是斜率为b n 的线段（其中正常数b ≠1）设数列{x n }由f (x n ) =n (n =0, 1, 2 ) 定义

⑴ 求x 1, x 2和x n 的表达式；

⑵ 求f (x ) 的表达式，并求出定义域；

⑶ 求证：f (x ) 的图象与y =x 的图象没有横坐标大于1的点。

解 1）由题意可知f (0) =0，又由f (x 1) =1。

当0≤y ≤1时，函数y =f (x ) 的图象是斜率为b 0=1的线段， ∴[9]f (x 1) -f (x 0) =1得x 1=1。 x 1-x 0

又由求f (x 2) =2，当1≤y ≤2时，函数y =f (x ) 的图象是斜率为b 的线段， ∴f (x 2) -f (x 1) =b 得 x 2-x 1

1b 2-1 x 2=1+=b b (b -1)

同理可得

b 3-1b 4-1…… x 3=2x 4=3b (b -1) b (b -1)

b n -1猜想 :x n =n -1 b (b -1)

下面用数学归纳法证明:

① 当n=1,2,3,4由上述可知结论成立.

b k -1② 假设n =k 时, 命题成立, 即x k =k -1, 则n =k +1时, 由f (x k +1) =k +1当b (b -1)

k ≤y ≤k +1时, 函数y =f (x ) 的图象是斜率为b k 的线段f (x k +1) -f (x k ) =b k x k +1-x k

得x k +1=x k +

由归纳假设, 得 1 b k

b -11b k +1-1x k +1=k -1+= b (b -1) b k b k (b -1) k

当n =k +11时, 命题也成立.

b n -1由①, ②知, x n =n -1(x ∈N ) 都成立. b (b -1)

⑵ 由⑴知当n ≤y ≤n +1时, 即当x 0≤x ≤x n +1时 得f (x ) =n +b (x -x n ) (x 0≤x ≤x n +1x ∈N ), 当b >1时, lim x n =

n →∞n b ; b -1

当0

b n -1b n +1-1≤x ≤n ,(n ∈N ) b n -1(b -1) b (b -1)

当b >1时, 其定义域为[0,

b ] b -1

当0

⑶ 要证明f (x ) 的图象与y =x 的图象没有横坐标大于1的交点, 只要证明, 当b >1

时, 恒有f (x ) >x 成立, 当0x 成立. ①当x 1∈(x 1, x 2]时, f (x ) =1+b (x -1) >1+(x -1) =x , 命题成立.

②假设x 1∈(x k , x k +1], 命题成立, 即f (x ) =k +b (x -x k ) >x 成立, 即

k

f (x k +1) >x k +1, ,

f (x k ) >x k , 则当 x 1∈(x k +1, x k +2]时

f (x k +2) =k +b k +1(x k +2-x k +1) =k +1+1

b k +1-1

=k +b (x k +1-x k ) +1>x k +1+1=k +1

b (b -1)

k

要使 f (x k +2) >x k +2即

b k +1-1b k +2-1

+1>k +1

k

b (b -1) b (b -1)

即证 b (b

k +1

-1) +b k +1(b -1) >b k +2-1

k +1

此式等价于(b -1)(b -1) >0而b >1已知, 故此式成立.

所以f (x k +2) >x k +2, 又因为f (x ) 在x ∈(x k +1, x k +2]上是线段, 所以f (x ) >x,在

x ∈(x k +1, x k +2]也成立.

由①②及归纳假设可知f (x ) >x 对于x ∈(x n , x n +1]x ∈N 恒成立.

同理可得: f (x ) 1时恒成立. 所以y =f (x ) 与y =x 没有横坐标大于1的交点。

5.5 数学归纳法在组合中的应用[10]:

数学归纳法最简单的应用之一, 是用来研究数列和组合的公式. 例9

A

r n

=n (n -1)(n -2) (n -r +1). (1)

证明 首先

A n =n . 这是显然的, 如果再能证明A n =n A n -1, 那么, 这个定理就可以应用

A

r n

1r r -1

数学归纳法来证明. 我们假定n 个元素是a 1a 2 a n , 在每次取出r 个元素的排列法里, 以a 1为首的共有

r

r -1

种

A

r -1

种, 以a 2为首的同样也共有n -1

A

r -1n -1

种, 由此即得

A n =n A n -1, 于是定理得证.

例10

c

m n

=

n !

m !(n -m )!

证明 首先

c

1n

=n . 这是显然的, 如果再能证明当1

m

m -1

c

m n

=c n -1+c n -1

我们假定有n 个不同的元素a 1, a 2, , a n , 在每次取出m 个元素的组合里, 可以分为两类:一类含有a 1, 一类不含有a 1, 含有a 1的组合数, 就等于a 2, a 3, , a n 里取

m -1个元素的组合数, 它等于c n -1, 不含有a 1的组合数, 就等于a 2, a 3, , a n 里取

m -1

m 个组合数, 它等于c n -1所以

m

c

m n

=c n -1+c n -1

m m -1

下面我们证明式子

c

m n

=

n !

m !(n -m )!

因为当n =1的时候, 这个定理是正确的; 假设当n =k -1的时候, 这个定理是正确

的, 那么

c

1

m k

=c k -1+c k -1=

m m -1

(k -1)! (k -1)! k !

+= (这里

m !(k -1-m )! (m -1)!(k -m )! m !(k -m )!

∴n =k 时，这个定理也是正确的。 所以，公式

c

m n

=

n !

是成立的。

m !(n -m )!

5.6 数学归纳法在整除中的应用

例11 求证(3n +1) ⋅7-1(n ∈N ) 能被9整除。

分析 第一步不难验证，第二步当n =k +1时，要设法把[3(k +1) +1]⋅7

归

纳

假

设

中

的

k +1

n

[2]

-1转化为

式

，

(3k +1) ⋅7k -1

的结构形

[3(k +1) +1]⋅7k +1-1=7[(3k +1) ⋅7k -1]+(3⋅7k +1+6) ，在这个式子中还有一

项(3⋅7

k +1

+6) 。我们还得证明3⋅7n +6（n ∈N ）也能被9整除

n

证明 ①当n =1时，(3n +1) ⋅7-1=27能被9整除；3⋅7+6=27也能被9整除。 ②假设n =k 时，(3k +1) ⋅7-1能被9整除，3⋅7+6也能被9整除，则当

k

1

k

n =k +1时

[3(k +1) +1]⋅7

k +1

-1

=7[(3k +1) ⋅7k -1]+(3⋅7k +1+6) =7[(3k +1) ⋅7k -1]+7(3⋅7k +6) -36

由归纳假设知前两项都能被9整除，而36显然能被9整除， 由①②可知，命题对于n ∈N 都成立。

例12 求证多项式x

n +2

+(x +1) 2n +1(n ≥0) 能被多项式x 2+x +1整除。

n +2

[6]

证明 ①当n =0时, x

+(x +1) 2n +1=x 2+x +1, 能被x 2+x +1整除.

n +2

②假设n =k (k ≥0) 时, x

+(x +1) 2n +1(n ≥0) 能被多项式x 2+x +1整除. 当

n =k +1时.

x (k +1) +2+(x +1) 2(k +1) +1=x ⋅x k +2+(x +1) 2⋅(x +1) 2k +1

=x k +2(x 2+2x +1) -x k +2(x 2+x +1) +(x +1) 2(x +1) 2k +1=(x +1) 2[x k +2+(x +1) 2k +1]-x k +2(x 2+x +1)

根据归纳假定, x

2

n +2

+(x +1) 2n +1能被x 2+x +1整除. 而x k +2(x 2+x +1) 显然能

(k +1) +2

被x +x +1整除, 所以, 他们的和x

+(x +1) 2(k +1) +1能被x 2+x +1整除. 这就

是说n =k +1时这个命题也是正确的,

综述①②对于任意n ∈N (n ≥0) 命题成立.

6、总结

数学归纳法是高中数学中涉及面广，知识跨度大的内容，它具有综合代数、几何为一体的特点，应用十分广泛，并且对数学的发展起到了探索和导向的作用。本文介绍了数学归纳法的概念，以及在前人研究基础之上总结归纳了数学归纳法的理论依据和适用范围以及数学归纳法的基本形式，并通过其性质在代数、几何两方面的应用对课题进行了阐述，。从文中所举例子可见，对数学中的某些问题，应用数学归纳法可以使问题得以巧妙解决。其中利用数学归纳法证明代数恒等式、数列命题、不等式、一些几何命题、组合问题、整除问题都显得十分简便。通过一些例题的解答，可以提高学生灵活应用数学知识解决问题的能力、提高解题效率。

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