排列组合解法

排列组合解法

排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。

教学目标

1. 进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。

2. 学会应用数学思想和方法解决排列组合问题。

3. 掌握解决排列组合问题的常用策略; 能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力。

复习巩固

1. 分类计数原理(加法原理)

完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有

m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有m n

2. 分步计数原理（乘法原理）

完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m 1种不同的方法，做第2

步有m 2种不同的方法，…，做第n 步有m n

3. 分类计数原理分步计数原理区别

分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．

解决排列组合综合性问题的一般过程如下:

1. 认真审题弄清要做什么事

2. 怎样做才能完成所要做的事, 即采取分步还是分类, 或是分步与分类同时进行, 确定分多少步及多少类。

3. 确定每一步或每一类是排列问题(有序) 还是组合(无序) 问题, 元素总数是多少及取出多少个元素.

4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略

方法

一. 特殊元素和特殊位置优先策略

位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法, 若以元素分析为主, 需先安排特殊元素, 再处理其它元素. 若以位置分析为主, 需先满足特殊位置的要求, 再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件

二. 相邻元素捆绑策略

要求某几个元素必须排在一起的问题, 可以用捆绑法来解决问题. 即将需要相邻的元素合并为一个元素, 再与其它元素一起作排列, 同时要注意合并元素内部也必须排列.

三. 不相邻问题插空策略

元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端

四. 定序问题倍缩、空位插入策略模型处理

定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插入

五. 重排问题求幂策略

允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为m 种

六. 环排问题线排策略

一般地,n 个不同元素作圆形排列, 共有(n-1)!种排法. 如果从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列共有n 1m A n n

七. 多排问题直排策略

一般地, 元素分成多排的排列问题, 可归结为一排考虑, 再分段研究.

八. 排列组合混合问题先选后排策略

解决排列组合混合问题, 先选后排是最基本的指导思想. 此法与相邻元素捆绑策略相似吗?

九. 小集团问题先整体后局部策略

小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。

十. 元素相同问题隔板策略

将n 个相同的元素分成m 份（n ，m 为正整数）, 每份至少一个元素, 可以用m-1块隔板，插入n 个元素排

m -1成一排的n-1个空隙中，所有分法数为C n -1

十一. 正难则反总体淘汰策略

有些排列组合问题, 正面直接考虑比较复杂, 而它的反面往往比较简捷, 可以先求出它的反面, 再从整体中淘汰.

十二. 平均分组问题除法策略

平均分成的组, 不管它们的顺序如何, 都是一种情况, 所以分组后要一定要除以A n

n (n 为均分的组数) 避免重

复计数。

十三. 合理分类与分步策略

解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。

十四. 构造模型策略

一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决

十五. 实际操作穷举策略

对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果

十六. 分解与合成策略

分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略, 把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决, 然后依据问题分解后的结构, 用分类计数原理和分步计数原理将问题合成, 从而得到问题的答案 , 每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略

十七. 化归策略

处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题

十八. 数字排序问题查字典策略

数字排序问题可用查字典法, 查字典的法应从高位向低位查, 依次求出其符合要求的个数, 根据分类计数原理求出其总数。

十九. 树图策略

对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，树图会收到意想不到的结果 二十. 复杂分类问题表格策略

一些复杂的分类选取题, 要满足的条件比较多, 无从入手, 经常出现重复遗漏的情况, 用表格法, 则分类明确, 能保证题中须满足的条件, 能达到好的效果.

小结

本节课，我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固。排列组合历来是学习中的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。根据它们的条件, 我们就可以选取不同的技巧来解决问题. 对于一些比较复杂的问题, 我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础。