三角形中的几何计算经典高考题及详解

三角形中的几何计算经典高考题及详解

1. 小题满分12分) 在∆ABC 中，角A , B , C 的对边分别为a , b , c ，且

32A -B 2c o c B o -s A -s B i n (B =-s ．i n 25

（Ⅰ）求cos A 的值；

（Ⅱ

）若a =

b =5，求向量BA 在BC 方向上的投影．

2（本小题满分16分）(2013江苏)

如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径。一种是从A 沿直线步行 到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两 位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m /min ．在甲出发2min 后，乙从 A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从匀速步行到C ．假设缆车匀速直线运动的 速度为130m /min ，山路AC 长为1260m ，经测量，cos A =123，cos C =． 135

（1）求索道AB 的长；

（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，

乙步行的速度应控制在什么范围内？ A 解：（1）如图作BD ⊥CA 于点D ， 设BD ＝20k ，则DC ＝25k ，AD ＝48k ， AB ＝52k ，由AC ＝63k ＝1260m ， 知：AB ＝52k ＝1040m ．

C （2）设乙出发x 分钟后到达点M ，

此时甲到达N 点，如图所示．

则：AM ＝130x ，AN ＝50(x ＋2) ，

由余弦定理得：MN 2＝AM 2＋AN 2－2 AM ·AN cos A ＝7400 x2－14000 x＋10000，

35其中0≤x ≤8，当x ＝37(min)时，MN 最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短．

1260126（3）由（1）知：BC ＝500m ，甲到C 用时：50＝5 (min)．

12614186若甲等乙3分钟，则乙到C 5 ＋3＝5 (min)，在BC 5 (min) ．

861250此时乙的速度最小，且为：5005＝43 m/min．

12611156若乙等甲3分钟，则乙到C 5 －3＝5 (min)，在BC 5 (min) ．

56625此时乙的速度最大，且为：5005＝14 m/min．

1250625故乙步行的速度应控制在[43，14]范围内．

32011浙江（18）（本题满分14分）在ABC 中，角A . B . C 所对的边分别为a,b,c.

1已知sin A +sin C =p sin B (p ∈R ), 且ac =b 2. 4

5（Ⅰ）当p =, b =1时，求a , c 的值； 4

(Ⅱ) 若角B 为锐角，求p 的取值范围；

解：（本题满分14分）在∆ABC 中，角A , B , C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知

1sin A +sin C =p sin B (p ∈R ), 且ac =b 2. 4

5（Ⅰ）当p =, b =1时，求a , c 的值； 4

(Ⅱ) 若角B 为锐角，求p 的取值范围。

解：（Ⅰ）sin A +sin C =p sin B (p ∈R ), ∴a +c =pb =

又5 41111ac =b 2=∴a =1, c =或∴a =, c =1 4444

2222223p 2b 2-b 2a +c -b p b -2ac -b =2p 2-

3 (Ⅱ) cos B ===

b 22ac 2ac

2

∴0

在V ABC 中，B =60, AC =AB +2BC 的最大值为 。

解析：A +C =1200⇒C =1200-A , A ∈(0,1200) , BC AC ==2⇒

BC =2sin A sin A sin B

AB AC ==2⇒AB =2sin C =2sin(1200-A ) =A +sin A ； sin C sin B

∴AB

+

2BC =A +5sin A =

A +ϕ) =A +ϕ) ，故最大值是 5（2013福建）13．如图∆ABC 中，已知点D 在BC 边上，

AD ⊥AC

，sin ∠BAC =AB =AD =3则BD 的长为_______________

3

πsin ∠BAC =sin(∠BAD +) =cos ∠BAD =【解析】23

AB 2+AD 2-BD 2

∴根据余弦定理可得cos ∠BAD =2AB ∙

AD

222

∴=BD = 36（2012湖南）7．在∆ABC 中，AB =2，AC =3，⋅=1，则BC =

A

B

C

． D

【答案】A

【解析】由下图知

A A B

c = s ) 1π-o B

. s C (又由⨯余B ) 弦. ⨯2

定理B -知∴cos B =1

-2BC C

AB 2+BC 2-AC 2

cos B =，解得BC =2AB ⋅BC

【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识. 考查运算能力，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法. 需要注意AB , BC 的夹角为∠B 的外角.

7（2011江西）17．（本小题满分12分）

在V ABC 中，角A , B , C 的对边分别是a , b , c ，已知sin C +cos C =1-sin

（1）求sin C 的值；

（2）若a +b =4(a +b ) -8，求边c 的值． 22C ． 2

C =1-cos C , 2

C C 2C 即sin (2cos+1) =2sin 222

C C C C C 1由sin ≠0得2cos +1=2sin , 即sin -cos = 222222

3同边平方得：sin C = 4解：（1）由已知得sin C +sin

（2）由sin C C 1πC π-cos =>0得

222422

即π

2

由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2ab cos C =8+所以c =1.