高三数学教教案-解析几何
第八章 平面解析几何
第一节 直线的倾斜角、斜率与方程
教学目标要求:
1.在平面直角坐标系中,结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.
3.掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式) ,了解斜截式与一次函数的关系. 一、直线的倾斜角与斜率
1.直线的倾斜角 (1)定义:当直线l 与x 轴相交时,我们取x 轴作为基准,x 轴的
正方向与直线l 向上方向之间所成的角α叫作直线l 的倾斜角.
当直线l 与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°.
(2)范围:倾斜角的范围为α∈[0,π) .
2.直线的斜率
(1)定义:一条直线的倾斜角α的叫作这条直线的斜率;斜率常用小写字母k 表示,即k = ,倾斜角为90°的直线没有斜率.
(2)过两点P 1(x 1,y 1) ,P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2) 的直线的斜率公式为k =(3)直线的斜率与倾斜角的关系可用下图表示:
3. 直线的方向向量和法向量
(1)方向向量:与直线平行的向量叫做直线的方向向量.
设F 1(x 1, y 1), F 2(x 2, y 2) 是直线上不同的两点, 则向量
F 1F 2=(x 2-x 1, y 2-y 1) 是直线的一个方向向量; 向量
y -y 11) =(1, k )(x 1≠x 2) 也是直线的一个方向向量. F 1F 2=(1, 2
x 2-x 1x 2-x 1
(2)法向量:与直线垂直的向量叫做直线的法向量.
4. 直线方程的五种形式
(1)直线方程的点斜式:
①经过一点P (x 0, y 0) , 且斜率是k 的直线的方程是y -y 0=k (x -x 0) , 这个方程叫做直线方程的点斜式. y 轴和与y 轴平行的直线, 没有点斜式方程.
②特别地:y 轴的方程是x =0, 与y 轴平行的直线方程是x =a ;
x 轴的方程是y =0, 与x 轴平行的直线方程是y =b
(2)直线的截距:
如果直线与x 轴相交, 且交点的坐标是A (a , 0) , 那么a 叫做直线在x 轴上的截距; 如果直线与y 轴相交, 且交点的坐标是B (0, b ) , 那么b 叫做直线在y 轴上的截距.
(3)直线的方程的截距式
:
①如果直线的斜率是k , 并且直线在y 轴上的截距是b , 那么直线的方程是y =kx +b , 这个方程叫做直线方程的斜截式. y 轴和与y 轴平行的直线, 没有斜截式方程.
②过点A (a , 0) 的直线的方程可以写成x =my +a (该方程可以表示倾斜角为90︒的直线).
(4)直线方程的两点式:
①如果直线经过两点P 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2) (x 1≠x 2, y 1≠y 2) , 那么直线的方程是y -y 1x -x 1, 这个方程叫做直线方程的两点式. 与坐标轴平行的直线没有两点式方=y 2-y 1x 2-x 1
程.
②经过两点P 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2) 的直线的方程是(y -y 1)(x 2-x 1) =(x -x 1)(y 2-y 1) , 如果x 1=x 2, 那么该直线的方程是x =x 1, 如果y 1=y 2, 则该直线的方程是y =y 1.
(5)直线方程的截距式:
x y 如果直线在x 轴上的截距是a , 在y 轴上的截距是b , 那么直线的方程是+=1, a b
这个方程叫做直线方程的截距式. 与坐标轴平行或经过坐标原点的直线没有截距式方程.
(6)直线方程的一般式:
①以上各种形式的方程, 通过方程的恒等变形, 总可以下成形如Ax +By +C =0. 这个方程叫做直线的一般式方程.
②已知直线的一般式方程是Ax +By +C =0, 可以求出该直线的相关特征数值.
A Ⅰ. 直线的斜率k =-; B
C C Ⅱ. 直线在x 上的截距是a =-(A ≠0) , 直线在y 上的截距是b =-(B ≠0) ; A B
Ⅲ. 直线的一个法向量是n =(A , B ) a =(-B , A )
直线方程任一形式都可化为一般式,而直线方程的一般式在一定条件下才能化为点斜式、斜截式、两点式或截距式. 例1已知向量n =(-2, 3) ,直线l 过点A (3, -1) 且与向量n 垂直,则直线l 的方程为( )
A . 3x +2y -7=0 B . 3x -2y -11=0 C . 2x +3y -3=0 D . 2x -3y -9=0 例2已知直线l 经过A (2, 1), B (1, m 2)(m ∈R ) 两点, 那么直线l 的倾角的取值范围是( )
ππππππA . (0, π) B . [0, ] (, π) C . [0, ] D . [, ) (, π) 424422
例3 直线x cos α+3y +2=0的倾斜角的范围是 ( ) πππ5πA .[62∪(2,6] π5πB .[0,6]∪6,π) 5πC .[0,6π5πD .[65例4 若三点A (a, 2) ,B (3,7),C (-2,-9a ) 在同一条直线上,则a 的值为________ 例5 若d =(2,1)是直线l 的一个方向向量,则l 的倾斜角的大小为________(
例6 求适合下列条件的直线方程.
(1)经过点P (3, 2) , 且在两坐标轴上的截距相等;
(2)经过点A (-1, -3) , 倾斜角等于直线y =3x 的倾角的两倍.
例7 △ABC 的三个顶点为A (-3,0) ,B (2,1),C (-2,3) ,求:
(1)BC 边所在直线的方程;
(2)BC 边上的中线AD 所在直线的方程;
(3)BC 边上的垂直平分线DE 的方程.
例8 过点P (2, 1) 作直线l 交x 轴, y 轴的正半轴于A , B 两点, O 为原点. 求
(1)当∆AOB 面积最小时的直线l 的方程; (2)当|OA |+|OB |最小时的直线l 的方程;
(3)当|PA |⋅|PB |最小时的直线l 的方程. )
课后练习三十五 1. x tan
A . -π7+y =0的倾斜角是 ( ) C . π
7
2. 下列命题正确的一个是 ( )
A . 过定点P (x 0, y 0) 的直线可以用方程y -y 0=k (x -x 0) 表示
B . 经过任意两个不同的两点P 1(x 1, y 1) , P 2(x 2, y 2) 的直线都可以用方程
(y -y 1)(x 2-x 1) -(x -x 1)(y 2-y 1) =0表示.
x y C . 不经过原点的直线都可以用方程+=1表示 a b
D . 经过定点A (0, b ) 的直线都可以用y =kx +b 表示
3. 过点(-1, 1) 和(0, 3) 的直线在x 轴上的截距为 ( )
33A . - B . C . 3 D . -3 22
4. 若直线l :y =kx -3与直线2x +3y -6=0的交点位于第一象限, 则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( )
A . [, ) 63 B . π 75π 7D . 6π 7ππB . (, ) 62ππC . (, ) 32ππD . [, ] 62ππ
5. 直线l 经过点P (2, 3) , 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形, 则直线l 的方程是( )
A . x -y +1=0 B . x +y -5=0
C . x -y +1=0或x +y -5=0 D . x -y -1=0
6. 设直线ax +by +c =0的倾角为α, 且sin α+cos α=0, 则a , b 满足 ( )
A . a +b =1 B . a -b =1 C . a +b =0 D . a -b =0
7. 直线(2m 2-5m +2) x -(m 2-4) y +5m =0的倾斜角是π, 则m 的值是 4( )
A . 1 B . 2 C . 3 D . 2或3
8. 经过抛物线y 2=2x 的焦点且平行于直线3x -2y +5=0的直线l 的方程是( )
A .6x -4y -3=0 B .3x -2y -3=0 C .2x +3y -2=0 D .2x +3y -1=0
9. 直线x cos θ+y +2=0的倾斜角的取值范围是__________. 10. 已知直线l 经过点(2, 3) , 它的一个方向向量是a =(4, -3) , 则该直线的方程是_____.
11. 已知直线过点P (1,5),且在两坐标轴上的截距相等,则此直线的方程为________.
12. 直线l 经过点P (3,2)且与x ,y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点,△OAB 的面积为
12,求直线l 的方程.
第二节 两条直线的位置关系
教学目标要求:
1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.
2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.
一. 两条直线的平行的判定.
(1)如果直线l 1, l 2的方程为l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2则l 1//l 2⇔k 1=k 2且b 1≠b 2;
(2)如果l 1, l 2的方程为l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0, (A 2B 2C 2≠0) , A B C 则l 1//l 2⇔1=1≠1. A 2B 2C 2
二. 两直线垂直的判定
(1) 如果直线l 1, l 2的方程为l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2则l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1;
(2)如果l 1, l 2的方程为l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0, 则l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0.
〖重要提示〗解析几何中, 两条直线的位置关系有平行, 相交, 重合三种, 判定两条直线平行或重合时, 要注意斜率不存在这种特殊的情况.
三. 两直线的交点
(1)两条不平行的直线l 1, l 2的方程为l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,
⎧A x +B 1y +C 1=0那么它们的交点的坐标是方程组⎨1的解.
⎩A 2x +B 2y +C 2=0
(2)经过两直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线的方程可以写成A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2) =0(其中不包括l 2). 反之方程A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2) =0表示的直线一定过两直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的交点,但不包括直线l 2。
四. 点到直线的距离公式
|Ax 0+By 0+C |(1)点P (x 0, y 0) 到直线l :Ax +By +C =0的距离为d =. 22A +B
特别地:点P (x 0, y 0) 到直线l :x =a 的距离是d =|x 0-a |;
点P (x 0, y 0) 到直线l :y =b 的距离是d =|y 0-b |.
(2)两条平行直线l 1:Ax +By +C 1=0, l 2:Ax +By +C 2=0的距离d =|C 1-C 2|
A +B 22.
五. 关于点成中心对称,或关于特殊的直线成轴对称问题
(1)称定义, 对称轴即为两对称点连线的垂直平分线, 即有:①它们的中点在对称轴上; ②过这两点的直线的斜率与对称轴的斜率互为负倒数. 若设点P (x 0, y 0) 关于直线
⎧y '-y 0⋅k =-1l ⎪⎪x '-x 0. y =kx +b 的对称点为P '(x ', y ') , 则有⎨A '''y +y x +x ⎪00=k ⋅+b B ⎪2⎩2特别地,如果对称轴是x 轴,y 轴,y =±x 或与x 轴,y 轴,
y =±x 平行的直线,可以用替换的方法求对称点的坐标。 A
(2)一条直线l 外的两点A , B , A 点关于l 的对称点为A '.
①如果A , B 在直线l 的两侧, 则l 与AB 的交点P 是l 上到l A , B 距离的和取最小值的点; l 与A 'B 的交点Q 是l 上到A , B 距A 离的差取最大值的点. B ②如果A , B 在直线l 的同侧, 则l 与A 'B 的交点Q 是l 上到A , B 距离的和取最小值的点; l 与AB 的交点P 是l 上到A , B 距离A '的差取最大值的点.
例1 直线2x -y +3=0关于直线y =x +2对称的直线的方程是 ( )
A . x -2y +3=0 B . x -2y -3=0 C . x +2y +3=0 D . x +2y -3=0
例2 以点A (1, -1) 为对称中心,直线2x +3y -6=0关于A 对称的直线方程是
( )
A . 3x -2y +2=0 B . 2x +3y +7=0 C . 3x -2y -12=0 D . 2x +3y +8=0 例3 如图所示,已知A (4,0)、B (0,4),从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上,最后经直线OB 反射后又回到P 点,则光线所经过的路程是( )
A .210 B .6
C .3 D .25
作P 关于AB 对称的点P 关于y 轴对称的点P 2,则线段P 1P 2的1,
长为所求
例4 如果直线l 1:x +m 2y +12=0和l 2:(m -2) x +3my +4m =0平行, 求m 的值.
【解】由它们的法向量平行, 得3m -m 2(m -2) =0, 解得m =0, -1, 3, 经验证, 当m =0, -1时, 符合题意.
例5 若直线ax +2y +1=0与直线x +(a -1) y +a =0垂直, 则a =________
例6 已知直线l :x -2y +3=0, 求下列直线的方程.
(1)过点P (2, 3) 且与直线l 平行;
(2)过点M (1, -1) 且与直线l 垂直;
(3)与l 平行, 且与l 的距离等于2;
例7 求经过直线l 1:3x +2y -1=0和l 2:5x +2y +1=0的交点,且垂直于直线l 3:3x -5y +6=0的直线l 的方程
例8 求过点P (-1, 2) 且与点A (2, 3) 和B (-4, 5) 的距离相等的直线的方程.
【解】方法一(设参数法):①当直线的倾斜角为90︒时, 明显直线x =-1符合条件; ②当直线的倾斜角不为90︒时, 设其斜率为k , 其点斜式方程为y -2=k (x +1) . 整
|3k -1||-3k -3|理得kx -y +k +2=0. 所以由条件得: =22k +1k +1
1解得k =-. 所以所求直线的方程为x +3y -5=0. 3
综上, 所求直线为x =-1或x +3y -5=0
方法二(结合图形位置分析):
①直线经过AB 中点, 得x =-1;
②直线与AB 中平行, 得x +3y -5=0.
课后练习三十六
1. 如果直线x +(1+m ) y +m -2=0与2mx +4y +16=0平行, 则m 等于 ( )
A . 1 B . -2 C . 1或-2 D . -1或2
2. 方程(a -1) x -y +2a +1=0所表示的直线 ( )
A . 恒过点(-2, 3) B . 恒过点(2, 3) C . 恒过点(2, 3) 和(2, 3) D . 都是平行直线
的点的集合是 ( ) 5
A . 直线2x +y -2=0 B . 直线2x +y =0
C . 直线2x +y -2=0 D . 直线2x +y +2=0或直线2x +y =0 或直线2x +y =0
4. 点P (x , y ) 到直线5x -12y +13=0和直线3x -4y +5=0的距离相等,则点P 的坐标应满足 ( )
A . 32x -56y +65=0 或7x +4y =0 B . 7x +4y =0
C . x -4y +4=0或4x -8y +9=0 D . x -4y +4=0
5. 若直线x +ay -a =0与直线ax -(2a -3) y -1=0相互垂直, 则a 的值是 ( )
A . 2 B . -3或1 C . 2或0 D . 1或0
6. 设a ∈R ,则“a =1”是直线l 1:ax +2y =0与直线l 2 :x +(a +1) y +4=0平行的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 直线mx +4y -2=0与2x -5y +n =0垂直,垂足为(1,p ) ,则n 的值为 ( )
A .-12 B .-2 C .0 D .10
8. 已知点A (1, 2) , B (3, 1) , 则线段AB 的垂直平分线的方程是 ( ) 3. 到直线2x +y +1=0的距离为
A . 4x +2y =5 B . x +2y =5 C . 4x -2y =5 D . x -2y =5
9. 已知直线x +ay -a =0与ax -(2a -3) y -1=0平行, 则a =__________.
10. 已知直线l 1:y =2x -1, l 2:3x +y -2=0, 则l 2到l 1的角为____________.
π11. 经过直线3x +2y +6=0和2x +5y -7=0的交点, 且倾斜角为的直线的方程是__ 4
12. 点P 是曲线y =x 2-ln x 上任意一点,则点P 到直线y =x +2的最小距离为_________.
第三节 圆的方程
教学目标要求:
1.掌握圆的标准方程和圆的一般式方程及其两种方程的互化;
2.能根据适当的条件求圆的方程;
3.了解点与圆的位置关系。
一. 圆的定义
平面内与定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆.
二. 圆的方程
1. 圆的标准方程
圆心为C (a , b ) 半径为r 的圆的标准方程为(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2. 特殊地:圆心在圆点, 半径为r 的圆的标准方程是x 2+y 2=r 2.
2. 圆的一般方程
(1)二次方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2-4F >0) 叫做圆的一般方程. 其中D E 圆圆心为(-, -) , 半径是r =22D 2+E 2-4F . 2
(2)二元二次方程Ax 2+By 2+Cxy +Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件是⎧A =B =1⎪ ⎨C =0
⎪D 2+E 2-4F >0⎩
三. 点与圆的位置关系
判断一个点A (x 0,y 0) 与一个圆C :(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2的位置关系,可利用下列方法:
1.几何法:
|AC |
|AC |=r ⇔点A 在圆上;
|AC |>r ⇔点A 在圆外.
2.代数法:
(x 0-a ) 2+(y 0-b ) 2
(x 0-a ) 2+(y 0-b ) 2=r 2⇔点A 在圆上;
(x 0-a ) 2+(y 0-b ) 2>r 2⇔点A 在圆外.
例1 过点A (1,-1) ,B (-1,1) ,且圆心在直线x +y -2=0上的圆的方程是( )
A .(x -3) 2+(y +1) 2=4 B .(x +3) 2+(y -1) 2=4
C .(x -1) 2+(y -1) 2=4 D .(x +1)2+(y +1) 2=4
例2 圆x 2+y 2-2x +6y +5a =0关于直线y =x +2b 成轴对称图形,则a -b 的取值
范围是 ( )
A .(-∞,4) B .(-∞,0) C .(-4,+∞) D .(4,+∞) 例3 从原点O 引圆(x -m ) 2+(y -3) 2=m 2+4的切线y =kx ,当m 变化时,切点P 的轨迹方程是 ( )
22A .x +y =4(x ≠0) B .(x -3)2+y 2=4(x ≠0)
C .(x -1) 2+(y -3) 2=5(x ≠0) D .x 2+y 2=5(x ≠0)
例4点P (4,-2) 与圆x 2+y 2=4上任一点连线的中点轨迹方程是 ( )
A .(x -2) 2+(y +1) 2=1 B .(x -2) 2+(y +1) 2=4
C .(x +4) 2+(y -2) 2=4 D .(x +2) 2+(y -1) 2=1
例5 若方程a 2x 2+(a +2) y 2+2ax +a =0表示圆,则a 等于________.
例6 若圆上点A (2,3)关于直线x +2y =0的对称点仍在圆上,且圆与直线x -y +1=0相交的弦长为22,求圆的方程.
例7已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2-4x +1=0.
y (1)求x (2)求y -x 的最大值和最小值;
(3)求x 2+y 2的最大值和最小值.
课后练习三十七
1.以抛物线y 2=4x 的焦点为圆心,半径为2的圆的方程为 ( ) A .x 2+y 2-2x -1=0 B .x 2+y 2-2x -3=0 C .x 2+y 2+2x -1=0 D .x 2+y 2+2x -3=0 2.已知圆C :x 2+y 2-4x =0,l 过点P (3,0)的直线,则 ( ) A .l 与C 相交 B .l 与C 相切 C .l 与C 相离 D .以上三个选项均有可能 3.已知点A (1,-1) ,B (-1,1) ,则以线段AB 为直径的圆的方程是 ( ) A .x 2+y 2=2 B .x 2+y 22 C .x 2+y 2=1 D .x 2+y 2=4 4.已知圆C 1:(x +1) 2+(y -1) 2=1,圆C 2与圆C 1关于直线x -y -1=0对称,则圆C 2的方程为 ( ) A .(x +2) 2+(y -2) 2=1 B .(x -2) 2+(y +2) 2=1 C .(x +2) 2+(y +2) 2=1 D .(x -2) 2+(y -2) 2=1 5.若实数x ,y 满足x 2+y 2-2x +4y =0,则x -2y 的最大值为 ( ) A. 5 B .10 C .9 D .5+25
6.点M ,N 在圆x 2+y 2+kx +2y -4=0上,且点M ,N 关于直线l :x -y +1=0对称,则该圆的半径为 ( ) A .22 B. 2 C .3 D .1 7. 过A (1, -1), B (-1, 1) 且圆心在x +y -2=0上的圆的方程是 ( ) A . (x -3) 2+(y +1) 2=4 B . (x +3) 2+(y -1) 2=4 C . (x -1) 2+(y -1) 2=4 D . (x +1) 2+(y +1) 2=4 9. 当圆x 2+y 2+2ax -2ay +3a 2-2a -1=0面积最大时, 圆在x 轴上截得的弦长为( )
A . 1 B . 2 C . 2 D . 4
10.设P (x ,y ) 是圆x 2+(y -1) 2=1上的动点,若不等式x +y +c ≥0恒成立,则c 的取值范围为 ( ) A .[-122-1] B .[2-1,+∞) C .[-12,2-1) D .(-∞,-1-2] 11.过点A (4,1)的圆C 与直线x -y -1=0相切于点B (2,1),则圆C 的方程为________.
12.圆(x +2) 2+y 2=5关于原点P (0,0)对称的圆的方程为________.
13.若圆C 的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x -3y =0和x 轴都相切,则该圆的标准方程是________.
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
教学目标要求:
1. 能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系. 2.能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系. 3.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 一. 直线与圆的位置关系
1. 如果直线l 与圆(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2的距离为d . ①d >r ⇔直线l 与圆相离; ②d =r ⇔直线l 与圆相切; ③d
①如果将直线方程y =kx +m 代入到圆的方程并化简, 得关于x 的一圆二次方程
ax +bx +c =0, 其别判式∆=b -4ac . 则弦长|AB |=
2
2
(1+k 2) ∆
.
|a |
②如果圆心到直线的距离(弦心距) 为d , 则弦长|AB |=2r 2-d 2. 3. 求过点P (x 0, y 0) 且与圆x 2+y 2+Dx +Ey +F =0的切线的方程.
(1)若点P (x 0, y 0) 在圆x 2+y 2+Dx +Ey +F =0上, 则用x 0x 换x 2, 用y 0y 换y 2, 用
x 0+x y +y
换x , 用0换y 即得切线方程.
22
特别地, 过圆x 2+y 2=r 2上一点P (x 0, y 0) 的切线方程为x 0x +y 0y =r 2 (2)若点P (x 0, y 0) 在圆x 2+y 2+Dx +Ey +F =0外, 则分两种情况求解:
①验证直线x =x 0是否与圆相切, 若相切, 则直线x =x 0为其中一条直线.
D E
, -) 到直线y -y 0=k (x -x 0) 22
的距离等于圆的半径r 建立方程, 求出k 即求得切线方程. 二. 圆与圆的位置关系
②设切线的方程来y -y 0=k (x -x 0) , 按照圆心(-
1. 如果两圆的半径分别是r 1和r 2, 且r 1≥r 2; 两圆的圆心距为d . (1)d >r 1+r 2⇔两圆相离; (2)d =r 1+r 2⇔两圆外切;
(3)r 1-r 2
2. 当两圆相交时, 将两圆都化成标准方程,然后两式相减,可得公共弦所在直线方程.
例1 圆心为(1, 2) 且与直线5x -12y -7=0相切的圆的方程是_________________. 例2由直线y =x +1上的一点向圆x 2+y 2-6x +8=0引切线,则切线长的最小值为________
例3 若直线ax +by =1与圆x 2+y 2=1相交, 则点(a , b ) 的位置为
A . 在圆内
B . 在圆外
C . 在圆上
( )
D . 不能确定
例4 如果直线x -y +m =0与圆x 2+y 2-2x -2=0相切, 则实数m 等于( )
A .
或- B . 33或- C . 或-33 D . 或-3
例5 圆x 2+2x +y 2+4y -3=0上, 到直线x +y +1=0的距离为22的点共有___个
例6 求经过点(2, 4) , 与圆x 2+y 2-4x =0相切的直线的方程.
课后练习三十八
1.设m >0,则直线2(x +y ) +1+m =0与圆x 2+y 2=m 的位置关系为 ( ) A .相切 B .相交 C .相切或相离 D .相交或相切 2.直线x +3y -2=0与圆x 2+y 2=4相交于A ,B 两点,则弦AB 的长度等于( ) A .25 B .23 3 D .1
3.若直线x -y +1=0与圆(x -a ) 2+y 2=2有公共点,则实数a 的取值范围是( ) A .[-3,-1] B .[-1,3] C .[-3,1] D .(-∞,-3]∪[1,+∞) 1. 圆O 1:x 2+y 2-2x =0和圆O 2:x 2+y 2-4x =0的位置关系是 ( ) A . 相离 B . 相交 C . 外切 D . 内切 4. 设直线l 过点(-2, 0) , 且与圆x 2+y 2=1相切, 则l 的斜率是 ( )
13
C . ±
23
5. 圆x 2+y 2-4x =0在点P (1, ) 处的切线的方程是 A . ±1
B . ±
A . x +3y -2=0
B . x +3y -4=0
C . x -y +4=0
D . ±3
( )
D . x -3y +2=0
6. 已知圆(x -a ) 2+(y -2) 2=4(a >0) 及直线x -y +3=0, 当直线被圆截得的弦长为( ) 23时, 则a 等于
A . 2 B . 2-2 C . 2-1 D . 2+1
7. 从圆x 2+y 2-2x -2y +1=0外一点P (3, 2) 向这个圆作两条切线, 则两条切线的夹角的余弦值为 ( ) 133A . B . C . D . 0 252
8. x 2+y 2-4x -4y -10=0上的点到直线x +y -14=0的最大值与最小值的差是( )
A . 36 B . 18 C . 62 D . 52
10. 直线x +2y =0被曲线x 2+y 2-6x -2y -15=0所截得的弦长等于_____________.
11. 若直线y =x +k 与曲线x =-y 2恰有一个公共点, 则k 的取值范围是_________.
⎧x =cos θ
12. 如果曲线⎨与直线x +y +a =0有公共点, 那么a 的取值范围是_______
y =-1+sin θ⎩
13. 已知两圆x 2+y 2-10x -10y =0,x 2+y 2+6x -2y -40=0,则它们的公共弦所在直线的方程为_________;公共弦长为________.
第五节 椭圆
教学目标要求:
1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 2.理解数形结合的思想. 3.了解椭圆的简单应用. 一. 椭圆的定义和方程 (1)椭圆的定义:
①平面内与两个定点F 1, F 1的距离的和等于常数2a (2a >|F 1F 2|)的点的轨迹, 叫做椭圆, 这两个定点叫做椭圆的焦点, 两交点的距离(2c =|F 1F 2|)叫做椭圆的焦距.
〖特别提示〗如果2a =|F 1F 2|, 则该轨迹是线段F 1F 2, 如果2a
a 2
②平面内到定点F (c , 0) 和它到定直线l :x =的距离的比为常数e (0
c
的轨迹是椭圆, 定点是椭圆的一个焦点, 定直线是椭圆的一条准线, 常数e 叫做椭圆的离心率.
(2)椭圆的方程
x 2y 2
①中心在坐标原点, 焦点在x 轴上的椭圆的标准方程是2+2=1(a >b >0) .
a b y 2x 2
②中心在坐标原点, 焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是2+2=1(a >b >0) .
a b
③椭圆的方程的一般表示:Ax 2+By 2=1(A >0, B >0, A ≠B ) .
⎧x =a cos θ
④椭圆的参数方程:⎨(θ为参数).
y =b sin θ⎩
三. 椭圆中的重要结论
2a 2
①椭圆的两准线的距离:MN =;
c
2b 2
②过椭圆焦点, 与长轴垂直的弦长(通径公式):AB =;
a
b 2
③椭圆的焦点到相应准线的距离:p =;
c
c b 2
④椭圆的离心离e ==-2;
a a
⑤椭圆上一点到两焦点所成的角中, 短轴上的端点到两焦点所成的角最大. ⑥椭圆上到焦点距离的最大值为a +c , 最小值为a -c . ⑦椭圆的内接矩形的最大面积是2ab .
x 2y 2x 2y 2
+2=1(λ>-b 2) . ⑧与椭圆2+2=1同焦点的椭圆的方程可以设为2
a b a +λb +λ
x 2y 2
⑨经过2+2=1的焦点的弦被焦点分成的两条焦半径的长分别是
a b ep ep b 2
|AF |=, |BF |=, 其中θ是直线的倾斜角, p =, e 是离心率.
1-e c o θs 1+e cos θc 三. 椭圆的简单的几何性质(2
22) x 2
+y 2=1上, 顶点A 是椭圆的一个焦点, 且椭圆例1 已知∆ABC 的顶点B , C 在椭圆3
的另一个焦点在边BC 上, 则∆ABC 的周长是. ( )
A . 2 B . 6 C . 43 例2 椭圆5x 2+ky 2=5的一个焦点是(0,2),那么k 为
5 B .-5
2
D . 12
( )
D .-1
C .1
x y 1
例3 如图所示,椭圆a +b =1(a >b >0)的离心率e =2,左焦点为F ,A 、B 、C 为其三个顶点,直线CF 与AB 交于D 点,则tan ∠BDC 的值等于 ( ) A .33 B .-3
-33
C. 5 D. 5x 2y 2
例4 椭圆a +b =1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ,B ,左、右焦点分别是F 1,F 2. 若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B |成等比数列,则此椭圆的离心率为________.
例5 在给定椭圆中, 过焦点且垂直于长轴的弦长为2, 焦点到相应准线的距离为1, 则该椭圆的离心率为
122
A . 2 B . C . D .
224
例6 过点M (-2, ) 和N (1, 23) 的椭圆的标准方程是_________________.
例7 如果x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆, 则k 的取质范围是____________.
x 2y 2
例8椭圆+1的左焦点为F ,直线x =m 与椭圆相交于点A 、B ,当△F AB 的
43
周长最大时,△F AB 的面积是________.
例9 与圆C 1:(x +3) 2+y 2=1外切, 且与圆
C 2:(x -3) 2+y 2=81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为
______________.
x 2y 2+=1上一点P 到右准线的距离例10 已知椭圆
10036
为20,则它到左准线的距离是________________.
x 2y 2例11 已知椭圆2+2=1(a >b >0) 的离心率为,
2a b
过左焦点F 且斜率为k (k >0) 的直线与椭圆相交于A , B 两点, 若AF =3FB , 则k =________
x 2y 2
例12 已知点P 为椭圆2+2=1(a >b >0) 上一点, F 1, F 2分别为椭圆的左, 右焦
a b
点, 求|PF 1||PF 2
|的最大值与最小值
.
课后练习三十九
x 2
+y 2=1的两个焦点为F 1, F 2, 过F 1, F 2作垂直于x 轴的直线与椭圆相交, 一个交1. 椭圆4
点为P , 则|PF 2等于 ( ) 7B . C . D . 4
22
x 2y 2
+=1的焦点为F 1和F 2, 点P 在椭圆上, 如果线段PF 2. 椭圆1的中点在y 轴上, 那123
( ) |PF 1|是|PF 2|的
A . 7倍 B . 5倍 C . 4倍 D . 3倍
x 2y 2
=1(m >1) 上一点P 到其左焦点的距离为3, 到右焦点的距离为1, 3. 设椭圆2+2
m m -1
则点P 到右准线的距离为 ( )
127
A . 6 B . 2 C . D .
27
4. 已知F 1和F 2是椭圆的两个交点, 过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A , B 两点, 若
( ) ∆ABF 2是正三角形, 则这个椭圆的离心率是 A .
22B . C . D .
3322x 2y 2x 2y 2
+=1(k
A . 长, 短轴相等 B . 焦距相等 C . 离心率相等 D . 准线相同
6. 过椭圆3x 2+4y 2=48的左焦点引斜率为1的直线交椭圆于A , B 两点, 则|AB |=______ A .
x 2y 2
7. 设F 1和F 2是椭圆2+2=1(a >b >0) 的左, 右焦点, P 是其右准线上纵坐标为
a b
c (c 为半焦距) 的点, 且|F 1F 2|=|PF 2|, 则此椭圆的离心率是_________
x 2y 2
+=1的两个焦点, 过F 1的直线交椭圆于A , B 两点, 若8. 已知F 1, F 2为椭圆
259
|F 2A |+|F 2B |=12, 则|AB |=___________.
x 2y 2
+=1的长轴的两个端点, P 是椭圆C 上的动点, 且9. 已知A , B 为椭圆C :
m +1m 2π
∠APB 的最大值是, 则实数m 的值是______________.
3
x 2y 2
+=1截得的线段的中点, 则l 的方程是_________. 10. 若点M (4, 2) 是直线l 被椭圆
369
第六节 双曲线及其标准方程
教学目标要求:
1. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道双曲线的简单几何性质. 2.理解数形结合的思想.
一. 双曲线的定义和方程 (1)双曲线的定义:
①平面内与两个定点F 1, F 1的距离的差的绝对值等于常数2a (0
Ⅰ如果定义中去掉条件“绝对值”,得到的曲线只是双曲线的一支; Ⅱ如果常数2a =|F 1F 2|, 得到的图形是两条射线;
Ⅲ如果常数2a =0, 得到的是线段F 1F 2的垂直平分线; Ⅳ如果2a >|F 1F 2|, 则轨迹没有任何图形.
a 2
②平面内到定点F (c , 0) 和它到定直线l :x =的距离的比为常数e (e >1) 的点的轨
c
迹是双曲线, 定点是双曲线的一个焦点, 定直线是双曲线的一条准线, 常数e 叫做双曲线的离心率.
(2)双曲线的方程
x 2y 2
①中心在坐标原点, 焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是2-2=1(a >0, b >0) .
a b y 2x 2
②中心在坐标原点, 焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是2-2=1(a >0, b >0) .
a b
22
③双曲的方程的一般表示:Ax +By =1(AB
2a 2
①双曲线的两准线的距离:MN =;
c
2b 2
②过双曲线焦点, 与实轴垂直的弦长(通径):AB =;
a
b 2
③双曲线的焦点到相应准线的距离:p =;
c
c b 2
④双曲线的离心离e ==+2;
a a
⑤双曲线上到焦点距离的最小值为c -a .
x 2y 2x 2y 2
⑥与双曲线2-2=1有相同渐近线的双曲线是2-2=k (k ≠0) .
a b a b x 2y 2x 2y 2
⑦双曲线2-2=k 的两条渐近线的方程是2-2=0, 反之也成立.
a b a b
x 2y 2
⑧经过2+2=1的焦点的弦被焦点分成的两条焦半径的长分别是
a b ep ep b 2
|AF |=, |BF |=, 其中θ是直线的倾斜角, p =, e 是离心率.
1-e c o θs 1+e cos θc
⑨等轴双曲线的离心率是2, 两条渐近线互相垂直, 反之也成立. 三. 双曲线的简单的几何性质(2
22) A . 双曲线 B . 双曲线的右支 C . 一条直线 D . 一条射线
x 2y 2
-=1上有一点P 到左准线的距离是4. 5, 那么P 点到左焦点的距例2 双曲线
916
离为 ( ) A . 7. 5 B . 13. 5 C . 1. 5 D . 1. 5或13. 5
y 22
=1的焦点为F 1, F 2, 点M 在双曲线上, 且MF 1⋅MF 2=0, 则例3 已知双曲线x -2
点M 到x 轴的距离为 ( )
4523A . B . C . D . 3 333
x 2y 2
例4 已知双曲线2-2=1(a >0, b >0) , 若过右焦点F 且倾角为30︒的直线与双
a b
曲线的右支有两个交, 则此双曲线的离心率的取值范围是 ( )
232C . [2, +∞) D . (, +∞) )
33
x 2y 2
例5例9 若双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的两个焦点到一条准线的距离之比为
a b
3:2, 则双曲线的离心离是 ( ) A . 3 B . 5 C . 3 D . 5
22x y
例6 若双曲线-=1的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心
a b
率为 ( ) A. 5 B .5 C. 2 D .2
例7 已知F 1,F 2为双曲线C :x 2-y 2=2的左右焦点,点P 在C 上,|PF 1|=2|PF 2|,则cos ∠F 1PF 2= ( )
1334A. 4 B. 5 C. 4 D. 5x 2y 2
例8 若双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的两个焦点到一条准线的距离之比为3:2,
a b
则双曲线的离心离是 ( ) A . 3 B . 5 C . 3 D . 5
x 2y 2
例9已知过点P (-2,0) 的双曲线C 与椭圆25+9=1有相同的焦点,则双曲线C 的渐近线方程为________.
x 2y 2
-=1有且只有一个公共点的直线的条数是______. 例10过点P (3, 4) 与双曲线
916
x 22
例11 过点(2,-2) 且与双曲线2y =1有公共渐近线的双曲线方程是________. 例12 已知定圆C 1:(x +3) 2+y 2=16和C 2:(x -3) 2+y 2=4, 动圆C 和C 1, C 2都外切, 则动圆圆心C 的轨迹方程为___________________.
例13 双曲线xy -1=0的焦点的坐标是_________________.
y 22
例14 已知双曲线x -4=1,直线l :y =x +m 分别交双曲线的两条渐近线于A 、B
A . (1, 2)
B . (1,
两点.当OA ⋅OB =3时,求实数m 的值. 例15 已知双曲线16x 2-9y 2=144, F 1F 2是左右焦点, 点P 在双曲线上, 且|PF 1||PF 2|=32, 求∠F 1PF 2。
课后练习四十
x 2y 2
-=1上一点P 到右焦点的距离是, 那么点P 到右准线的距离是( ) 1. 双曲线
1312135A . B . 13 C . 5 D . 5132. 若双曲线的渐近线为y =±x , 则它的离心率可能是 ( ) A .
B . 2 C .
2或2 3
D .
23
或 3
3. 与方程(x +5) 2+y 2-(x -5) 2+y 2=6等价的方程是
x 2y 2A . -=1 916
( )
y 2x 2x 2y 2y 2x 2B . C . -=1(x >0) D . -=1(y >0) -=1
916916916
x 2y 2
-=1的焦点, 点P 在双曲线上. 若点P 到焦点F 1的距离等于9, 则4. F 1, F 2是双曲线
1620
点P 到焦点F 2的距离等于 ( ) A . 17 B . 1 C . 17或1 D . 2
x 2y 2
-=1上, 若F 1, F 2为双曲线的两个焦点, 且|PF 1|:|PF 2|=1:3, 则5. 设点P 在双曲线
916
( ) ∆F 1PF 2的周长等于
A . 22 B . 16 C . 14 D . 12
x 2y 2
6. 双曲线2-2=1的左, 右焦点分别为F 1, F 2, 过F 1作倾斜角为30︒的直线交双曲线的
a b
右支于点M , 若MF 2垂直于x 轴, 则双曲线的离心率为 ( )
3
2222
7. 已知圆C 1:(x +3) +y =1和圆C 2:(x -3) +y =9,动圆M 同时与圆C 1及圆C 2
相外切,则动圆圆心M 的轨迹方程为________.
2
8. 一条渐近线是y =x , 且过点P (3, 1) 的双曲线的标准方程是__________.
3
16
9. 焦点在y 轴上, 且过点P 1(-3, 42), P 2(, -) 的双曲线的标准方程是___________.
3
10. 离心率e =2的双曲线的两条渐近线的夹角是____________.
x 2y 2
11. 已知F 1, F 2为双曲线2-2=1的两个焦点, 以线段F 1F 2为边作正∆MF 1F 2, 若边
a b
MF 1的中点在双曲线上, 则双曲线的离心率是_________ A .
6 B . 3 C . 2 D .
12. 已知双曲线的渐近线方程为2x ±3y =0,且双曲线过点P (6,2) ,则其方程为_______
x 2y 2
-=1的两个焦点, 点P 在双曲线上, 且满足∠F 1PF 2=90︒, 则13. 设F 1, F 2为双曲线44
∆F 1PF 2的面积是__________________.
第七节 抛物线及其标准方程
教学目标要求:
1. 理解抛物线的定义、几何图形和标准方程,知道抛物线的简单几何性质. 2. 理解数形结合的思想.
1. 抛物线的定义
平面内与一个定点F 和不经过该点的定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点叫做抛物线的焦点, 定直线叫做抛物线的准线.
2. 抛物线的标准方程及几何性质. 其中p (p >0) 是焦点到准线的距离
例1 抛物线y =ax 2的准线方程是y =2, 则a 的值为 ( ) 11A . B . - C . 8 D . -8 88
例2 若点P 到直线x =-1的距离比它到点(2, 0) 的距离小1, 则点P 的轨迹方程是__________________.
例3 已知点P 在抛物线y 2=4x 上, 那么点P 到点Q (2, -1) 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时, 点P 的坐标为 ( ) 11A . (, -1) B . (, 1)
44
C . (1, -2) D . (1, 2)
例4 设O 为坐标原点, F 为抛物线y 2=4x 的焦点, A 为抛物线上一点, 若
⋅=-4, 则点A 的坐标为
A . (2, ±22)
B . (1, ±2)
C . (1, 2)
D . (2, 22)
( )
例5已知点P (2,y ) 在抛物线y 2=4x 上,则P 点到抛物线焦点F 的距离为( ) A .2
B .3
C. 3
D. 2
例6 已知抛物线y 2=2px (p >0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点,若线段AB 的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为 ( ) A .x =1 B .x =-1 C .x =2 D .x =-2
p p
例7 已知定F (0, ) ,和定直线l :x =-(p >0) ,M 是直线l 上的动点,过M 与
22
l 垂直的直线与线段FM 的中垂线相交于点Q ,则点Q 的轨迹的方程是例8 已知AB 是抛物线y 2=2px (p >0) 的焦点弦, 且A (x 1, y 1) , B (x 2, y 2) , 直线AB 的倾斜角为a , M 是AB 的中点, l 是抛物线的准线, MN ⊥l , 垂足为N , F 是抛物线的焦点. 求证:
(1)AN ⊥BN ;
(2)FN ⊥AB ;
(3)若MN 交抛物线于点Q , 则Q 平分MN ;
p 2(4)y 1y 2=-p ; x 1x 2=; 4
112+= (5)
|AF ||BF |p
2p
(6)|AB |=
sin 2αp 2
(7)S ∆AOB =
2sin α
【证明】(1)作AC ⊥l 于点C ,作BD ⊥l 于点D . 在直角梯形ABDC 中, AF =AC , BF =BD ,
111
∴MN =(AC +BD ) =(AF +BF ) =AB
222
即NM =AM =BM , 所以点N 在以AB 为直径的圆上. 所以∠ANB =90︒, AN ⊥BN .
(2) AM =MN , ∴∠ANM =∠MAN . 又∠CAN =∠ANM , ∴∠CAN =∠FAN . ∴∆CAN ≌∆FAN .
∴∠NFA =∠NCA =Rt ∠, NF ⊥AB .
2
(3) QF =QN , ∴∠QNF =∠QFN .
∴∠QMF =90︒-∠QNF =90︒-∠QFN =∠QFM . ∴QM =QF =QN , Q 平分MN . (4)①当AB ⊥Ox 时, 结论显然成立;
p
) , 联立y 2=2px , 消去x 得2
ky 2-2py -kp 2=0(k ≠0) . 所以由韦达定理得y 1y 2=-p 2.
②当AB 不垂直于Ox 时, 可设AB 的方程为y =k (x -
2
2
y 1y 2(y 1y 2) 2p 2
所以x 1x 2=. ⋅==2
2p 2p 44p
x 1+x 2+p 1111
+=(5) =+2
p p |AF ||BF |p p x 1+x 2+x 1x 2+(x 1+x 2) ⋅+
2224
x 1+x 2+p x 1+x 2+p x 1+x 2+p 2==2==
p p p p p 2p p 2
(x 1+x 2+p ) ⋅+(x 1+x 2) ⋅+(x 1+x 2) ⋅+
242422
p
(6) AF =x 1+ ············································································· ①
2
p
AF cos θ=x 1- ········································································· ②
2
p
由①-②得AF (1-cos θ) =p , AF =.
1-cos θ
p
同里BF =.
1-cos θ
p p 2p 2p
+==所以AB =AF +BF =. 22
1-cos θ1+cos θ1-cos θsin θ
1p
(7)S ∆AOB =OF ⨯(|y 1|+|y 2|)=(AF sin θ+BF sin θ)
24
p 2sin θ11p 2sin θ2p 2=(+) =⨯= 2
41-cos θ1+cos θ4sin θ2sin θ
课后练习四十一
1. 在抛物线y 2=2px 上,横坐标为4的点,到焦点的距离为5,则p 的值为 ( )
1A . B . 1 C . 2 D . 4 2
2. 顶点在原点, 关于坐标轴对称, 且过点(2, -3) 的抛物线方程是 ( )
9494
A . y 2=x B . x 2=-y C . y 2=x 或x 2=-y D . 都不是
2323
3. 到定点F (1, 2) 与到直线l :x -y +1=0的距离相等的点的轨迹是 ( ) A . 抛物线 B . 双曲线 C . 直线 D . 圆
4. 圆心在抛物线x 2=-8y 上的动圆, 恒与直线y -2=0相切, 则动圆必过定点 ( )
A . (4, 0)
B . (0, -4)
C . (2, 0)
D . (0, -2)
5. 已知AB 是过抛物线x 2=y 焦点的弦, 且|AB |=4, 则AB 中点到直线y +1=0的距离是 ( ) 511A . B . 2 C . D . 3 24
6. 过抛物线y 2=8x 的焦点, 倾斜角为45︒的直线被抛物线截得的弦长为 ( ) A . 12 B . 16 C . 14 D . 10
11
7. 过抛物线y =ax 2(a >0) 的焦点F 作一直线交抛物线于P , Q 两点, 则+=( )
PF QF
14
A . 2a B . C . 4a D .
2a a
8. 抛物线y =-x 2上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是 ( )
478A . B . C . D . 3 355
9. 从抛物线y 2=4x 上一点P 引抛物线准线的垂线,垂足为M ,且|PM |=5,设抛物线的焦点为F ,则△MPF 的面积为 ( ) A .5 B .10 C .20 15
10已知直线l :y =k (x -2)(k >0)与抛物线C: y 2=8x 交于A ,B 两点,F 为抛物线C 的焦点,若|AF |=2|BF |, 则k 的值是 ( ) 122A. 3 B. 3 C .2 D. 49. 若点P 到直线y =-1的距离比它到点(0, 3) 的距离小2, 则点P 的轨迹方程_______. 11. 过点Q (4, 1) 作抛物线y 2=8x 的弦AB , 若AB 恰好被点Q 平分, 则直线AB 的方程是________. 12. 已知直线x -y -1=0与抛物线y =ax 2相切, 则a =___________.
13. 抛物线的顶点在坐标原点, x 轴为对称轴, 抛物线上一点R 与焦点F 连线的中点为
M (-5, 4) , 求抛物线的方程.
第八节 曲线与方程
1. 曲线的方程与方程的曲线的定义
在直角坐标系中, 如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x , y ) =0的实数解建立了如下关系:
①曲线上的每一点的坐标, 都是这个方程的解;(纯粹性) ②以这个方程的解为坐标的点都在这条曲线上.(完备性)
那么这个方程叫做曲线的方程, 这条曲线就叫做这个方程的曲线. 2. 平面解析几何研究的主要问题
通过研究方程的性质, 间接地研究曲线性质的方法叫做解析法(就是借助于坐标系来研究几何图形的方法).
3. 求简单的曲线方程的一般步骤
(1)根据需要建立适当的平面直角坐标系, 用有序实数对表示曲线上任意一点M 的坐标;
(2)写出适合条件P 的点M 的集合;(此步通常可能省略) (3)用坐标表示条件P (M ) , 列出条件f (x , y ) =0; (4)化简方程f (x , y ) =0为最简形式;
(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点(抠点). 4. 求简单的曲线方程的主要方法 (1)直接法:直接由条件建立方程.
(2)定义法:根据几种特殊轨迹的定义, 直接写出方程.
(3)转移法(代入法):把动点的坐标用已知轨迹上的点的坐标来表示, 利用已知轨迹的方程建立所求轨迹的方程.
(4)参数法:把所求轨迹的上的点的坐标用中间变量来表示, 消去参数即得所求轨迹方程.
(5)交轨法:写出动点所满足的两个轨迹方程后, 联立消去参数即得所求轨迹方程. 5. 二次曲线(圆锥曲线) 的定义
(1)直线, 圆, 椭圆, 双曲线及抛物线都可以看成是由一个平面去载圆锥, 当截面的位置发生变化时, 平面和圆锥的交线就得到这些曲线, 因此称之为圆锥曲线.
(2)以上曲线的方程都可以写成形如Ax 2+By 2+Cxy +Dx +Ey +F =0的形式. 反之, 如果方程Ax 2+By 2+Cxy +Dx +Ey +F =0有解, 则这个方程表示的曲线属于以上曲线之一.
6. 直线y =kx +b 被曲线Ax 2+By 2+Cxy +Dx +Ey +F =0所截的弦长公式.
将方程y =kx +b 代入Ax 2+By 2+Cxy +Dx +Ey +F =0消去y 化简得
ax +bx +c =0, 那么|AB |=
2
(1+k 2) ∆
(其中∆=b 2-4ac ).
|a |
例1 下列各图是对应方程的曲线的是
x
A . B .
例2 作出方程x 2+y 2=|x |+|y |的图形.
C .
( )
=0
D .
例3 方程(x -2) 2+(y -2) 2=|x +y -2|表示的曲线是 ( ) A . 椭圆 B . 双曲线 C . 抛物线 D . 两条直线
例4 设过点P (x , y ) 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A , B 两点, 点
Q 与点P 关于y 轴对称, O 为坐标原点, 若=2, 且⋅=1, 求P 点的轨迹方程.
【解】
例5 设动点P 是抛物线y =2x 2+1上的任意一点,定点A (0, -1) , 点M (x , y ) 分所成的比为2, 求点M 的轨迹的方程.
【解】
例6 求两直线ax +y +1=0和x -ay -1=0(a ≠±1) 的交点的轨迹方程. 【解】
例7 过抛物线y 2=2x 的顶点作互相垂直的两条弦OA , OB . (1)求AB 中点的轨迹方程;
(2)证明:AB 与x 轴的交点为定点. 【解】
课后练习四十二
1. 表示下列图形的一个方程是
A .
-x 2+-y 2=
0 C . -x
2
)
B . (|x |-1) 2-(|y |-1) 2=0 D . |x |+|y |=1
C . 椭圆的一部分
-y =0
2
2. 方程x =-3y 2所表示的曲线是 A . 椭圆 B . 双曲线
3. 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是
A . x -y =0
B . x +y =0
)
D . 双曲线的一部分
( )
D . |x |+|y |=0
C . |x |-|y |=0
4. 已知实数x , y 满足条件(x -1) 2+(y -3) 2=
|x +y +1|
2
A . 椭圆 B . 双曲线 C . 抛物线 D . 圆
5. 已知椭圆的焦点是F 1, F 2, P 是椭圆的一个动点,如果M 是线段F 1P 的中点,则动点M 的轨迹是 ( ) A . 圆 B . 椭圆 C . 双曲线的一支 D . 抛物线 6. 方程xy 2-x 2y =8x 所表示的曲线 ( ) A . 关于y 轴对称 B . 关于直线x -y =0对称
C . 关于直线x +y =0对称 D . 关于原点对称
, 则点P (x , y ) 的轨迹就是( )
x 2y 2
7. 若椭圆2+2=1经过(3, 1) 点,则m 2+n 2的最小值为 ( )
m n
A . 12 B . 16 C . 18 D . 20 8. 如图,用一个与圆柱体的底面不平行的平面去截圆柱,就得到一个椭圆,如果该截面与圆柱的底面成45︒的二面角,则这个截面椭圆的离心率等于_________.
9. 已知方程xy -1=0表示的曲线是等轴双曲线,则该双曲线的焦点是_________.
10. 已知点A , B ,且|AB |=6,如果动点P 到A 点的距离和到B 点的距离之比为2:1,则点P 的轨迹方程是______________.
11. 以抛物线y 2=2x 的焦点为圆心,并与抛物线相切的圆的方程是______________. 12. 从双曲线x 2-y 2=1上一点Q 引直线x +y =2的垂线, 垂足为N , 求线段QN 的中点P 的轨迹的方程.