必修4[平面向量]测试题及答案
平面向量
一、选择题
1.在△ABC中,AB=AC,D,E分别是AB,AC的中点,则( ).
A.与共线 C.与相等 2.下列结论正确的是( ).
A.向量与是两平行向量 B.若a,b都是单位向量,则a=b C.若=,则A,B,C,D四点构成平行四边形 D.两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同
3.平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足
B.与共线 D.与相等
(第1题)
=+,其中 ,∈R,且+=1,则点C的轨迹方程为( ).
A.3x+2y-11=0 C.2x-y=0
B.(x-1)2+(y-1)2=5 D.x+2y-5=0
4.已知a、b是非零向量且满足(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则a与b的夹角是( ).
A.
6
B.
3
C.
2 3
D.
5 6
5.已知四边形ABCD是菱形,点P在对角线AC上(不包括端点A,C),则=( ).
A.λ(+),λ∈(0,1) C.λ(-),λ∈(0,1)
B.λ(+),λ∈(0,D.λ(-),λ∈(0,
) 22) 2
6.△ABC中,D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,则=( ).
A.+
B.- C.+
D.+
7.若平面向量a与b的夹角为60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则向量a的模为( ).
A.2
B.4
C.6
D.12
8.点O是三角形ABC所在平面内的一点,满足OA·OB=OB·OC=OC·OA,则点
O是△ABC的( ).
A.三个内角的角平分线的交点 C.三条中线的交点
B.三条边的垂直平分线的交点 D.三条高的交点
9.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,C=-5a-3b,其中a,b不共线,则四边形ABCD为( ).
A.平行四边形
B.矩形
C.梯形
D.菱形
10.如图,梯形ABCD中,|AD|=|BC|,EF∥AB∥CD则相等向量是( ).
A.AD与BC C.AC与BD 二、填空题
B.OA与OB D.EO与OF
(第10题)
11.已知向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(-k,10),且A,B,C三点共线,则k=.
12.已知向量a=(x+3,x2-3x-4)与MN相等,其中M(-1,3),N(1,3),则x= . CA13.已知平面上三点A,B,C满足||=3,||=4,||=5,则AB·BC+BC·
+CA·AB的值等于 .
14.给定两个向量a=(3,4),b=(2,-1),且(a+mb)⊥(a-b),则实数m等于 .
15.已知A,B,C三点不共线,O是△ABC内的一点,若OA+OB+OC=0,则O是△ABC的
16.设平面内有四边形ABCD和点O,OA=a,OB=b,OC=c, OD=d,若a+c=b+d,则四边形ABCD的形状是 . 三、解答题
17.已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若点P满足=AB+λ(λ∈R),试求 λ为何值时,点P在第三象限内?
18.如图,已知△ABC,A(7,8),B(3,5),C(4,3),M,N,D分别是AB,AC,BC的中点,且MN与AD交于F,求DF.
19.如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,求证:AF⊥DE(利用向量证明).
(第18题)
(第19题)
20.已知向量a=(cos θ,sin θ),向量b=(3,-1),求|2a-b|的最大值.
参考答案
一、选择题
1.B解析:如图,与,与不平行,与共线反向.
2.A解析:两个单位向量可能方向不同,故B不对.若=,
(第1题)
可能A,B,C,D四点共线,故C不对.两向量相等的充要条件是大小相等,方向相同,故D也不对.
3.D解析:提示:设OC=(x,y),OA=(3,1),OB=(-1,3),OA=(3,
),OB=(-,3),又OA+OB=(3-,+3),
∴ (x,y)=(3-,+3),∴
x=3-
,又+=1,由此得到答案为D.
y=+3
4.B解析:∵(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,
∴(a-2b)·a=a2-2a·b=0,(b-2a)·b=b2-2a·b=0,
∴ a2=b2,即|a|=|b|.∴|a|2=2|a||b|cos θ=2|a|2cosθ.解得cos θ=∴ a与b的夹角是
1. 2
π. 3
5.A解析:由平行四边形法则,+=,又+=,由 λ的范围和向量数乘的长度,λ∈(0,1).
6.D解析:如图,∵=, ∴ =+=+.
(第6题)
7.C解析:由(a+2b)·(a-3b)=-72,得a2-a·b-6b2=-72. 而|b|=4,a·b=|a||b|cos 60°=2|a|, ∴ |a|2-2|a|-96=-72,解得|a|=6.
8.D解析:由 OA·OB=OB·OC=OC·OA,得OA·OB=OC·OA,
即OA·(OC-OB)=0,
故BC·OA=0,BC⊥OA,同理可证AC⊥OB, ∴ O是△ABC的三条高的交点.
9.C解析:∵AD=++CD=-8a-2b=2BC,∴∥BC且||≠|BC|. ∴ 四边形ABCD为梯形.
10.D解析:AD与BC,AC与BD,OA与OB方向都不相同,不是相等向量. 二、填空题 11.-
2
.解析:A,B,C三点共线等价于,共线, 3
=OB-OA=(4,5)-(k,12)=(4-k,-7),
=OC-OB=(-k,10)-(4,5)=(-k-4,5),
又 A,B,C三点共线,
∴ 5(4-k)=-7(-k-4),∴ k=-
2.3
12.-1.解析:∵ M(-1,3),N(1,3), ∴ MN=(2,0),又a=, ∴
x+3=2
x=-1 解得 ∴ x=-1. 2x=-1或x=4x-3x-4=0
13.-25.解析:思路1:∵
3
=4
5,
∴ △ABC为直角三角形且∠ABC=90°,即⊥,∴·=0, ∴ ·+·+· =·+·
=CA·(+)=-(CA)2
=-25. 思路2:∵
3
=4
5,∴∠ABC=90°, 34
∴ cos∠CAB
=,cos∠BCA
=.
55
根据数积定义,结合图(右图)知·=0, ·CA
cos∠ACE=4×5×(-
4
)=-16, 5
3
)=-9. 5
CA·
cos∠BAD=3×5×(-
∴ ·+·+·=0―16―9=-25. 14.
D
(第13题)
23
.解析:a+mb=(3+2m,4-m),a-b=(1,5). 3
∵ (a+mb)⊥(a-b),
∴ (a+mb)·(a-b)=(3+2m)×1+(4-m)×5=0m=15.答案:重心.解析:如图,以OA,OC为邻边作□AOCF交AC于点E,则=OA+OC,又 OA+OC=-OB,
∴ =2OE=-OB.O是△ABC的重心. 16.答案:平行四边形.
解析:∵ a+c=b+d,∴ a-b=d-c,∴BA=CD. ∴ 四边形ABCD为平行四边形. 三、解答题
17.λ<-1. 解析:设点P的坐标为(x,y),则=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3). +λAC=(5,4)-(2,3)+λ[(7,10)-(2,3)]
(第15题)
23
. 3
=(3,1)+λ(5,7) =(3+5λ,1+7λ).
∵ =+λAC,
∴ (x-2,y-3)=(3+5λ,1+7λ). x235x55∴ 即
y317y47
550要使点P在第三象限内,只需 解得 λ<-1.
470
(第18题)
18.=(
7
,2).
4
解析:∵ A(7,8),B(3,5),C(4,3), =(-4,-3),=(-3,-5).
又 D是BC的中点, ∴ =
=
11
(+AC)=(-4-3,-3-5) 2217
(-7,-8)=(-,-4). 22
又 M,N分别是AB,AC的中点, ∴ F是AD的中点, ∴ =-=-
1177
=-(-,-4)=(,2). 2224
11
b,ED=b-a. 22
19.证明:设=a,=b,则AF=a+∴ AF·ED=(a+
11113
b)·(b-a)=b2-a2+a·b. 22224
又⊥
,∴ a2=b2,a·b=0. ∴ AF·ED=0,∴AF⊥ED.
本题也可以建平面直角坐标系后进行证明.
20.分析:思路1:2a-b=(2cos θ-,2sin θ+1),
∴ |2a-b|2=(2cos θ-)2+(2sin θ+1)2=8+4sin θ-43cos θ.又4sin θ-43cos θ=8(sin θcos
(第19题)
πππ
-cos θsin)=8sin(θ-),最大值为8, 333
∴ |2a-b|2的最大值为16,∴|2a-b|的最大值为4.
思路2:将向量2a,b平移,使它们的起点与原点重合,则|2a-b|表示2a,b终点间的距离.|2a|=2,所以2a的终点是以原点为圆心,2为半径的圆上的动点P,b的终点是该圆上的一个定点Q,由圆的知识可知,|PQ|的最大值为4.