高中数学椭圆经典例题(学生+老师)

（教师版）椭圆标准方程典型例题

例1 已知椭圆mx 2+3y 2-6m =0的一个焦点为（0，2）求m 的值．

分析：把椭圆的方程化为标准方程，由c =2，根据关系a =b +c 可求出m 的值．

2

2

2

x 2y 2

+=1．因为焦点在y 轴上，所以2m >6，解得m >3． 解：方程变形为

62m

又c =2，所以2m -6=2，m =5适合．故m =5．

例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点P (3，0)，a =3b ，求椭圆的标准方程．

分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，

求出参数a 和b （或a 和b ）的值，即可求得椭圆的标准方程．

2

2

2

x 2y 2

解：当焦点在x 轴上时，设其方程为2+2=1(a >b >0)．

a b

90x 222

由椭圆过点P (3，0)，知2+2=1．又a =3b ，代入得b =1，a =9，故椭圆的方程为+y 2=1．

a b 9

y 2x 2

当焦点在y 轴上时，设其方程为2+2=1(a >b >0)．

a b

90y 2x 222

=1．由椭圆过点P (3， 0)，知2+2=1．又a =3b ，联立解得a =81，b =9，故椭圆的方程为+

a b 819

例3 ∆ABC 的底边BC =16，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．

分析：（1）由已知可得GC +GB =20，再利用椭圆定义求解．

（2）由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系，利用代入法求A 的轨迹方程．

BC 中点为原点建立直角坐标系．解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，设G 点坐标为(x ，y )，由GC +GB =20，

知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因a =10，c =8，有b =6，

x 2y 2

+=1(y ≠0)． 故其方程为

10036

x '2y '2

+=1(y '≠0)． ① （2）设A (x ，y )，G (x '，y ')，则

10036

⎧'x x =，⎪x 2y 2⎪3

+=1(y ≠0)，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）由题意有⎨代入①，得A 的轨迹方程为． 900324⎪y '=y

⎪3⎩

例4 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 解：设两焦点为F 1、F 2，且PF 1=

42和，过P 点作焦点所在轴33

452，PF 2=．从椭圆定义知2a =PF 1+PF 2=2．即a =5．33

从PF 2F 1中，sin ∠PF 1F 2=1>PF 2知PF 2垂直焦点所在的对称轴，所以在Rt ∆PF

PF 2

1

=， PF 12

可求出∠PF 1F 2=

π

6

，2c =PF 1⋅cos

π

6

=

1025222

，从而b =a -c =．

3x 23y 23x 2y 2

+=1或+=1． ∴所求椭圆方程为

510105

x 2y 2

例5 已知椭圆方程2+2=1(a >b >0)，长轴端点为A 1，A 2，焦点为F 1，F 2，P 是

a b

椭圆上一点，∠A 1PA 2=θ，∠F 1PF 2=α．求：∆F 1PF 2的面积（用a 、b 、α表示）． 分析：求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边，从而利用S ∆=解：如图，设P (x ，y )，由椭圆的对称性，不妨设P 在第一象限． 由余弦定理知： F 1F 2

2

1

ab sin C 求面积． 2

2

=PF 1+PF 2-2PF 1PF 2cos α=4c ．①

22

2b 2

由椭圆定义知： PF ． 1⋅PF 2=1+PF 2=2a ②，则②－①得 PF

1+cos α

2

故S ∆F 1PF 2

1α12b 2=PF 1⋅PF 2sin α =sin α =b 2tan ． 2221+cos α

例6 已知动圆P 过定点A (-3，且在定圆B ：求动圆圆心P 的轨迹方程． 0)，(x -3)+y 2=64的内部与其相内切，

2

分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式．

解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点，

0)和定圆圆心B (3，0)距离之和恰好等于定圆半径，

即定点A (-3，

即+=PM +=BM =8．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，

x 2y 2

+=1． 半长轴为4，半短轴长为b =4-3=的椭圆的方程：

167

2

2

说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．

x 2

+y 2=1， 例7 已知椭圆2

（1）求过点P ⎪且被P 平分的弦所在直线的方程； （2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

（3）过A (2，1)引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；

（4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足k OP ⋅k OQ =-

求线段PQ 中点M 的轨迹方程．

分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．

解：设弦两端点分别为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点R (x ，y )，则

⎛11⎫

⎝22⎭

1， 2

⎧x 12+2y 12=2，⎪22

⎪x 2+2y 2=2，⎨

⎪x 1+x 2=2x ，⎪y +y =2y ，⎩12

①②③④

①－②得(x 1+x 2)(x 1-x 2)+2(y 1+y 2)(y 1-y 2)=0． 由题意知x 1≠x 2，则上式两端同除以x 1-x 2，有(x 1+x 2)2(y 1+y 2)

y 1+y 2

=0，

x 1-x 2

将③④代入得x +2y

（1）将x =

y 1-y 2

=0．⑤

x 1-x 2

11y -y 21，y =代入⑤，得1=-，故所求直线方程为： 2x +4y -3=0． ⑥ 22x 1-x 22

2

22

将⑥代入椭圆方程x +2y =2得6y -6y -

11

=0，∆=36-4⨯6⨯>0符合题意，2x +4y -3=0为所求． 44

（2）将

y 1-y 2

=2代入⑤得所求轨迹方程为： x +4y =0．（椭圆内部分）

x 1-x 2

y 1-y 2y -122

=代入⑤得所求轨迹方程为： x +2y -2x -2y =0．（椭圆内部分）

x 1-x 2x -2

（3）将

2

x 12+x 22

+y 12+y 2=2， ⑦， 将③④平方并整理得 （4）由①＋②得 ：

2

()

22

x 12+x 2=4x 2-2x 1x 2， ⑧， y 12+y 2=4y 2-2y 1y 2， ⑨

4x 2-2x 1x 2

+4y 2-2y 1y 2=2， ⑩ 将⑧⑨代入⑦得：

4

()

y 21⎛1⎫222

=1． 再将y 1y 2=-x 1x 2代入⑩式得： 2x -x 1x 2+4y -2 -x 1x 2⎪=2， 即 x +12⎝2⎭

2

此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．

例8 已知椭圆4x 2+y 2=1及直线y =x +m ． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为

2，求直线的方程． 5

2

解：（1）把直线方程y =x +m 代入椭圆方程4x 2+y 2=1得 4x 2+(x +m )=1， 即5x +2mx +m -1=0．∆=(2m )-4⨯5⨯m 2-1=-16m 2+20≥0，解得-

2

2

2

()

5

． ≤m ≤

22

2m m 2-1

（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x 1，x 2，由（1）得x 1+x 2=-，x 1x 2=．

55

m 2-12⎛2m ⎫

=根据弦长公式得 ：+1⋅ -．解得m =0．方程为y =x ． ⎪-4⨯55⎝5⎭

2

2

说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．

这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式∆；解决弦长问题，一般应用弦长公式． 用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．

x 2y 2

+=1的焦点为焦点，过直线l ：x -y +9=0上一点M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，例9 以椭圆

123

点M 应在何处？并求出此时的椭圆方程．

分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决．

x 2y 2

+=1的焦点为F 1(-3，解：如图所示，椭圆0)，F 2(3，0)． 123

点F 1关于直线l ：x -y +9=0的对称点F 的坐标为（－9，6），直线FF 2的方程为x +2y -3=0．

解方程组⎨

⎧x +2y -3=0

得交点M 的坐标为（－5，4）．此时MF 1+MF 2最小．

⎩x -y +9=0

所求椭圆的长轴：2a =MF 1+MF 2=FF 2=65，∴a =3，又c =3，

x 2y 2

+=1． ∴b =a -c =35-3=36．因此，所求椭圆的方程为

4536

2

2

2

()

2

2

x 2y 2

+=-1表示椭圆，求k 的取值范围． 例10 已知方程

k -53-k ⎧k -5

解：由⎨3-k

⎪k -5≠3-k , ⎩

∴满足条件的k 的取值范围是3

⎧k -5

说明：本题易出现如下错解：由⎨得3

3-k

出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中a >b >0这个条件，当a =b 时，并不表示椭圆．

例11 已知x 2sin α-y 2cos α=1(0≤α≤π) 表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围． 分析：依据已知条件确定α的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出α的取值范围．

x 2y 211

>>0． +=1．因为焦点在y 轴上，所以-解：方程可化为

cos αsin αsin αcos α

因此sin α>0且tan α

π3

, π) ． 24

11

>0，->0，这是容易忽视的地方． sin αcos α1122

(2)由焦点在y 轴上，知a =-，b =． (3)求α的取值范围时，应注意题目中的条件0≤α

cos αsin α

说明：(1)由椭圆的标准方程知

例12 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过A (, -2) 和B (-23, 1) 两点的椭圆方程． 分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，

22

可设其方程为mx +ny =1(m >0，n >0) ，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程．

22

解：设所求椭圆方程为mx +ny =1(m >0，n >0) ．由A (, -2) 和B (-23, 1) 两点在椭圆上可得

22

⎧11x 2y 2⎪m ⋅(3) +n ⋅(-2) =1, ⎧3m +4n =1,

+=1． 即⎨所以m =，n =．故所求的椭圆方程为⎨22155155⎪⎩12m +n =1, ⎩m ⋅(-23) +n ⋅1=1,

例13 知圆x 2+y 2=1，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段，求线段中点M 的轨迹．

分析：本题是已知一些轨迹，求动点轨迹问题．这种题目一般利用中间变量(相关点) 求轨迹方程或轨迹． 解：设点M 的坐标为(x , y ) ，点P 的坐标为(x 0, y 0) ，则x =

因为P (x 0, y 0) 在圆x 2+y 2=1上，所以x 02+y 02=1．

将x 0=2x ，y 0=y 代入方程x 02+y 02=1得4x 2+y 2=1．所以点M 的轨迹是一个椭圆4x 2+y 2=1．

说明：此题是利用相关点法求轨迹方程的方法，这种方法具体做法如下：首先设动点的坐标为(x , y ) ，

设已知轨迹上的点的坐标为(x 0, y 0) ，然后根据题目要求，使x ，y 与x 0，y 0建立等式关系， 从而由这些等式关系求出x 0和y 0代入已知的轨迹方程，就可以求出关于x ，y 的方程， 化简后即我们所求的方程．这种方法是求轨迹方程的最基本的方法，必须掌握．

例14 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点F 1作倾斜解为

x 0

，y =y 0． 2

π

的直线交椭圆于A ，3

B 两点，求弦AB 的长．

分析：可以利用弦长公式AB =+k x 1-x 2=

2

(1+k 2)[(x 1+x 2) 2-4x 1x 2]求得，

也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求． 解：(法1) 利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．

AB =+k 2x 1-x 2=(1+k 2)[(x 1+x 2) 2-4x 1x 2]．因为a =6，b =3，所以c =．因为焦点在x 轴上，

x 2y 2

+=1，左焦点F (-3, 0) ，从而直线方程为y =3x +9． 所以椭圆方程为

369

由直线方程与椭圆方程联立得：13x +x +36⨯8=0．设x 1，x 2为方程两根，所以x 1+x 2=-

2

72，13

x 1x 2=

36⨯848222

，k =， 从而AB =+k x 1-x 2=(1+k )[(x 1+x 2) -4x 1x 2]=． 1313

(法2) 利用椭圆的定义及余弦定理求解．

x 2y 2

+=1，设AF 由题意可知椭圆方程为1=m ，BF 1=n ，则AF 2=12-m ，BF 2=12-n ． 369

在∆AF 1F 2中，AF 2所以m =

2

=AF 1+F 1F 2-2AF 1F 1F 2cos

22

π

3

，即(12-m ) =m +36⋅3-2⋅m ⋅63⋅

22

1

； 2

4866

AB =m +n =．同理在∆BF 中，用余弦定理得，所以． n =F 12

134-4+

(法3) 利用焦半径求解．

先根据直线与椭圆联立的方程13x +x +36⨯8=0求出方程的两根x 1，x 2，它们分别是A ，B 的横坐标． 再根据焦半径AF 1=a +ex 1，BF 1=a +ex 2，从而求出=AF 1+BF 1．

2

x 2y 2

+=1上的点M 到焦点F 1的距离为2，N 为MF 1的中点，则ON （O 为坐标原点）的值为例15 椭圆

259

A ．4 B ．2 C ．8 D ．

3

2

说明：(1)椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于F 1F 2）的点的轨迹叫做椭圆．

(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即MF 1+MF 2=2a ，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离．

x 2y 2

=1，试确定m 的取值范围，使得对于直线l ：y =4x +m ，椭圆C 上有不同的两点例16 已知椭圆C +

43

关于该直线对称．

分析：若设椭圆上A ，B 两点关于直线l 对称，则已知条件等价于：(1)直线AB ⊥l ；(2)弦AB 的中点M 在l 上．

利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值范围． 解：(法1) 设椭圆上A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) 两点关于直线l 对称，直线AB 与l 交于M (x 0, y 0) 点． y =-x +n , 1

⎪4∵l 的斜率k l =4，∴设直线AB 的方程为y =-x +n ．由方程组⎪消去y 得 ⎨224x y

⎪+=1, ⎪3⎩4⎧

1

8n x +x 24n 112n

=．于是x 0=1，y 0=-x 0+n =，

13213413

4n 12n 4n 13, ) ．∵点M 在直线y =4x +m 上，∴n =4⨯+m ．解得n =-m ． ② 即点M 的坐标为(

1313134

13x 2-8nx +16n 2-48=0 ①。∴x 1+x 2=

将式②代入式①得13x +26mx +169m -48=0 ③

∵A ，B 是椭圆上的两点，∴∆=(26m ) 2-4⨯13(169m 2-48) >0．解得-(法2) 同解法1得出n =-

22

22．

1313

13413

m ，∴x 0=(-m ) =-m ， 4134

113113

y 0=-x 0-m =-⨯(-m ) -m =-3m ，即M 点坐标为(-m , -3m ) ．

4444

(-m ) 2(-3m ) 222+

(法3) 设A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) 是椭圆上关于l 对称的两点，直线AB 与l 的交点M 的坐标为(x 0, y 0) ．

x y x y

∵A ，B 在椭圆上，∴1+1=1，2+2=1．两式相减得3(x 1+x 2)(x 1-x 2) +4(y 1+y 2)(y 1-y 2) =0，

4343

即3⋅2x 0(x 1-x 2) +4⋅2y 0(y 1-y 2) =0．∴

2222

3x y 1-y 2

=-0(x 1≠x 2) ．

x 1-x 24y 0

又∵直线AB ⊥l ，∴k AB ⋅k l =-1，∴-

3x 0

⋅4=-1，即y 0=3x 0 ①。 4y 0

又M 点在直线l 上，∴y 0=4x 0+m ②。由①，②得M 点的坐标为(-m , -3m ) ．以下同解法2.

说明：涉及椭圆上两点A ，B 关于直线l 恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式： (1)利用直线AB 与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式∆>0，建立参数方程．

x y

(2)利用弦AB 的中点M (x 0, y 0) 在椭圆内部，满足0+0

a b

例17 在面积为1的∆PMN 中，tan M =点的椭圆方程．

22

1

，tan N =-2，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为焦点且过P 2

4x 2y 2

+=1 ∴所求椭圆方程为153

x 2y 2

+=1所截得的线段的中点，求直线l 的方程． 例18 已知P (4, 2) 是直线l 被椭圆

369

分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题．通常将直线方程与椭圆方程联立消去y (或x ) ，得到关于x (或y )

的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出x 1+x 2，x 1x 2(或y 1+y 2，y 1y 2) 的值代入计算即得． 并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的．

解：方法一：设所求直线方程为y -2=k (x -4) ．代入椭圆方程，整理得

(4k 2+1) x 2-8k (4k -2) x +4(4k -2) 2-36=0 ①

设直线与椭圆的交点为A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ，则x 1、x 2是①的两根，∴x 1+x 2=∵P (4, 2) 为AB 中点，∴4=

8k (4k -2)

4k 2+1

1x 1+x 24k (4k -2) k =-=，．∴所求直线方程为x +2y -8=0． 2

224k +1

方法二：设直线与椭圆交点A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ．∵P (4, 2) 为AB 中点，∴x 1+x 2=8，y 1+y 2=4． 又∵A ，B 在椭圆上，∴x 1+4y 1=36，x 2+4y 2=36两式相减得(x 1-x 2) +4(y 1-y 2) =0， 即(x 1+x 2)(x 1-x 2) +4(y 1+y 2)(y 1-y 2) =0．∴

2

2

2

2

2

2

2

2

y 1-y 2-(x 1+x 2) 1==-．∴直线方程为x +2y -8=0．

x 1-x 24(y 1+y 2) 2

方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A (x , y ) ，另一个交点B (8-x , 4-y ) ．

∵A 、B 在椭圆上，∴x +4y =36 ①。 (8-x ) +4(4-y ) =36 ②

从而A ，B 在方程①－②的图形x +2y -8=0上，而过A 、B 的直线只有一条，∴直线方程为x +2y -8=0． 说明：直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题，“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法． 若已知焦点是(33, 0) 、则如何求椭圆方程？ (-3, 0) 的椭圆截直线x +2y -8=0所得弦中点的横坐标是4，

2

2

2

2

（学生版）椭圆标准方程典型例题

例1 已知椭圆mx +3y -6m =0的一个焦点为（0，2）求m 的值．

2

2

例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点P (3，0)，a =3b ，求椭圆的标准方程．

例3 ∆ABC 的底边BC =16，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．

例4 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．

42和，过P 点作焦点所在轴33

x 2y 2

例5 已知椭圆方程2+2=1(a >b >0)，长轴端点为A 1，A 2，焦点为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，∠A 1PA 2=θ，

a b

． ∠F 1PF 2=α．求：∆F 1PF 2的面积（用a 、b 、α表示）

例6 已知动圆P 过定点A (-3，且在定圆B ：求动圆圆心P 的轨迹方程． 0)，(x -3)+y 2=64的内部与其相内切，

2

x 2

+y 2=1， 例7 已知椭圆2

（1）求过点P ⎪且被P 平分的弦所在直线的方程；

⎛11⎫⎝22⎭

（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

（3）过A (2，1)引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；

（4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足k OP ⋅k OQ =-

求线段PQ 中点M 的轨迹方程．

例8 已知椭圆4x 2+y 2=1及直线y =x +m ．

（1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？

（2）若直线被椭圆截得的弦长为

1， 22，求直线的方程． 5

x 2y 2

+=1的焦点为焦点，过直线l ：x -y +9=0上一点M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，例9 以椭圆123

点M 应在何处？并求出此时的椭圆方程．

x 2y 2

+=-1表示椭圆，求k 的取值范围． 例12 已知方程k -53-k

例13 已知x 2sin α-y 2cos α=1(0≤α≤π) 表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围．

例12 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过A (, -2) 和B (-23, 1) 两点的椭圆方程．

例14 知圆x 2+y 2=1，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段，求线段中点M 的轨迹．

例14 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点F 1作倾斜解为π的直线交椭圆于A ，3B 两点，求弦AB 的长．

x 2y 2

+=1上的点M 到焦点F 1的距离为2，N 为MF 1的中点，则ON （O 为坐标原点）的值为 例15 椭圆259

x 2y 2

=1，试确定m 的取值范围，使得对于直线l ：y =4x +m ，椭圆C 上有不同的两点例16 已知椭圆C +43

关于该直线对称，求m 取值范围．

例17 在面积为1的∆PMN 中，tan M =

点的椭圆方程．

1，tan N =-2，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为焦点且过P 2

x 2y 2+=1所截得的线段的中点，求直线l 的方程． 例18 已知P (4, 2) 是直线l 被椭圆369