坐标平面上的直线的知识点及拓展

坐标平面上的直线的知识点及拓展

1、已知直线l1：a1xb1yc10；直线l2：a2xb2yc20

a1xb1yc10

（1）如何判定两条直线位置关系？ 判定方程组解的情况

axbyc0222

（2）l1//l2a1b2a2b1a1c2a2c1或b1c2b2c1 （3）求l1与l2的夹角的公式：cos

a1a2b1b2a1b1

2

2

a2b2

22



；角的范围： 0,；

2

（4）l1l2a1a2b1b20

2、已知直线l：axbyc0，点Px0,y0是直线l外一点，则点P到直线l的距离公式d



ax0by0c

ab

2

2

；

3、已知直线l1：axbyc10；直线l2：axbyc20，则l1l2，且l1与l2之间的距离公式为d



c1c2ab

2

2

第2部分：拓展知识

1．直线方程的应用

例1 已知等腰直角ABC的斜边AB所在的直线为3xy50，直角顶点为C(4,1)，求两条直角边所在的直线方程。2xy70或x2y60

分析：作出示意草图，知两条直角边所在的直线的斜率存在，并且与斜边AB所在直线的夹角为例2求过点(0,1)，且被两条平行直线2xy60和4x2y50截得长为程。3x4y40或x0



4

。

72

的线段的直线l的方

分析：作出示意草图，由两平行线之间的距离d



72

知，问题应有两解

例3 已知直线l经过点P(2,3)，依下列条件求直线l的方程。

（1）直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等；3x2y0或xy10或xy50

（2）直线l在x轴、y轴上解得的线段分别为OA、OB且|OA||OB|。3x2y0或xy10



例4在正方形ABCO中，O坐标原点，向量OA(3,4)，求正方形ABCO各边所在的直线方程。

OA 4x3y0； OC：3x4y0； CB：4x3y250；AB3x4y250。

2．直线的倾斜角和斜率

例5直线yxsin3的倾斜角的范围是 [0,



4][

34,)

例6 已知直线l方程为axbyc0，若ac0，bc0，则此直线l不经过 （A）第一象限； （B）第二象限； （C）第三象限； （D）第四象限。 B。



例7已知直线l经过P(0,0)和Q(cos,sin)(([.0))两点，求直线l的斜率和倾斜角。

2

例8 研究直线l的斜率k(k0)的几何意义。

例9已知直线l：ykx1与两点A(1,5)、B(4,2)，若直线l与线段AB相交，求直线l的斜率k和倾斜角的取值范围。k(,4][3．对称问题

（1）中心对称：设点P(x0,y0)，点M

(m,n)，由中点坐标公式可得，点P关于M点的对称点P(x,y) 

x2mx0

的坐标公式为：，即P(2mx,2ny)。

y

2ny0

34

,)；[0,



2

)(



2

,arctan4][arctan

34

,)。

例10 求直线l1y30关于点M(5,4)的对称直线l2y50。 例11 已知直线l经过点P(0,1)，若直线l被直线l1：x3y100和直线l2：2xy80截得的线段AB的中点恰为点P，求直线l的方程。x4y40。

（2）轴对称：已知直线l：axbyc0（a、b不同时为零）和点P(x0,y0)，则点P关于直线l的对2a(ax0by0c)

xx022ab

称点P(x,y)的坐标计算公式为： 。

2b(axbyc)00yy022

ab

例12光线从点A(4,1)射出，经x轴反射后再经y轴反射，最后到达点B(1,6)，求光线经过的路程。

解：点A(4,1)关于x轴的对称点为A(4,1)，B(1,6)关于y轴的对称点为B(1,6)。 作出大致草图可知，光线经过的路程为线段AB的长，即|AB|



例13 已知点A(4,1)和直线l：2xy10，动点P在直线l上运动。 （1）若点B的坐标为(1,2)，求|PA|

|PB|的最小值；(|PA||PB|)（2）若点B的坐标为(1,2)，求|PA||PB|的最大值。(|PA||PB|)

min

|AB|

max

|BA|

AC边上的中线所在直线的方程为：ABC例14 ABC中顶点A的坐标为A(4,3)。4x13y100，

的平分线所在直线的方程为x2y50。求AC边所在直线的方程 x8y200。 （3）几个特殊的对称：

设直线l的方程为f(x,y)0，则（ⅰ）直线l关于直线xa对称的直线方程为l：f(2ax,y)0； （ⅱ）直线l关于直线yb对称的直线方程为l：f(x,2by)0； （ⅲ）直线l关于直线yx对称的直线方程为l1：f(y,x)0； （ⅳ）直线l关于直线yx对称的直线方程为l2：f(y,x)0； （ⅴ）直线l关于直线yxb对称的直线方程为l3：f(yb,xb)0； （ⅵ）直线l关于直线yxb对称的直线方程为l4：f(by,bx)0。

例15 （1）直线l1：2xy10关于直线l：x2对称的直线l2的方程是2xy90 （2）直线l1：2xy10关于直线l：yx对称的直线l2的方程是；x2y10 （3）直线l1：2xy10关于直线l：xy10对称的直线l2的方程是x2y40 例16 函数yasinxbcosx图像的一条对称轴方程是x



4

，则直线axbyc0的倾斜角为

（A）45； （B）135； （C）60； （D）120 B。

4．直线系

例 17两条平行直线之间的距离是2，其中一条直线是3x4y50，则另一条直线的方程是 。

3x4y50或3x4y150

例18 对于直线l上任一点P(x,y)，点Q(4x2y,x3y)仍在此直线上，则直线l的方程是

xy0或x2y0

例19 已知直线l1和直线l2的方程分别为l1：f1(x,y)0，l2：f2(x,y)0，若直线l1和直线l2有交点

P(x0,y0)，求证：直线l：f1(x,y)f2(x,y)0必过交点P(x0,y0)。

例20 当a取不同实数时，直线(a1)xy2a10恒过一定点，则这个定点是 (2,3) 例21根据下列条件，写出直线的一般式方程：

（1）经过直线l1：2xy10与l2：2x2y10的交点且与直线l3：5xy0垂直；6x30y190 （2）经过直线l1：xy10与l2：2xy20的交点且与直线l3：3x4y120平行。3x4y30。

第3部分：基础训练

1、已知ABC中，BAC90，点B、C的坐标分别为4,2，2,8，向量d3,2且d与AC边平





行，求ABC的两条直角边所在直线的方程。（分别用点方向式、点法向式、点斜式、一般式表示） lAC:2x3y200；lAB:3x2y160；

32、若直线的倾斜角满足tan1，求的取值范围；0,,

44

3、讨论：直线l1：m2xym0；直线l2：3xmym60的位置关系； m3且m1时，相交；m1时，平行；m3时，重合；

4、已知ABC的三个顶点坐标分别为A1,3、B3,1、C1,0，求SABC； 5 5、直线l过点P2,3且与直线l1

：x

3y20

的夹角为



3

，求直线l的方程；x20或x3y10

第4部分：高考模拟

1．(黄浦2011年4月理科)直线l1y10，l2：x50，则直线l1与l2的夹角为 ．p

6

2．(上海十校2011年第二学期高三第二次联考理科)平面上三条直线x2y10,x10,xky0，

如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k的取值集合为 ．0,1,2



3

．(闵行2011届文科)经过点A(1,0)且法向量为d(2,1)的直线l的方程为 . 2xy20

4、(徐汇2011年4月)已知直线l经过点(0)且方向向量为(2,1)，则原点O到直线l的距离为 1。 5、(徐汇2011年4月文科)在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点。定义P(x1,y1)、Q(x2,y2)两点之间的“直角距离”为d(P,Q)x1x2y1y2。已知B(1,0)，点M为直线xy20上的动点，则d(B,M)的最小值为3 。