正方体中涂色问题的解题技巧(鲁浩)
正方体中涂色问题的解题技巧
德阳市实验小学 鲁 浩
发表于《中小学数学》2010年12月期
在人教版小学五年级下期教学《长方体和正方体的表面积》后,一位同学拿来了一道题来问我:把一个棱长是6厘米的正方体表面涂成红色,然后把它截成棱长1厘米的小正方体,请观察有二个面涂成红色的正方体有多少个?我觉得本题很有意思,如果运用得好,对学生的动手能力、思维发展能力,对激发学生的学习兴趣会取得很好的效果。对于这道题,我没有及时给学生讲解方法,而是专门用了一节课的时间,让全班同学一起来探讨这类题的解决方法。
我充分利用学生手中的小正方体(我在上长方体和正方体的认识时,每个学生都做了2个边长1厘米的小正方体),首先让学生用小正方体拼成一个较大的小正方体,用了8个拼成边长2厘米的正方体,然后给它的表面涂色,再截开成8个小正方体,学生很容易观察出一面涂色没有,两面涂色没有,三面涂色8个;再接着拼,用了27个拼成边长3厘米的正方体,涂色,再截开,归类出一面涂色6个,两面涂色12,三面涂色8个,没有涂色27-6-12-8=1个;第三次拼,用了64个拼成边长4厘米的正方体,涂色,截开,观察出一面涂色24个,两面涂色24个,三面涂色8个,没有涂色64-24-24-8=8个;我接着用课件演示125个涂色正方体截成小正方体,然后归类,观察出一面涂色54个,两面涂色36个,三面涂色8个,没有涂色125-54-36-8=27个……
在实际解题中,我们的学生如果每种情况都这样去分析,显得太麻烦,我为了充分调动学生的积极性,激发学生的学习兴趣,让学生主动探究出有没有更好的方法或规律来解决这类题型,我出示了课件:把一个涂色的棱长3厘米的正方体截成棱长1厘米的小正方体,你能不能不截开直接观察出涂色的情况?
学生通过小组合作探究并与展开激烈的讨论,许多学生碰撞出思维的火花,很快发现:①三面涂色都有8个(8个顶点);②一面涂色的原正方体每个面上
有1个,共1×6=6个;③二面涂色的原正方体每条棱上有1个,共1×12=12个;④没有涂色就是最中间的1个。
接着课件出示涂色后边长4厘米的正方体,学生同样发现:①三面涂色都有8个;②一面涂色的原正方体每个面上有2×2个,共2×2×6=24个;③二面涂色的原正方体每条棱上有2个,共2×12=24个;④没有涂色就是最中间的8
(23)个。
接着课件出示涂色后边长5厘米的正方体,学生同样发现:①三面涂色都有8个;②一面涂色的的原正方体每个面上有3×3个,共3×3×6=54个;③二面涂色的原正方体每条棱上有3个,共3×12=24个;④没有涂色就是最中间的27(33)个。
根据以上三种情况,我通过小组讨论,让学生在对比中很快就发现了:①截的过程实际就是正方体每条棱等分的过程;②无论哪种情况,三面涂色都有8个,就在8个顶点上的小正方体;③一面涂色的原正方体每个面上有(棱长数-2)×(棱长数-2)个,总个数:(棱长数-2)×(棱长数-2)×6个;④二面涂色的原正方体每条棱上的个数是(棱长数-2)个,共(棱长数-2)×12个;⑤没有涂色的个数依次是0、1、8、27……实际上就是一个数的立方,也就是(棱长数-2)3个。
根据学生的汇报,我及时总结出正方体中涂色问题的解题技巧:
把一个棱长n厘米的涂色正方体截成棱长1厘米的小正方体(也就是把正方体的各棱长n等份)。由于一个正方体无论从哪个角度去看,都只能看见三个面,所以在截开后的小正方体中涂色只有三个面、两个面、一个面、没有涂色四种情况。
则一面涂色的小正方体有:(n-2)×(n-2)×6个;
二面涂色的小正方体有:(n-2)×12个;
三面涂色的小正方体有:8个(8个顶点处的正方体);
没有涂色的小正方体有:(n-2)3个。
运用此结论学生很容易就解决出“把一个棱长是6厘米的正方体表面涂成红
色,把它截成棱长1厘米的小正方体,请观察有二个面涂成红色的正方体有多少个?”这个问题,一面涂色的小正方体有(6-2)×(6-2)×6=96个;二面涂色的小正方体有(6-2)×12=48个,三面涂色的小正方体有8个;没有涂色的小正方体有(6-2)3 =64个。
在小学数学课堂教学中,学生的潜能是无限的,关键是我们在课堂教学中如何抓住学生的闪光点,让课堂真正成为有效的课堂,提高课堂教学效率。特别是我们在几何知识教学中,要充分利用点、线、面、体及它们的关系,提高学生的空间观念和解决实际问题的能力。