概率论论文 随机变量函数
随机变量函数
引言
17世纪,概率论起源于赌博问题,1657年, 荷兰数学家惠更斯发表的《论赌博》中的计算是最早的概率论著作。18世纪开始,随着科技的发然,人们逐渐认识到在某些生物、物理问题和社会现象与盛行的机会游戏之间有着某种相似性,由机会游戏起源的概率论开始逐渐被应用到这些领域中。概率的研究从实际生活问题起源,在研究中升华。现今,概率论已被广泛应用于各个领域,成为一棵枝繁叶茂、硕果累累的参天大树。正如钟开莱所说,“在过去半个世纪中 ,概率论从一个较小的、孤立的课题发展为一个与数学许多其它分支相互影响、内容宽广而深入的学科。”
概率论作为研究随机现象数量规律的数学分支,概率论蕴含着诸如对称思想,建模思想,函数思想等丰富的数学思想。其中函数思想在概率论中有着广泛并巧妙地应用。
随机变量作为概率论最基本的概念之一,通过引入随机变量,可以用数学分析的方法来来研究随机现象。但在实际中,我们所关心的随机变量往往不能直接测量到,但它却是某个能直接测量的随机变量的函数。通过随机变量函数分布的研究,我们能发现函数思想在概率论中的渗透,同时也可以由此解决很多问题。 正文
一. 一维随机变量函数的分布
X设为一个随机变量,g(X)为一个连续函数,则称Y=g(X)为随机变量的X 函数。Y也为一个随机变量。由已知随机变量的概率分布,求它的函数Y = g(X)的概率分布的几种常用方法。
1. X为离散型随机变量
设X 为离散型随机变量,X的分布律为:
P X=xi =Pi,i=1,2,…
由于X 的取值为x1,x2,…则Y的可能取值为g(x1),g(x2)…,可见Y也为离散型随机变量,可将Y的分布律求出来,其中Y 的分布律有两种情形:
当g(x1),g(x2),…互不相等时, Y 的分布律为:
P Y=g(xi) =Pi,i=1,2,…
当g(x1),g(x2),…相等时,则应当把使g(xi)相等的那些xi所对应的概率相加。
2. X为连续型随机变量
当X为连续型随机变量时,设X的密度函数fX(x),分布函数为 FX(x);Y的密度函数为fY(y),分布函数为FY(y),又Y=g(X),求Y的密度函数优良种常用方法。
① 分布函数法
这种方法课本上有给出。如果某随机变量的分布函数F(x)连续,并且除有限个点外,导函数F′ x 存在且连续,那么令
f(x)
0,
则
F x = f(t)dt
−∞x
F′ x , F′ x 存在,
F′ x 不存在。
由Y=g(x),我们先求Y的分布函数,再通过求导即得到密度函数。 ② 公式法
若y=g(x)严格单调,其反函数x=h(y)有一阶连续导数, 则Y=g(X)也是连续型随机变量, 且密度函数为
fY y =
fX h y h′ y ,α
0,
其他
其中(α,β)为y=g(x)的值域。
上例中求Y = g(X)的密度函数的方法是应用定理的公式,故称之为“公式法”,需要注意的是它仅适用于“单调性”随机变量的函数,即要求Y = g(X)为单调函数,如果Y = g(X)不是单调函数则Y的密度函数需要用分布函数法来求。
二. 多维随机变量函数的分布
就二维随机变量来说,Z=g(X, Y)是一个二维随机变量函数,已知(X, Y)的分布,理论上由X,Y的联合分布可以求出它们的函数分布,但具体计算时往往比较复杂。课本上给出了和的分布,瑞利分布,max(X, Y)及min(X,Y)的分布等情况。这里对不同类型随机变量和,差,积,商分布进行进一步讨论。 1. 和的分布
设随机变量X 与Y 独立,且X 的概率密度为f(x),Y的分布律为
∞
P Y=yk =pk (k=1,2,… pk =1)
k=1
令Z=X+Y,则Z的概率密度为
∞
fZ z = [pkf(z−yk)]
k=1
证明:Z的分布函数为
∞
∞
FZ z =P X+Y
∞
k=1
∞
= P{Y=yk}P{ X≤z−yk}= [pk
k=1
k=1
k=1
z−yk−∞
f(x)dx]
所以Z的概率密度为
∞
fZ z = [pkf(z−yk)]
k=1
同时,课本上给出利用卷积公式求和的分布的方法: 如果X与Y是独立的,则有
+∞
fZ=
这里不予证明。 2. 差的分布
−∞
fX x fY z−x dx=
+∞
−∞
fX z−y fY y dy
设随机变量X 与Y 独立,且X 的概率密度为f(x),Y的分布律为
∞
P Y=yk =pk (k=1,2,… pk =1)
k=1
令Z=X-Y,则Z的概率密度为
∞
fZ z = [pkf(z+yk)]
k=1
证明同上。 3. 积的分布
设随机变量X 与Y 独立,且X 的概率密度为f(x),Y的分布律为
∞
P Y=yk =pk (k=1,2,… pk =1)
k=1
令Z=XY,则Z的概率密度为
∞
fZ z = [pk
k=1
1zf( kk证明: Z的分布函数为
∞
∞
FZ z =P XY
zz
= P{Y=yk,X≤}+ P{Y=yk,X≥}
kk
yk>0
∞∞
k=1
∞
k=1
= P{Y=yk}P{X≤
yk>0∞
zk
zz}+ P{Y=yk}P{X≥kk
∞
yk
+∞
z
k
yk
∞
= [pk f(x)dx]+ [pk
yk>0
−∞
yk
f(x)dx]
所以Z的概率密度为
1z1z1z′ fZ z =FZz= [pkf(+ [pk −f()]= [pkf()]
kkkkkk
yk>0
yk
k=1
∞
∞
∞
4. 商的分布
a. 设随机变量X 与Y 独立,且X 的概率密度为f(x),Y的分布律为
∞
P Y=yk =pk (k=1,2,… pk =1)
k=1
令Z=X/Y,则Z的概率密度为
∞
fZ z = [pk|yk|f(zyk)]
k=1
证明: Z的分布函数为
XXX
FZ z =P ≤z =P{ {Y=yk,≤z}}= P{Y=yk,≤z}
kk
∞
k=1
∞k=1
∞
∞
= P{Y=yk,X≤zyk}+ P{Y=yk,X≥zyk}
yk>0
∞
yk
∞
= P{Y=yk}P{X≤zyk}+ P{Y=yk}P{X≥zyk}
yk>0∞
= [pk
yk>0
zyk
∞
yk
+∞zyk
−∞
f(x)dx]+ [pk
yk
f(x)dx]
所以Z的概率密度为
∞
∞
∞
′ fZ z =FZz= [pkykf(zyk)+ [pk −yk f(zyk)]= [pk|yk|f(zyk)]
yk>0
yk
k=1
b. 设随机变量X 与Y 独立,且X 的概率密度为f(x),Y的分布律为
∞
P Y=yk =pk (k=1,2,… pk =1)
k=1
令Z=Y/X,则Z的概率密度为
∞
fZ z = [pk
k=1
|yk|yk
f()] 证明: Z的分布函数为
YXX
FZz=P ≤z =P{ {Y=yk,≤z}}= P{Y=yk,≤z}
kk
∞
k=1
k=1
∞
∞
= {P{Y=yk,X>0,yk≤zX}+P{Y=yk,X>0,yk≥zX}}
k=1
∞
=
{P Y=y,X>0,y≤yk+P Y=y,X0;
kkkk
ykyk {P Y=y,X>0,y≥ +P Y=y,X
k=1
p f x dx+ f x dx + p
kkyk −∞0
yk>0
k=1∞
∞
+∞0
∞
+∞
f x dx+ f x dx ,z>0;
−∞
y=
∞
pk f x dx + pk f x dx ,z
yk>0
z
yk
y
yk
所以Z的概率密度为
[pykf(yk+ [p −yk f(yk)],z>0;
kk
yk>0
∞
yk
∞
∞
′ fZ z =FZz=
ykykykyk
[pf()]+ [p −f(z0yk
|yk|yk
= [pkf()]
k=1
5. max(X, Y)与min(X, Y)的分布
课本上给出了求解max(X, Y)与min(X, Y)分布函数的公式,这里不予赘述。 6. 一般函数的分布
对于一般函数的分布,有如下结论:
设随机向量(X1, X2,…Xn) 与Y 独立,且(X1, X2,…Xn)联合概率密度为f(x1, x2,…xn),Y的分布律为
∞
P Y=yk =pk (k=1,2,… pk =1)
k=1
z=g(x1, x2,…xn, y)是(n+1)元连续函数,令Z=g(X1, X2, …Xn, Y),则Z的概率密度为
∞
fZ z = [pkFy’k(z)]
k=1
其中
Fy’k z
d=( … f x1,x2,…xn dx1dx2…dxn) 证明: Z的分布函数为
∞
FZ z =P g X1,X2,…Xn,Y ≤z =P Y=yk,g X1,X2,…Xn,yk ≤z
∞
k=1
= P Y=yk,g X1,X2,…Xn,yk ≤z
k=1∞
= Y=yk,g(X1,X2,…Xn,yk)≤z}
k=1∞
= {pk … f x1,x2,…xn dx1dx2…dxn}
k=1
所以Z的概率密度为
∞
′ ’
fZ z =FZz= [pkFyk(z)]
k=1
其中
Fy’k z
d=( … f x1,x2,…xn dx1dx2…dxn)
总结
由上我们可以看出求解一维随机变量函数分布较简单,但相应的求解多维随机变量的函数的分布比较困难。而本文给出求解二维随机变量和,差,积,商分布函数的概率密度求解,同时简要的给出了一个求解一般多维随机变量函数的方法,可以带来很多便利。
从1993年前苏联数学家柯尔莫哥洛夫首次提出了概率的公理化概念以后,概率论得到了很快的发展,并在物理、经济现象、生活和生产管理等都有不可替代的意义。随机变量是概率论的研究对象,研究随机变量的分布有利于把握随机现象的本质。而实际生活中的随机现象是多个随机变量的函数,可见研究随机变量函数的分布是有必要的。相信在未来通过对随见变量函数分布的进一步研究,概率论也能在更多的学科有更广泛的应用。
参考文献:
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[3] 王勇. 概率论与数理统计 [M]. 北京: 高等教育出版社,2010. [4] 李贤平. 概率论基础(第3版)[M]. 北京: 高等教育出版社,2010.